1、防城港市防城中学2020年秋季期10月高三数学（文科）月考试题一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合，则（）A0，1B（0，1C0，1）D（，12若复数（为虚数单位），则（）A2B1CD3等比数列中，则与的等比中项是（）A4B4CD4ABC中，AB2，AC3，B60，则cosC（）ABCD5已知向量与，则“”是“共线且方向相反”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是（）A5B6C7D87在空间中，a、b、c是三条不同的直
2、线，、是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A若ac，bc，则abB若a，b，则abC若a，b，则abD若，a，则a8设连续抛掷骰子两次所得的点数构成点，则点落在圆内的概率为（ ）ABCD9函数的图象可能是（）ABCD10已知，则a，b，c的大小关系为（）AcabBcbaCbacDbca11已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，则C的离心率为（）ABCD12定义在R上的奇函数满足，且在0，1）上单调递减，若方程在0，1）上有实数根，则方程在区间1，11上所有实根之和是（）A30B14C12D6二填空题（本题共4小题，每小题5分，共
3、20分）13函数的定义域为 .14若x，y满足则的最大值为 15已知函数的图象在点处的切线过点，则 16已知，若不等式对一切xR恒成立，则的最大值为 三解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必答题，每道试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17（本小题满分12分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设（1）求角的大小；（2）若，求18（本小题满分12分）手机运动计步已经成为一种新时尚某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（1）求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中
4、位数；（2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数；（3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间（150，170的概率19（本小题满分12分）如图，直四棱柱的底面是菱形，E，M分别是的中点（1）证明：点在平面内；（2）已知在上，若,求线段的长20（本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为（1）求椭圆C的方程；（2）斜率为的动直线与椭圆C交于A、B两点，点在直线上，求证无论直线如何转动，以AB为直径的圆恒过点T（1，0）2
5、1（本小题满分12分）设函数.（1）讨论单调性；（2）若；对于任意的，使得恒成立，求的取值范围22（本小题满分10分）在直角坐标系中，点，直线的参数方程是（t为参数）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为（）求圆C的直角坐标系下的标准方程；（）已知与圆C交于A，B两点，且，求的普通方程23（本小题满分10分）已知函数（1）时，求不等式的解集；（2）若函数的图象恒在直线yx的图象的上方（无公共点），求实数m的取值范围防城港市防城中学2020年秋季期10月高三数学（文科）月考试题参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1设集合Mx|x2x，Nx|lgx0，则MN（）A0
6、，1B（0，1C0，1）D（，1【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案【解答】解：由Mx|x2x0，1，Nx|lgx0（0，1，得MN0，1（0，10，1故选：A【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题2若复数（i为虚数单位），则|z|（）A2B1CD【分析】根据复数的运算性质计算即可【解答】解：i，故|z|，故选：C【点评】本题考查了复数的运算，复数求模问题，熟练掌握复数的运算性质是解题的关键3等比数列an中，则a4与a8的等比中项是（）A4B4CD【分析】利用等比数列的通项公式可得a6再利用a4a8，即可得出a4与a8的等比中项
7、【解答】解：，a6a2q4244又a4a816a4与a8的等比中项是4故选：A【点评】本题考查了等比数列的通项公式与性质、等比中项，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4ABC中，AB2，AC3，B60，则cosC（）ABCD【分析】由已知及正弦定理可得sinC，又ABAC，利用大边对大角可得C为锐角，根据同角三角函数基本关系式即可求得cosC得值【解答】解：AB2，AC3，B60，由正弦定理可得：sinC，又ABAC，C为锐角，cosC故选：D【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题5已知向量与，则“k2”是“
8、共线且方向相反”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】由向量共线的坐标运算可得，k2，得到共线，方向相同或相反；反之，共线且方向相反，得到k2，则k2【解答】解：由，且共线，得k240，解得k2当k2时，共线且方向相同；当k2时，共线且方向相反“k2”是“共线且方向相反”的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查向量共线的坐标运算，是基础题6按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是（）A5B6C7D8【分析】由图知，每次进入循环体后，S的值被施加的运算是乘以2加上1，由此运算规律进行计算，经过运算后输出
9、的结果是63，从而得解【解答】解：由图知运算规则是对S2S+1，执行程序框图，可得A1，S1满足条件AM，第一次进入循环体后S21+13，满足条件AM，第二次进入循环体后S23+17，满足条件AM，第三次进入循环体后S27+115，满足条件AM，第四次进入循环体后S215+131，满足条件AM，第五次进入循环体后S231+163，由于A的初值为1，每进入一次循环体其值增大1，第五次进入循环体后A5故判断框中的整数M的值应为5，这样就可保证循环体只能被运行五次故选：A【点评】本题考查循环结构，已知运算规则与最后运算结果，求运算次数的一个题是算法中一种常见的题型，属于基础题7在空间中，a、b、c是
10、三条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A若ac，bc，则abB若a，b，则abC若a，b，则abD若，a，则a【分析】由空间中直线与直线的位置关系判定A；由空间中平面与平面垂直的定义及性质判断B；由直线与平面、平面与平面平行的性质判断C；由平面与平面、直线与平面平行的定义判断D【解答】解：对于A，若ac，bc，则ab或a与b相交或a与b异面，故A错误；对于B，若a，b，则ab或a与b相交或a与b异面，故B错误；对于C，若a，b，则ab或a与b异面，故C错误；对于D，若，a，则a，故D正确故选：D【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应
11、用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题8选D9函数f（x）xln|x|的图象可能是（）ABCD【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置排除选项即可【解答】解：函数f（x）xln|x|是奇函数，排除选项A，C；当x时，y，对应点在x轴下方，排除 B；故选：D【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常用方法10已知a30.2，blog64，clog32，则a，b，c的大小关系为（）AcabBcbaCbacDbca【分析】a30.21，利用换底公式可得：blog64，clog32，由于1log26log29，即可得出大小关系【解答】解：a30.21
12、，blog64，clog32，1log26log29，1bc，则abc，故选：B【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11已知F1，F2是椭圆C：1（ab0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为（）ABCD【分析】求得直线AP的方程：根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率【解答】解：由题意可知：A（a，0），F1（c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y（x+a），由F1F2P120，|PF2|F1F2|2c，则P（2c，c），代入直线
13、AP：c（2c+a），整理得：a4c，题意的离心率e故选：D【点评】本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题12定义在R上的奇函数f（x）满足f（2x）f（x），且在0，1）上单调递减，若方程f（x）1在0，1）上有实数根，则方程f（x）1在区间1，11上所有实根之和是（）A30B14C12D6【分析】根据条件可得出f（x）的图象关于x1对称，f（x）的周期为4，从而可考虑f（x）的一个周期，利用1，3，根据f（x）在0，1）上是减函数可得出f（x）在（1，2上是增函数，f（x）在（1，0）上是减函数，在2，3）上是增函数，然后根据f（x）1在0，1）上有实数根，可判断该实
14、数根是唯一的并可判断f（x）1在一个周期1，3内有两个实数根，并得这两实数根和为2，从而得出f（x）1在区间1，11这三个周期内上有6个实数根，和为30【解答】解：由f（2x）f（x）知函数f（x）的图象关于直线x1对称，f（2x）f（x），f（x）是R上的奇函数，f（x）f（x+2）f（x），f（x+4）f（x），f（x）的周期为4，考虑f（x）的一个周期，例如1，3，由f（x）在0，1）上是减函数知f（x）在（1，2上是增函数，f（x）在（1，0上是减函数，f（x）在2，3）上是增函数，对于奇函数f（x）有f（0）0，f（2）f（22）f（0）0，故当x（0，1）时，f（x）f（0）0，当
15、x（1，2）时，f（x）f（2）0，当x（1，0）时，f（x）f（0）0，当x（2，3）时，f（x）f（2）0，方程f（x）1在0，1）上有实数根，则这实数根是唯一的，因为f（x）在（0，1）上是单调函数，则由于f（2x）f（x），故方程f（x）1在（1，2）上有唯一实数，在（1，0）和（2，3）上f（x）0，则方程f（x）1在（1，0）和（2，3）上没有实数根，从而方程f（x）1在一个周期内有且仅有两个实数根，当x1，3，方程f（x）1的两实数根之和为x+2x2，当x1，11，方程f（x）1的所有6个实数根之和为x+2x+4+x+4+2x+x+8+2x+82+8+2+8+2+830故选：A【
16、点评】本题考查了由f（2ax）f（x）可判断f（x）关于xa对称，周期函数的定义，增函数和减函数的定义，考查了计算和推理能力，属于难题二填空题（共4小题）1314若x，y满足则zx+2y的最大值为2【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使z最大，则直线在y轴上的截距最大，结合可行域可知当直线zx+2y过点B时z最大，求出B的坐标，代入zx+2y得答案【解答】解：由足约束条件作出可行域如图，由zx+2y，得y+要使z最大，则直线y+的截距最大，由图可知，当直线y+过点A时截距最大联立，解得，A（0，1），zx+2y的最大值为0+212故答案为：2【点评】本
17、题考查了简单的线性规划，解答的关键是正确作出可行域，是中档题15已知函数f（x）ax3+x+1的图象在点（1，f（1）处的切线过点（2，7），则a1【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可【解答】解：函数f（x）ax3+x+1的导数为：f（x）3ax2+1，f（1）3a+1，而f（1）a+2，切线方程为：ya2（3a+1）（x1），因为切线方程经过（2，7），所以7a2（3a+1）（21），解得a1故答案为：1【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力16已知f（x），若不等式f（x2）f（x）对一切xR恒成立，则a的最大值为【分析】根据分段函数的表达式，分别
18、讨论x的取值范围，利用参数分离法求出a的范围即可得到结论【解答】解：不等式f（x2）f（x）对一切xR恒成立，若x0，则x22则不等式f（x2）f（x）等价为，2（x2）2x，即40，此时不等式恒成立，若0x2，则x20，则不等式f（x2）f（x）等价为，2（x2）ax2+x，即ax243x，则a，设h（x）4（）2，0x2，则h（x），此时a，若x2，则x20，则f（x2）f（x）等价为，a（x2）2+（x2）ax2+x，即4a（1x）2，x2，x2，1x1，则不等式等价，4a即2a则g（x）在x2时，为增函数，g（x）g（2）1，即2a1，则a，故a的最大值为，方法2：作出函数f（x）和f
19、（x2）的图象，当a0时，f（x2）f（x）对一切xR不恒成立，当a0时，f（x）2x，x0，f（x2）2（x2），则f（x2过定点（2，0），当x0时，f（x）ax2+x的两个零点为x0和x，要使不等式f（x2）f（x）对一切xR恒成立，则只需要2，得a，即a的最大值为，故答案为：【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用分类讨论的数学思想，结合参数分离法进行求解即可三解答题（共7小题）18手机运动计步已经成为一种新时尚某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（1）求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数；（2）若该单位有职工200人
20、，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数；（3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间（150，170的概率【分析】（1）由频率和为1，列方程求出a的值，再利用中位数两边频率相等，求出中位数的值；（2）由频率样本容量求出对应的频数即可；（3）根据分层抽样原理抽取6人，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值【解答】解：（1）由题意，得0.00220+0.00620+0.00820+a20+0.01020+0.00820+0.00220+0.002201，解得a0.012；设中位
21、数为110+x，则0.00220+0.00620+0.00820+0.012x0.5，解得x15，所以中位数是125；（2）由200（0.00220+0.00620+0.00820+0.01220）112，所以估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人；（3）在区间（150，170中有2000.0082032人，在区间（170，190中有2000.002208人，在区间（190，210中有2000.002208人，按分层抽样抽取6人，则从（150，170中抽取4人，（170，190中抽取1人，（190，210中抽取1人；设从（150，170中抽取职工为a、b、c、d，从（170，19
22、0中抽取职工为E，从（190，210中抽取职工为F，则从6人中抽取2人的情况有ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种情况，它们是等可能的，其中满足两人均来自区间（150，170的有ab、ac、ad、bc、bd、cd共有6种情况，所以P；所以两人均来自区间（150，170的概率为【点评】本题考查了频率分布直方图与古典概型的概率计算问题，是基础题20已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2（1）求椭圆C的方程；（2）斜率为k的动直线I与椭圆C交于A、B两点，点S（，0）在直线l上，求证无论直线l如何转动，以
23、AB为直径的圆恒过点T（1，0）【分析】（1）根据题意，列式即可得a，c1，根据b2a2c21，进而解得椭圆方程；（2）根据题意，可得直线l的方程为：yk（x+），联立直线方程与椭圆方程，通过0，进而证明无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T（1，0）【解答】解：（1）由题可知，解得，b2a2c21，椭圆C的方程为：+x21（2）证明：由题，直线l的方程为：yk（x+），设A（x1，y1），B（x2，y2），则代入椭圆方程+x21，整理得（k2+2）x2+k2x+0点S（，0）在椭圆内，此方程必有两个实根，（x11，y1）（x21，y2）（x11）（x21）+k（x1+）k（x2+）（k
24、2+1）x1x2+（k23）（x1+x2）+（k2+9）（k2+1）（k218）2k2（k23）+（k2+9）（k2+2）0，以AB为直径的圆恒过点T（1，0）【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，向量法与椭圆的结合应用，考查学生转化的思想与计算能力，属于综合题21设函数f（x）lnxax2+a（aR）（1）讨论f（x）单调性；（2）若；对于任意的x（1，+），使得f（x）g（x）恒成立，求a的取值范围【分析】（1）求导，分a0及a0两种情况讨论即可；（2）构造函数，依题意，h（x）0在x（1，+）恒成立，求导利用导数转化求解即可【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+），当a0时，12a
25、x20，f（x）0，故f（x）在（0，+）上递增，当a0时，令f（x）0，解得，易知，当时，f（x）0，f（x）单调递增，当时，f（x）0，f（x）单调递减；（2）f（x）g（x）恒成立，即恒成立，即恒成立，令，则，h（1）0，h（x）的定义域为（1，+），若h（1）0，则必存在x0（1，+），使得h（x0）h（1）0，不合题意，必须h（1）2a10，解得，令，k（x）在（1，+）递增，k（x）k（1）0，故h（x）0满足题意，实数a的取值范围为【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题22在直角坐标系a中，点P（1，0），直线l的
26、参数方程是（t为参数）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为2+8cos30（）求圆C的直角坐标系下的标准方程；（）已知l与圆C交于A，B两点，且，求l的普通方程【分析】（）根据xcos，ysin，2x2+y2代入圆C的极坐标方程，从而求出圆的标准方程即可；（）将直线代入圆的方程，结合韦达定理求出l的标准方程即可【解答】解：（）将xcos，ysin，2x2+y2代入圆C的极坐标方程：2+8cos30，得x2+y2+8x30，标准方程为（x+4）2+y219（4分）（）将直线l的参数方程（t为参数）代入圆C的直角坐标方程（x+4）2+y219中，化简得t2+10tco
27、s+60，设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理知t1+t210cos，t1t2，t1，t2同号，又，由可知或，解得，l的普通方程为（10分）【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程和普通方程的转化，考查二次函数的性质，是一道中档题23已知函数f（x）|x1|+m|x+2|（1）m2时，求不等式f（x）5的解集；（2）若函数f（x）的图象恒在直线yx的图象的上方（无公共点），求实数m的取值范围【分析】（1）利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号，转化求解即可（2）由题意知|x1|+m|x+2|x恒成立，通过x与2的大小比较，通过分离变量，求解表达式的最值即可【解答】解：（1）f（x）5，即|x1|+2|x+2|5，当x2时，x+12x45，解得，当2x1时，1x+2x+45，解得x0，0x1当x1时，x1+2x+45，解得，x1综上所述，不等式f（x）5的解集为（2）由题意知|x1|+m|x+2|x恒成立，当x2时，x+1mx2mx，变形得恒成立，m2（7分）当x2时，m可以取任意实数；当2x1时，1x+mx+2mx，变形得恒成立，当x1时，x1+mx+2mx，变形得，综上所述，实数m的取值范围为【点评】本题考查函数与方程的综合应用，绝对值不等式的解法，分类讨论思想的应用，考查计算能力
