1、河北省石家庄市 2020-2021 学年高一数学下学期期末考试教学质量检测试题（含解析）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）.1某学校有高中学生 900 人，其中高一有 400 人，高二 300 人，高三 200 人，采用分层抽样的方法抽取一个容量为 45 的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的学生人数为（）A25、15、5 B20、15、10 C30、10、5 D15、15、15 2已知 i 是虚数单位，复数 z，则 z 的共轭复数 在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知，是两个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，下列四个命题
2、中正确的是（）A如果 m，n，那么 mn B如果 m，n，那么 mn C如果 mn，m，n，那么 D如果，直线 m 与 所成的角和直线 n 与 所成的角相等，那么 mn 4一组数据中的每一个数据都乘以 3，再减去 50，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是 1.6，方差是 3.6，则原来数据的平均数和方差分别是（）A17.2，3.6 B54.8，3.6 C17.2，0.4 D54.8，0.4 5已知ABC 内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，面积为 S若 asinbsinA，2S，则ABC 的形状是（）A等腰三角形 B直角三角形 C正三角形 D等腰直角三角形 6已知圆锥的顶点和底
3、面圆周都在球 O 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为3，则球 O 的表面积等于（）A B C D 7已知函数 g（x）sin（x+），g（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到 f（x）的图象，f（x）的部分图象如图所示，若，则 等于（）A B C D 8已知菱形 ABCD 边长为 1，BAD60，对角线 AC 与 BD 交于点 O，将菱形 ABCD 沿对角线 BD 折成平面角为 的二面角，若 60，120，则折后点 O 到直线 AC 距离的最值为（）A最小值为，最大值为 B最小值为，最大值为 C最小值为，最大值为 D最小值为，最大值为 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5
4、分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，选错或不选得 0 分 9下列命题不正确的是（）A若 za+bi（a，bR），则当 a0 时，z 为纯虚数 B若 z1，z2C，z12+z220，则 z1z20 C若实数 a 与 ai 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系 D若|z+i|1，则|z|的最大值为 3 10已知向量（2，1），（3，1），则（）A（）B向量 在向量 上的投影向量是 C|5 D与向量 共线的单位向量是（，）11水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征如图是一个半径为
5、R 的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时 120 秒经过 t 秒后，水斗旋转到 P 点，设点 P的坐标为（x，y），其纵坐标满足 yf（t）Rsin（t+）（t0，0，|），则下列叙述正确的是（）A B当 t0，60时，函数 yf（t）单调递增 C当 t0，60时，点 P 到 x 轴的距离的最大值为 3 D当 t100 时，|PA|6 12已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABBC，ABBCBB1，D 是 AC 的中点，O 为 A1C 的中点点P 是 BC1上的动点，则下列说法正确的是（）A当点 P 运动到 BC1中点时，直线 A1P 与平面 A1B1C1所成
6、的角的正切值为 B无论点 P 在 BC1上怎么运动，都有 A1POB1 C当点 P 运动到 BC1中点时，才有 A1P 与 OB1相交于一点，记为 Q，且 D当点 P 在 BC1上运动时，直线 A1P 与 AB 所成角可以是 30 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13复数 2+i 为一元二次方程 x2+ax+b0（a，bR）的一个根，则复数|a+bi|14如图，在ABC 中，P 是线段 BN 上的一点，若m+，则实数 m 15某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是cm3
7、，则正方体石块的棱长是 cm；若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，则此球形石凳的最大体积是 cm3 16设定义在区间（0，）上的函数 y2cosx 的图象与 y3tanx 的图象交于点 P，过点P 作 x 轴的垂线，垂足为 P1，直线 PP1与函数 ysinx 的图象交于点 P2，则线段 P1P2的长为 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知向量、满足|1，|k+|k|（k0，kR）（1）求 关于 k 的解析式 f（k）；（2）若 ，求实数 k 的值；（3）求向量 与 夹角的最大值 18已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：
8、函数 f（x）的最大值为 2；函数 f（x）的图象可由的图象平移得到；函数 f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为（1）请写出这两个条件序号，并求出 f（x）的解析式；（2）求方程 f（x）+10 在区间，上所有解的和 19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 PAD底面 ABCD，E 为侧棱 PD的中点（1）求证：PB平面 ACE；（2）若平面 ABE 与侧棱 PC 交于点 F且 PAPDAD2，求四棱锥 PABFE 的体积 20某科研课题组通过一款手机 APP 软件，调查了某市 1000 名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：周跑
9、量（km/周）10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）40，45）45，50）50，55）人数 100 120 130 180 220 150 60 30 10（1）补全该市 1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；（2）根据以上图表数据，试求样本的中位数（保留一位小数）；（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：周跑量 小于 20 公里 20 公里到 40 公里 不小于 40 公里 类别 休闲跑者 核心跑者 精英跑者 装备价格（单位：元）2500 4000 4500 根据以上数据，估计该市每位跑步
10、爱好者购买装备，平均需要花费多少元？21某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地 AOB 进行改建如图所示，平行四边形 OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点 P 在围墙 AB 弧上，点 M 和点 N 分别在道路 OA 和道路 OB 上，且 OA60 米，AOB60，设POB（）求停车场面积 S 关于 的函数关系式，并指出 的取值范围；（）当 为何值时，停车场面积 S 最大，并求出最大值 22如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，AB3，CD1，BC2，E、F 分别为腰 AD、BC的中点将四边形 CDEF 沿 EF 折起，使平面 EFCD平面 ABFE，如图 2，
11、H，M 别线段EF、AB 的中点（）求证：MH平面 EFCD；（）请在图 2 所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面 DHM 垂直，并给出证明：（）若 N 为线段 CD中点，在直线 BF 上是否存在点 Q，使得 NQ面 DHM？如果存在，求出线段 NQ 的长度，如果不存在，请说明理由 参考答案 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）.1某学校有高中学生 900 人，其中高一有 400 人，高二 300 人，高三 200 人，采用分层抽样的方法抽取一个容量为 45 的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的学生人数为（）A25、15、5 B20、15、10 C30、10、
12、5 D15、15、15 解：每个个体被抽到的概率等于，则高一、高二、高三各年级抽取的学生人数分别为 40020，30015，20010，故选：B 2已知 i 是虚数单位，复数 z，则 z 的共轭复数 在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解：z+i，i，对应点的坐标为（，），在第三象限 故选：C 3已知，是两个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（）A如果 m，n，那么 mn B如果 m，n，那么 mn C如果 mn，m，n，那么 D如果，直线 m 与 所成的角和直线 n 与 所成的角相等，那么 mn 解：如果 m，n，那么 mn 或
13、 m 与 n 相交或 m 与 n 异面，故 A 错误；如果 m，则 m 与平行于 的所有直线垂直，又 n，那么 mn，故 B 正确；如果 mn，m，则 n 或 n，又 n，那么 或 与 相交，故 C 错误；如果，且直线 m 与 所成的角和直线 n 与 所成的角相等，可得 m、n 与平面 成等角，则 mn 或 m 与 n 相交或 m 与 n 异面，故 D 错误 故选：B 4一组数据中的每一个数据都乘以 3，再减去 50，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是 1.6，方差是 3.6，则原来数据的平均数和方差分别是（）A17.2，3.6 B54.8，3.6 C17.2，0.4 D54.8，0.4
14、 解：设原来的数据为 xi，则 3xi50 的平均数是 1.6，方差是 3.6，解得17，2，D（xi）0.4 原来数据的平均数和方差分别是 17.2，0.4 故选：C 5已知ABC 内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，面积为 S若 asinbsinA，2S，则ABC 的形状是（）A等腰三角形 B直角三角形 C正三角形 D等腰直角三角形 解：因为 asinbsinA，所以 asin（）acosbsinA，由正弦定理可得 sinAcossinBsinA，因为 sinA0，可得 cossinB2sincos，因为 B（0，），（0，），cos0，所以可得 sin，可得，可得 B，又 2S
15、，可得 2bcsinAbccosA，即 tanA，因为 A（0，），可得 A，所以 CAB，则ABC 的形状是正三角形 故选：C 6已知圆锥的顶点和底面圆周都在球 O 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为3，则球 O 的表面积等于（）A B C D 解：圆锥的顶点和底面圆周都在球 O 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为3，设母线为 l，所以3，所以母线长为：l3，圆锥的底面周长为2，底面半径为 r1，圆锥的高为：2，设球的半径为：R，可得 R2（2R）2+12，解得 R，球 O 的表面积：4 故选：A 7已知函数 g（x）sin（x+），g（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到
16、 f（x）的图象，f（x）的部分图象如图所示，若，则 等于（）A B C D 解：已知函数 g（x）sin（x+），g（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到 f（x）的图象，则 f（x）sin（2x+），由，得|AB|BC|cosABC|AB|2，2|AB|BC|，cosABC，则ABC120，过 B 作 BEx 轴于 E，则 BE，AE3，即周期 T12，即12，得，故选：A 8已知菱形 ABCD 边长为 1，BAD60，对角线 AC 与 BD 交于点 O，将菱形 ABCD 沿对角线 BD 折成平面角为 的二面角，若 60，120，则折后点 O 到直线 AC 距离的最值为（）A最小值为
17、，最大值为 B最小值为，最大值为 C最小值为，最大值为 D最小值为，最大值为 解：由二面角的定义知AOC，60，120，在AOC 中解决点到直线的距离的最值，因为 AOBD，COBD，所以AOC，60，120，因为菱形 ABCD 的边长为 1，BAD60，所以 AOCO，点 O 到 AC 的距离 dcosAOC，当AOC60时，d 取得最大值，当AOC120时，d 取得最大值，故选：B 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，选错或不选得 0 分 9下列命题不正确的是（）A若 za+bi（
18、a，bR），则当 a0 时，z 为纯虚数 B若 z1，z2C，z12+z220，则 z1z20 C若实数 a 与 ai 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系 D若|z+i|1，则|z|的最大值为 3 解：对于 A，当 a0，b0 时，z 为纯虚数，故 A 错误；对于 B，令 z11，z2i，则 z12+z220，但不满足 z1z20，故 B 错误；对于 C，当 a0 时，不满足，故 C 错误；对于 D，|z+i|1 的几何意义是复数对应的点到（，1）的距离为 1，即 z 的轨迹为以（，1）为圆心，1 为半径的圆，则|z|的最大值为 1+3，所以 D 正确；故选：ABC 10已知向量（2，
19、1），（3，1），则（）A（）B向量 在向量 上的投影向量是 C|5 D与向量 共线的单位向量是（，）解：因为向量（2，1），（3，1），故，对于 A，所以（）2（1）+210，所以（），故 A 正确；对于 B，向量 在向量 上的投影向量是，（注：是向量的夹角），故 B 错误；对于 C，所以，故 C 正确；对于 D，共线的单位向量是，即（，）或（，），故 D错误 故选：AC 11水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征如图是一个半径为 R 的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时 120 秒经过 t 秒后，水斗旋转到
20、P 点，设点 P的坐标为（x，y），其纵坐标满足 yf（t）Rsin（t+）（t0，0，|），则下列叙述正确的是（）A B当 t0，60时，函数 yf（t）单调递增 C当 t0，60时，点 P 到 x 轴的距离的最大值为 3 D当 t100 时，|PA|6 解：由题意，R6，T120，所以；又点 A（3，3）代入 f（x）可得36sin，解得 sin；又|，所以 A 正确；所以 f（t）6sin（t），当 t0，60时，t，所以函数 f（x）先增后减，B 错误；t0，60时，点 P 到 x 轴的距离的最大值为 6，C 错误；当 t100 时，t，P 的纵坐标为 y3，横坐标为 x3，所以|PA
21、|6，D 正确 故选：AD 12已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABBC，ABBCBB1，D 是 AC 的中点，O 为 A1C 的中点点P 是 BC1上的动点，则下列说法正确的是（）A当点 P 运动到 BC1中点时，直线 A1P 与平面 A1B1C1所成的角的正切值为 B无论点 P 在 BC1上怎么运动，都有 A1POB1 C当点 P 运动到 BC1中点时，才有 A1P 与 OB1相交于一点，记为 Q，且 D当点 P 在 BC1上运动时，直线 A1P 与 AB 所成角可以是 30 解：直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABBC，ABBCBB1，对于 A：当点 P 运动到 BC1的中点是，有
22、E 为 B1C1中点，连接 A1E，EP，如下所示：即 EP平面 A1B1C1，所以直线 A1P 与平面 A1B1C1所成的角的正切值，tanPA1E，因为 EPBB1，AEBB1，所以 tanPA1E，故 A 正确；对于 B：连接 B1C，与 BC1交于点 E，并连接 A1B，如下图所示：由题意知，B1BCC1为正方程，即有 B1C面 B1BCC1，所以 A1B1BC1，又 A1B1B1CB1，所以 BC1面 A1B1C，OB1面 A1B1C，故 BC1OB1，同理可证：A1BOB1，又 A1BBC1B，所以 OB1面 A1BC1，又 A1P面 A1BC1，即有 A1POB1，故 B 正确；
23、对于 C：点 P 运动到 BC1的中点时，即在A1B1C 中 A1P，OB1均为中位线，所以 Q 为中位线的交点，所以根据中位线的性质有，故 C 错误；对于 D：由于 A1B1AB，直线 A1P 与直线 AB 所成的角为 A1B1与 A1P 所成的角，即B1A1P，结合下图分析知，点 P 在 BC1上运动时，当 P 在 B 或 C1上是，B1A1P 最大为 45，当 P 在 BC1的中点时，B1A1P 最小为 arctanarctan30，所以B1A1P 不可能是 30，故 D 正确 故选：ABD 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13复数 2+i 为一元二次方程
24、x2+ax+b0（a，bR）的一个根，则复数|a+bi|解：2+i 为一元二次方程 x2+ax+b0（a，bR）的一个根，2i 为一元二次方程 x2+ax+b0（a，bR）的另一个根，则，解得 a4，b5|a+bi|4+5i|故答案为：14如图，在ABC 中，P 是线段 BN 上的一点，若m+，则实数 m 解：因为，则，所以mm，因为点 B，P，N 三点共线，所以 m+，则 m，故答案为：15某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是cm3，则正方体石块的棱长是 40 cm；若将图（2）的正方体石块打磨
25、成一个球形的石凳，则此球形石凳的最大体积是 cm3 解：设正方体石块的棱长为 a，则每个截去的四面体的体积为，由题意可得 8+，解得 a40 故正方体石块的棱长为 40cm；当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时，球形石凳的表面积最大，此时正方体的棱长正好是球的直径，此时石凳的最大体积是 Vcm3 故答案为：40cm；cm3 16设定义在区间（0，）上的函数 y2cosx 的图象与 y3tanx 的图象交于点 P，过点P 作 x 轴的垂线，垂足为 P1，直线 PP1与函数 ysinx 的图象交于点 P2，则线段 P1P2的长为 解：设 P（x，y），则 2cosx3tanx，sinx，sin2
26、x+cos2x1，+cos2x1，解得 cos2x，或 cos2x3（舍）0，sinx P1P2sinx 故答案为：四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知向量、满足|1，|k+|k|（k0，kR）（1）求 关于 k 的解析式 f（k）；（2）若 ，求实数 k 的值；（3）求向量 与 夹角的最大值 解：（1）|k+|k|，（k+）23（k）2，|1，3（12k+k2）8k2+2k2，k0，kR，（k+）f（k）（k+），（2），k2或2，（3）设，夹角为，则根据数量积公式，得 cos（k+），0，向量 与 夹角 的最大值 18已知函数只能同
27、时满足下列三个条件中的两个：函数 f（x）的最大值为 2；函数 f（x）的图象可由的图象平移得到；函数 f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为（1）请写出这两个条件序号，并求出 f（x）的解析式；（2）求方程 f（x）+10 在区间，上所有解的和 解：（1）函数满足条件为：理由如下：由题意可知条件互相矛盾，故为函数满足的条件之一 由可知：T，所以 2 故不合题意 所以函数满足条件为：由知：A2 所以（2）由于 f（x）+10 所以 sin（2x+），所以 2x+或（kZ），解得：x或（kZ），由于 x，所以 x 的取值为 所以方程 f（x）+10 的所有的解的和为 19如图，在四棱锥 PAB
28、CD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 PAD底面 ABCD，E 为侧棱 PD的中点（1）求证：PB平面 ACE；（2）若平面 ABE 与侧棱 PC 交于点 F且 PAPDAD2，求四棱锥 PABFE 的体积 【解答】（1）证明：连接 BD，设 BDACO，则 O 为 BD 的中点，连接 OE，E 为 PD 的中点，O 为 BD 的中点，OEPB，又 OE平面 ACE，PB平面 ACE，PB平面 ACE；（2）解：由 ABCD 是正方形，可得 CD平面 ABE，CD平面 PCD，设平面 PCD平面 ABEEF，FPC，CDEF，而 E 为 PD 的中点，则 F 为 PC 的中点，EFCD 且
29、 EFCD，在正方形 ABCD 中，ABCD 且 ABCD，ABEF，EF，则四边形 ABFE 为梯形，侧面 PAD底面 ABCD，平面 PAD底面 ABCDAD，CD平面 ABCD，CDAD，CD平面 PAD，又 AE平面 PAD，可得 CDAE，而 CDEF，EFAE，可得四边形 ABFE 为直角梯形 EFCD1，AE，由 CD平面 PAD，PD平面 PAD，得 CDPD，从而 EFPD，在正三角形 PAD 中，E 是 PD 的中点，则 AEPD，又 AEEFE，AE、EF平面 ABFE，PD平面 ABFE，PEPD1，20某科研课题组通过一款手机 APP 软件，调查了某市 1000 名跑
30、步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：周跑量（km/周）10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）40，45）45，50）50，55）人数 100 120 130 180 220 150 60 30 10（1）补全该市 1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；（2）根据以上图表数据，试求样本的中位数（保留一位小数）；（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：周跑量 小于 20 公里 20 公里到 40 公里 不小于 40 公里 类别 休闲跑者 核心跑者 精英跑者 装备价格（
31、单位：元）2500 4000 4500 根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？解：（1）补全该市 1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下：（2）由频率分布直方图得：10，25）的频率为：（0.02+0.024+0.026）50.35，25，30）的频率为 0.03650.18，设样本的中位数为 x，则 0.35+（x25）0.0360.5，解得 x29.2 样本的中位数约为 29.2（3）依题意知休闲跑者共有：（50.02+50.024）1000220 人，核心跑者共有：（50.026+50.036+50.044+50.030）1000680 人，精英跑者
32、共有：1000220680100 人，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费：（2202500+6804000+1004500）3720（元）21某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地 AOB 进行改建如图所示，平行四边形 OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点 P 在围墙 AB 弧上，点 M 和点 N 分别在道路 OA 和道路 OB 上，且 OA60 米，AOB60，设POB（）求停车场面积 S 关于 的函数关系式，并指出 的取值范围；（）当 为何值时，停车场面积 S 最大，并求出最大值 解：（）由平行四边形 OMPN 得，在OPN 中，ONP120，OPN60
33、，则，即，所以，则停车场面积，即，其中 060（）由（）得，即，则，因为 060，所以 302+30150，则平方米 故当 30时，停车场最大面积为平方米 22如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，AB3，CD1，BC2，E、F 分别为腰 AD、BC的中点将四边形 CDEF 沿 EF 折起，使平面 EFCD平面 ABFE，如图 2，H，M 别线段EF、AB 的中点（）求证：MH平面 EFCD；（）请在图 2 所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面 DHM 垂直，并给出证明：（）若 N 为线段 CD中点，在直线 BF 上是否存在点 Q，使得 NQ面 DHM？如果存在，求出线段 N
34、Q 的长度，如果不存在，请说明理由 解：（）证明：四边形 ABCD 是等腰梯形，点 H 为 EF 的中点，点 M 为 AB 的中点，MHEF，平面 EFCD平面 ABFE，平面 EFCD平面 ABFEEF，MH平面 EFCD（）解：在图 2 中，C，E 这两个点，使得这两点所在直线与平面 DHM 垂直 证明：连结 CE，DH，CE平面 EFCD，MHCE，CDEH，且 CDDE，四边形 CDEH 是菱形，CEDH，MHDHH，C，E 这两点所在直线与平面 DHM 垂直（）解：N 为线段 CD中点，假设在直线 BF 上存在点 Q，使得 NQ面 DHM 在线段 MB 上取点 P，使得 MP0.5，连结线段 CP，交 EF 于点 L，由题意得平面 NLC平面 DHM，NQ平面 DHM，Q 就是所求的点，NQ
