1、5二项式定理学习目标重点难点1.能用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项展开式有关问题3会用二项式定理找等量关系.重点：二项式定理难点：二项式定理的应用.1二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn.这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(ab)n的二项展开式(ab)n的二项展开式共有n1项，其中各项的系数C(r0,1,2，n)称为二项式系数，Canrbr称为二项展开式的第r1项，又称为二项式通项在二项式定理中，如果设a1，bx，则得到公式：(1x)n1CxCx2Cxrxn.预习交流1如何记忆二项式定理？提示：记忆二项式定理的关键是记住二项式的通项，Tr1Canrb
2、r，其中Tr1为二项展开式的第r1项，a，b的指数和为n.2二项式系数的性质CCC；CC；CCCC2n.预习交流2如何证明CCCC(1)n1C0.提示：令二项展开式中的a1，b1，即可得到要证明的结论1二项式定理求4的展开式思路分析：直接利用二项式定理，注意每一项都符合二项展开式的通项公式，也可先将原式变形后再展开解：方法1：4C(3)40C(3)31C(3)22C(3)3C(3)0481x2108x54.方法2：4(81x4108x354x212x1)81x2108x54.求二项式10的展开式中的常数项解：设第r1项为常数项，则Tr1C(x2)10rrCr(r0,1,2，10)，令20r0，
3、得r8，所以第9项为常数项，常数项为C8.利用二项展开式的通项公式求二项展开式中具有某种特性的项是一类典型的问题，通常的解法就是确定通项公式中的r的值或取值范围但需注意二项式系数与项的系数及项的区别与联系2二项式系数的性质如果(12x)7a0a1xa2x2a7x7，那么a1a2a7的值等于()A2 B1 C1 D2思路分析：比较展开式与a1a2a7的结构，会发现当x1时，含有a1a2a7，即(12)7a0a1a2a71.从而只要求出a01即可答案：A解析：令x0，得(120)7a0，a01.再令x1，则有(121)7a0a1a2a7，a0a1a2a71.a1a2a3a71a0112.设(12x
4、)2 010a0a1xa2x2a2 010x2 010(xR)(1)求a1a3a5a2 009的值(2)求|a0|a1|a2|a2 010|的值解：(1)令x1，得a0a1a2a3a2 01032 010.令x1，得a0a1a2a3a2 010(1)2 0101.由，得2(a1a3a5a2 009)132 010，a1a3a5a2 009.(2)Tr1C12 010r(2x)r(1)rC(2x)r，a2k10(kN)，a2k0(kN)|a0|a1|a2|a3|a2 010|a0a1a2a3a2 01032 010.求展开式的系数和，关键是字母赋值，赋值的选择需根据所求的展开式系数和特征来定一般
5、地，多项式f(x)a0a1xa2x2anxn的各项系数和为f(1)，奇次项系数和为，偶次项系数和为.1.n(nN)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值为()A3 B5 C8 D10答案：B解析：Tr1C(2x3)nrr2nrCx3n5r.令3n5r0，0rn，r，nZ，n的最小值为5.2(12)3(1)5的展开式中x的系数是()A4 B2 C2 D4答案：C解析：(12)3(1)5(1612x8x)(1)5，故(12)3(1)5的展开式中含x的项为1C()312xC10x12x2x.x的系数为2.3.5(xR)展开式中x2的系数为10，则实数a等于()A1 B C1 D2答案：D解析：Cxr5rCa5rx2r5，令2r53，r4.由Ca10，得a2.4在20的展开式中，系数是有理数的项共有_项答案：4解析：Tr1C(x)20rrr()20rCx20r.系数为有理数，()r与2均为有理数r能被2整除，且20r能被3整除r为偶数，20r是3的倍数，0r20，r2,8,14,20.5m，nN，f(x)(1x)m(1x)n展开式中x的系数为19.求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数解：由题设mn19，m，nN，x2的系数为CC(m2m)(n2n)m219m171.当m9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为CC156.
