1、2020-2021学年北京166中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1一支游泳队有男运动员16人，女运动员12人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为7的样本，则抽取男运动员的人数为（）A3B4C5D62已知sin，则cos2（）ABCD3在ABC中，若，则（）ABCD4甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（）ABCD5设，为非零向量，则“”是“与方向相同”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a+b）2c24，C120，则ABC的
2、面积为（）ABCD27已知ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcosCa+ccosB，则该三角形的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰或直角三角形8将函数ysin2x的图象向左平移（0）个单位，得到的图象恰好关于直线对称，则的一个值是（）ABCD9重庆誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合已知拱桥部分长552m，两端引桥各有190m，主桁最高处距离桥面89.5m，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是
3、（）Ay0.45cosxBy4.5cosxCy0.9cosDy9cos10如图，已知圆O的半径为2，AB是圆O的一条直径，EF是圆O的一条弦，且EF2，点P在线段EF上，则的最小值是（）A1B2C3D1二、填空题（共30分）11已知向量，若，则x 12已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为 13每年5月17口为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率则两位客户选
4、择同一套餐的概率为 14三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较大的锐角为，则 15平行四边形ABCD中，AB2，AD4，BAD60，E是BC的中点，F是AE的中点，则向量 16定义：对于实数m和两定点M，N，在某图形上恰有n（nN*）个不同的点Pi，使得，称该图形满足“n度契合”若边长为4的正方形ABCD中，2，3，且该正方形满足“4度契合”，则实数m的取值范围是 三、解答题（共80分）17已知向量，且与的夹角为（1）求m及；（2）若与垂直，求实数
5、的值18如图，在四边形ABCD中，ACB与D互补，cosACB，ACBC2，AB4AD（1）求AB的长；（2）求sinACD19校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组75，80），第2组80，85），第3组85，90），第4组90，95），第5组95，100，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格（）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；（）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；（）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学
6、生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？20已知函数（1）求函数f（x）在区间上的值域；（2）设，求sin的值21在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（1）求角C；（2）若c2，求ABC面积的最大值22借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图象的旋转问题试解答下列问题（1）在直角坐标系中，点A（，1），将点A绕坐标原点O按逆时针方向旋转到点B如果终边经过点A的角记为，那么终边经过点B的角记为+试用三角比知识，求点B的坐标；（2）如图，设向量（h，k），把向量按逆时针方向旋转角得到向量，求向量的坐标；（3）设A（a，a），B（m，n）
7、为不重合的两定点，将点B绕点A按逆时针方向旋转角得点C，判断C是否能够落在直线yx上，若能，试用a，m，n表示相应的值，若不能，说明理由参考答案一、选择题（共40分）1一支游泳队有男运动员16人，女运动员12人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为7的样本，则抽取男运动员的人数为（）A3B4C5D6解：由题意知，应抽取男运动员的人数为164（人）故选：B2已知sin，则cos2（）ABCD解：sin，则cos212sin212，故选：B3在ABC中，若，则（）ABCD解：在ABC中，如图，则D为BC的一个3等分点，作平行四边形，则故选：C4甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，
8、甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（）ABCD解：甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P+故选：A5设，为非零向量，则“”是“与方向相同”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：对于非零向量，由与方向相同或相反，反之，与方向相同，则“”是“与方向相同”的必要而不充分条件故选：B6已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a+b）2c24，C120，则ABC的面积为（）ABCD2解：cosCcos120，且（a+b）2c24，即84ab2ab，即ab4，则SABCabsinC4故选：C7已知ABC中
9、，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcosCa+ccosB，则该三角形的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰或直角三角形解：已知ABC中，满足bcosCa+ccosB，利用正弦定理整理得：sinBcosCsinA+sinCcosB，转换为sin（BC）sin（B+C），故BCB+C，整理得C0，与三角形的内角相矛盾，故BCBC，整理得：2B，解得B故ABC为直角三角形，故选：B8将函数ysin2x的图象向左平移（0）个单位，得到的图象恰好关于直线对称，则的一个值是（）ABCD解：函数ysin2x的图象向左平移（0）个单位，得到g（x）sin（2x+2）的图象，该图象恰
10、好关于直线对称，故g（）sin（2）1，对于A：当时，函数g（），故A错误；对于B：当时，函数g（），故B错误；对于C：当时，函数g（），故B错误；对于D：当时，函数g（）1，故D正确；故选：D9重庆誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合已知拱桥部分长552m，两端引桥各有190m，主桁最高处距离桥面89.5m，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是（）Ay0.45cosxBy4.5cosxCy0.9cosDy9cos解：由题意，建立
11、平面直角坐标系，如图所示；则f（x）Acosx；其中A45，T552+190+190932900，若按100：1的比例缩小，则A0.45，T9，所以函数y0.45cosx故选：A10如图，已知圆O的半径为2，AB是圆O的一条直径，EF是圆O的一条弦，且EF2，点P在线段EF上，则的最小值是（）A1B2C3D1解：（）（）（）（）4，当P为EF中点时，|min，则的最小值为：341故选：D二、填空题（共30分）11已知向量，若，则x2解：，9x180，解得x2故答案为：212已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为解：数据1，2，m，6，7的平均数为4，则（1+2+m+6+7）
12、4，解得m4，所以这组数的方差为s2（14）2+（24）2+（44）2+（64）2+（74）2故答案为：13每年5月17口为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率则两位客户选择同一套餐的概率为解：现将频率视为概率则两位客户选择同一套餐的概率为：P故答案为：14三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个
13、大正方形，若小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较大的锐角为，则解：如图，设BCx，ACy，则，解得tan故答案为：15平行四边形ABCD中，AB2，AD4，BAD60，E是BC的中点，F是AE的中点，则向量8解：如图，ABCD是平行四边形，E是BC的中点，F是AE的中点，且AB2，AD4，BAD60，向量（）（）28故答案为：816定义：对于实数m和两定点M，N，在某图形上恰有n（nN*）个不同的点Pi，使得，称该图形满足“n度契合”若边长为4的正方形ABCD中，2，3，且该正方形满足“4度契合”，则实数m的取值范围是m或2m6【解答】解，如图建立平面直角坐标系，可得N（0，1
14、），M（4，2），设Pi（x，y），由，可得（x2）2+（y）2，即点Pi的运动轨迹是以（2，）为圆心，半径r的圆，只需该圆与正方形有4个交点即可如图：当r2，即m时（图中从内往外第一个圆），有4个交点；当动圆在图中第二个与第三个之间（从内往外第一个圆）时有4个交点，此时：，2m6答案为：m或2m6三、解答题（共80分）17已知向量，且与的夹角为（1）求m及；（2）若与垂直，求实数的值解：（1）根据题意，向量，则m，|1，|，又由与的夹角为，则有|cos，即m，解可得：m1，则2（1，2），故|2|；（2）由（1）的结论，m1，则（1，1），若与垂直，则（）1+20，解可得：18如图，在四边形
15、ABCD中，ACB与D互补，cosACB，ACBC2，AB4AD（1）求AB的长；（2）求sinACD解：（1）在ABC中，由余弦定理得：AB2AC2+BC22ACBCcosACB16AB4（2）AD1ACB与D互补，cosDcosACBsinD在ACD中，由正弦定理得：，sinACD19校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组75，80），第2组80，85），第3组85，90），第4组90，95），第5组95，100，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学
16、生才能获得面试资格（）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；（）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；（）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？解：（1）其它组的频率为（0.01+0.07+0.06+0.02）50.8，所以第4组的频率为0.2，频率分布图如图：（2）设样本的中位数为x，则50.01+50.07+（x85）0.060.5，解得x，样本中位数的估计值为，平均数为77.50.05+82.50.35+87.50.30+92.50.20+97.50.1087.25；（3）依题意良好的人数为400
17、.416人，优秀的人数为400.624人优秀与良好的人数比为3：2，所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人，良好2人，记“从这5人中选2人至少有1人是优秀”为事件M，将考试成绩优秀的三名学生记为A，B，C，考试成绩良好的两名学生记为a，b，从这5人中任选2人的所有基本事件包括：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10个基本事件，事件M含的情况是：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共9个，所以P（M）0.920已知函数（1）求函数f（x）在区间上的值域；（2）设，求sin的值解：（1），当x0，时，即当2x+时，函数取得最小值为y2sin，当2x
18、+时，函数取得最大值为y2sin2，所以，此时f（x）的值域为（2）因为，所以，所以，21在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（1）求角C；（2）若c2，求ABC面积的最大值解：（1）因为，所以3（sinBsinCcosA）sinAsinC，所以3sinBsinAsinC+3sinCcosA3sin（A+C），所以3sinAcosC+3sinCcosAsinAsinC+3sinCcosA，整理得3sinAcosCsinAsinC，因为sinA0，所以sinCcosC，即tanC，由C为三角形内角得，C，（2）由余弦定理得c2a2+b2abab，当且仅当ab时取等号，故ab4
19、，SABC，故ABC面积的最大值22借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图象的旋转问题试解答下列问题（1）在直角坐标系中，点A（，1），将点A绕坐标原点O按逆时针方向旋转到点B如果终边经过点A的角记为，那么终边经过点B的角记为+试用三角比知识，求点B的坐标；（2）如图，设向量（h，k），把向量按逆时针方向旋转角得到向量，求向量的坐标；（3）设A（a，a），B（m，n）为不重合的两定点，将点B绕点A按逆时针方向旋转角得点C，判断C是否能够落在直线yx上，若能，试用a，m，n表示相应的值，若不能，说明理由解：（1）因为A 坐标为 ，终点经过点A的角记为 ，那么可知tan ，将点A绕坐标原
20、点O按逆时针方向旋转言到点B，且终边经过B的角记为 ，设B坐标为 （x，y），那么，因为，所以，即 x2y，又因为，故 x2+y25，所以（2y）2+y25，解之得 y11，y21，于是可知对应 x12y12（1）2，x22y2212，又因为B点为 A 点逆时针旋转 ，且 A 点坐标为 ，在第四象限可知 B 在第四象限或第一象限，故 x2，y1，可知 B 坐标为 （2，1）（2）过点A作直线ADx轴，如图设 所以hrcosBAD，krsinBAD，所以可知 ，设，所以xrcos（BAD+），yrsin（BAD+），因此（hcosksin，kcos+hsin）（3）因为A（a，a），B（m，n），A，B 不重合，所以，由（2）知将点 B 绕 A 逆时针旋转 1角后得 C 点 ，因为C 在直线 yx 上，又 A 在直线 yx 上，所以 也在直线 yx 上，故 （ma）cos1（na）sin1（ma）sin1+（na）cos1，所以（ma）cos1（ma）sin1（na）cos1+（na）sin1，所以（ma）（cos1sin1）（na）（cos1+sin1），所以，所以，所以，所以，所以，所以，因此
