1、河北省石家庄市五校联合体2015届高三上学期摸底数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）已知集合M=2，3，4，N=0，2，3，4，5，则NM=（）A2，3，4B0，2，3，4，5C0，5D3，52（5分）“（x1）（y2）0”是“x1或y2”成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件3（5分）已知a=log34，b=（）0，c=10，则下列关系中正确的是（）AabcBbacCacbDcab4（5分）在等差数列an中，若a2，a10是方程x2+12x8=0的两个根，那么a6的值为：（）A12B6C12D65（5分）已知M（2，0）、N（2，0
2、），|PM|PN|=4，则动点P的轨迹是（）A双曲线B双曲线左边一支C一条射线D双曲线右边一支6（5分）已知实数x，y满足，则z=4x+y的最大值为（）A10B8C2D07（5分）f（x）=2x+x3的零点所在区间为（）A（0，1）B（1，0）C（1，2）D（2，l）8（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（）ABCD9（5分）已知向量、的夹角为45，且|=1，|2|=，则|=（）A3B2CD110（5分）若m+n=1（mn0），则+的最小值为（）A1B2C3D411（5分）设有直线m、n和平面、，下列四个命题中，正确的是（）
3、A若m，n，则mnB若m，n，m，n，则C若，m，则mD若，m，m，则m12（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（1）=2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）A（1，1）B（1，+）C（，1）D（，+）二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）抛物线的焦点坐标是14（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是15（5分）已知定义在R上的函数f（x），满足f（1）=，且对任意的x都有f（x+3）=，则f=16（5分）在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为函数y=2x33x+1的图象关于点（0，1）成中心对称；对x，yR，若x+y0，则x1，或y1；若实数x
4、，y满足x2+y2=1，则的最大值为；若ABC为钝角三角形，则sinAcosB三、解答题（共70分）17（10分）知等差数列an的前n项和为Sn，且a3=5，S15=225（）求数列an的通项an；（）设bn=+2n，求数列bn的前n项和Tn18（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x，xR（1）求f（x）的最小正周期；（2）已知f（）=，0，求cos（+）的值19（12分）在ABC中，已知内角A=，边BC=2设内角B=x，面积为y（1）若x=，求边AC的长；（2）求y的最大值20（12分）如图，底面是正三角形的直三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=2
5、（）求证：A1C平面AB1D；（）求的A1到平面AB1D的距离21（12分）已知椭圆E的两个焦点分别为（1，0）和（1，0），离心率e=（）求椭圆E的方程；（）设直线l：y=x+m（m0）与椭圆E交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T，当m变化时，求TAB面积的最大值22（12分）已知函数f（x）=lnxmx（mR）（1）若曲线y=f（x）过点P（1，1），求曲线y=f（x）在点P的切线方程；（2）若f（x）0恒成立求m的取值范围；（3）求函数f（x）在区间1，e上最大值河北省石家庄市五校联合体2015届高三上学期摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分
6、）1（5分）已知集合M=2，3，4，N=0，2，3，4，5，则NM=（）A2，3，4B0，2，3，4，5C0，5D3，5考点：补集及其运算 专题：集合分析：根据集合补集的定义即可得到结论解答：解：M=2，3，4，N=0，2，3，4，5，NM=0，5，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础2（5分）“（x1）（y2）0”是“x1或y2”成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：考查其逆否命题：“x=1且y=2”可以推出“（x1）（y2）=0”，但反之不能，即可得出解答：解：考查其逆否命题：“
7、x=1且y=2”可以推出“（x1）（y2）=0”，但反之不能，逆否命题为充分不必要条件，即原命题也是充分不必要条件，故选：A点评：本题考查了逆否命题与充要条件，属于基础题3（5分）已知a=log34，b=（）0，c=10，则下列关系中正确的是（）AabcBbacCacbDcab考点：对数值大小的比较 专题：函数的性质及应用分析：根据对数函数的性质，分别求出a，b，c的范围，即可得到结论解答：解：a=log341，b=（）0=1，c=100，ab0，故选：A点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和指数函数的性质是解决此类问题的关键比较基础4（5分）在等差数列an中，若a2，a10是方程
8、x2+12x8=0的两个根，那么a6的值为：（）A12B6C12D6考点：等差数列的性质 专题：计算题分析：先根据韦达定理求得a2+a10的值，进而根据等差中项的性质求得a6解答：解：a2，a10是方程x2+12x8=0的两个根，a2+a10=122a6=a2+a10，a6=6故选B点评：本题主要考查了等差数列的性质等差中项在解决等差数列问题时经常被用到，应熟练记忆并灵活运用5（5分）已知M（2，0）、N（2，0），|PM|PN|=4，则动点P的轨迹是（）A双曲线B双曲线左边一支C一条射线D双曲线右边一支考点：双曲线的定义 专题：数形结合分析：由于动点P满足|PM|PN|=4|=|MN|，那么
9、不符合双曲线的定义（定义要求|PM|PN|MN|），则利用几何性质易得答案解答：解：因为|MN|=4，且|PM|PN|=4，所以动点P的轨迹是一条射线故选C点评：本题考查双曲线定义6（5分）已知实数x，y满足，则z=4x+y的最大值为（）A10B8C2D0考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：画出足约束条件的平面区域，再将平面区域的各角点坐标代入进行判断，即可求出4x+y的最大值解答：解：已知实数x、y满足，在坐标系中画出可行域，如图中阴影三角形，三个顶点分别是A（0，0），B（0，2），C（2，0），由图可知，当x=2，y=0时，4x+y的最大值是8故选：B点评：本题考查线性规划
10、问题，难度较小目标函数有唯一最优解是最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解7（5分）f（x）=2x+x3的零点所在区间为（）A（0，1）B（1，0）C（1，2）D（2，l）考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：由函数的解析式求得f（1）f（0）0，根据函数零点的判定定理，可得f（x）=2x+x3的零点所在区间解答：解：连续函数f（x）=2x+x3，f（1）=1=，f（0）=1+0=1，f（1）f（1）=10，根据函数零点的判定定理，f（x）=2x+x3的零点所在区间为（1，0），故选 B点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，连续函数只有在
11、某区间的端点处函数值异号，才能推出此函数在此区间内存在零点，属于基础题8（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（）ABCD考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的求值分析：利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出的最小值解答：解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移的单位，所得图象是函数y=sin（2x+2），图象关于y轴对称，可得2=k+，即=，当k=1时，的最小正值是故选：C点评：本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点
12、，属于基础题9（5分）已知向量、的夹角为45，且|=1，|2|=，则|=（）A3B2CD1考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用分析：将|2|=平方，然后将夹角与|=1代入，得到|的方程，解方程可得解答：解：因为、的夹角为45，且|=1，|2|=，所以424+2=10，即|22|6=0，解得|=3或|=（舍），故选A点评：本题解题的关键是将模转化为数量积，从而得到所求向量模的方程，利用到了方程的思想10（5分）若m+n=1（mn0），则+的最小值为（）A1B2C3D4考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出解答：解：m+n=1（
13、mn0），m，n0+=（m+n）=2+=4，当且仅当m=n=取等号故选：D点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题11（5分）设有直线m、n和平面、，下列四个命题中，正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，m，n，则C若，m，则mD若，m，m，则m考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：证明题分析：由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断A、B、D；由面面垂直的性质定理判断C解答：解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；故选：D点评：本题考查了线面的位置
14、关系，主要用了面面垂直和平行的定理进行验证，属于基础题12（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（1）=2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）A（1，1）B（1，+）C（，1）D（，+）考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：构造函数g（x）=f（x）2x4，利用导数研究函数的单调性即可得到结论解答：解：设g（x）=f（x）2x4，则g（x）=f（x）2，对任意xR，f（x）2，对任意xR，g（x）0，即函数g（x）单调递增，f（1）=2，g（1）=f（1）+24=44=0，则函数g（x）单调递增，由g（x）g（1）=0得x1，即f（x）2x+4的解集为
15、（1，+），故选：B点评：本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）抛物线的焦点坐标是（0，1）考点：抛物线的简单性质 专题：计算题分析：抛物线方程即 x2=4y，从而可得 p=2，=1，由此求得抛物线焦点坐标解答：解：抛物线 即 x2=4y，p=2，=1，故焦点坐标是（0，1），故答案为 （0，1）点评：本题主要考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题14（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：由三视图复原几何体为一三棱锥，底面三角形
16、一边为2，此边上的高为，三棱锥的高为1，根据椎体体积公式计算即可解答：解：由三视图复原几何体为一三棱锥，底面三角形一边为2，此边上的高为，三棱锥的高为1所以V=Sh=故答案为：点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键15（5分）已知定义在R上的函数f（x），满足f（1）=，且对任意的x都有f（x+3）=，则f=5考点：函数的周期性 专题：函数的性质及应用分析：由条件可证函数的周期为6，可得=f（4）=，代值可得解答：解：对任意的x都有f（x+3）=，f（x+6）=f（x），函数f（x）为周期函数，且周期T=6，f=f（3356+4）=f（4）
17、=f（1+3）=5故答案为：5点评：本题考查函数的周期性，得出函数的周期为6是解决问题的关键，属基础题16（5分）在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为函数y=2x33x+1的图象关于点（0，1）成中心对称；对x，yR，若x+y0，则x1，或y1；若实数x，y满足x2+y2=1，则的最大值为；若ABC为钝角三角形，则sinAcosB考点：命题的真假判断与应用 专题：函数的性质及应用分析：本题考查的知识点是判断命题真假，比较综合的考查了函数的性质，我们可以根据对称性等函数的性质对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论解答：解：函数y=2x33x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（
18、x0，y0）在函数图象上，则其关于点（0，1）的对称点为（x0，2y0）也满足函数的解析式，则正确；对x，yR，若x+y0，对应的是直线y=x以外的点，则x1，或y1，正确；若实数x，y满足x2+y2=1，则=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（2，0）连线的斜率，其最大值为，正确；若ABC为钝角三角形，若A为锐角，B为钝角，则sinAcosB，错误故答案为：点评：的判断中使用了数形结合的思想，是数学中的常见思想，要加深体会三、解答题（共70分）17（10分）知等差数列an的前n项和为Sn，且a3=5，S15=225（）求数列an的通项an；（）设bn=+2n，求数列bn的前n项和Tn考点
19、：等差数列的前n项和；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（）设出等差数列的首项和等差，根据等差数列的通项公式及前n项和的公式把已知条件a3=5，S15=225化简，得到关于首项和公差的两个关系式，联立两个关系式即可求出首项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（）把求出的通项公式an代入bn=+2n中，得到bn的通项公式，然后列举出数列的各项，分别利用等差数列及等比数列的前n项和的公式化简后得到数列bn的前n项和Tn的通项公式解答：解：（）设等差数列an首项为a1，公差为d，由题意，得，解得，an=2n1；（），Tn=b1+b2+bn=（4+42+4n）+2（1+2+n）=点评
20、：此题考查学生灵活等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，灵活运用等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道综合题18（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x，xR（1）求f（x）的最小正周期；（2）已知f（）=，0，求cos（+）的值考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）利用三角恒等变换化简f（x），求出它的最小正周期；（2）由f（）=求出sin（+）的值，考虑的取值范围，求出+的取值范围，从而求出cos（+）的值解答：解：（1）f（x）=2sinxcosx+2cos2x=s
21、in2x+cos2x+1=2（sin2x+cos2x）+1=2sin（2x+）+1，xRf（x）的最小正周期为T= （2）f（）=2sin2（）+1=2sin（+）+1=，0，时，点评：本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的求值问题，解题时应注意三角函数的化简以及由值求角和由角求值时角的范围，是中档题19（12分）在ABC中，已知内角A=，边BC=2设内角B=x，面积为y（1）若x=，求边AC的长；（2）求y的最大值考点：正弦定理 专题：解三角形分析：（1）由条件利用正弦定理可得=，由此求得AC的值（2）由三角形内家和公式可得0B，由正弦定理可得AC=4sinx，求得y=2sin（2x）+
22、再由2x，利用正弦函数的定义域和值域求得y的最大值解答：解：（1）ABC中，已知内角A=，边BC=2，内角B=x，故由正弦定理可得=，即 =，解得AC=2（2）由三角形内家和公式可得0B，由正弦定理可得AC=4sinx，y=ACBCsinC=4sinxsin（x）=4sinx（cosx+sinx）6sinxcosx+2sin2x=2sin（2x）+再由2x，可得当2x=时，y取得最大值为2+=3点评：本题主要考查正弦定理，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题20（12分）如图，底面是正三角形的直三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=2（）求证：A1C平面A
23、B1D；（）求的A1到平面AB1D的距离考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（）连接A1B交AB1于O，连接OD，可得ODA1C，即可证明A1C平面AB1D；（）利用，求A1到平面AB1D的距离解答：（）证明：连接A1B交AB1于O，连接OD，在BA1C中，O为BA1中点，D为BC中点，ODA1C（3分）OD面AB1D，A1C平面AB1D（6分）（）解：由可知A1C平面AB1D，点A1到平面AB1D的距离等于点C到平面AB1D的距离（8分）AD1B为Rt，（10分）设点C到面AB1D的距离为h，则即解得（12分）点评：本题考查线面平行，考查
24、点C到面AB1D的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21（12分）已知椭圆E的两个焦点分别为（1，0）和（1，0），离心率e=（）求椭圆E的方程；（）设直线l：y=x+m（m0）与椭圆E交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T，当m变化时，求TAB面积的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）根据椭圆的焦点坐标，离心率，求出a，c，可求b，即可求椭圆E的方程；（）直线y=x+m代入椭圆方程，求出|AB|，|MT|，可得TAB的面积，配方，即可求出三角形面积的最大值解答：解：（）由已知椭圆的焦点在x轴上，c=1，=，a=，b=1，
25、（2分）椭圆E的方程为（4分）（）y=x+m代入椭圆方程，消去y得3x2+4mx+2m22=0直线l与椭圆有两个交点，0，可得m23（*）（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，x1x2=，弦长|AB|=|x1x2|=，（8分）AB中点M（，），设T（x，0），kABkMT=1，x=，T（，0），|TM|=（11分）S=|AB|MT|=m23，m2=时，Smax=（14分）点评：待定系数法是解决椭圆标准方程的关键，直线与圆锥曲线联立，是解决弦长问题的常用方法22（12分）已知函数f（x）=lnxmx（mR）（1）若曲线y=f（x）过点P（1，1），求曲线y=f（x）在点P的
26、切线方程；（2）若f（x）0恒成立求m的取值范围；（3）求函数f（x）在区间1，e上最大值考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；压轴题；导数的综合应用分析：（1）由f（x）过点P（1，1）可得1=ln1m，从而解出m=1，进而求曲线y=f（x）在点P的切线方程；（2）原式可化为lnxmx0恒成立，结合x0可化为恒成立，从而化为求的最大值，利用导数求最值；（3）由讨论，m的取值，以确定函数函数f（x）在区间1，e上的单调性，从而求函数在区间1，e上的最大值解答：解：（1）f（x）过点P（1，1），1=ln1m，m=1，f（x）=lnxx，f（1）=0，
27、过点P（1，1）的切线方程为y=1（2）f（x）0恒成立，即lnxmx0恒成立，mxlnx，又f（x）定义域为（0，+），恒成立；设，当x=e时，g（e）=0当0xe时，g（x）0，g（x）为单调增函数，当xe时，g（x）0，g（x）为单调减函数，当时，f（x）0恒成立（3），当m0时，f（x）0，f（x）在（0，+）为单增函数，在x1，e上，f（x）max=f（e）=1me；当，即时，当时，f（x）0，f（x）为单增函数，当时，f（x）0，f（x）为单减函数，x1，e上，；当m1时，即在为单减函数，x1，e上，f（x）max=f（1）=m；当，即时，f（x）在为单增函数，x1，e时，f（x）max=f（e）=1me；综上所述，当时，f（x）max=f（e）=1me，当时，当m1时，f（x）max=f（1）=m点评：本题考查了导数的综合应用，恒成立问题一般要转化为函数的最值问题，本题求闭区间上的最值问题时用到了分类讨论的数学思想，是本题的难点，要注意选择恰当的标准分类，属于难题
