1、1名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学第七节 抛物线时间：45 分钟 分值：75 分一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)1以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆 x2y22x6y90 圆心的抛物线方程是()Ay3x2 或 y3x2By3x2Cy29x 或 y3x2Dy3x2 或 y29x解析 设抛物线方程为 x2ay 或 y2ax(a0)，把圆心(1，3)代入方程得 a13或 a9，抛物线方程是 y3x2 或 y29x.答案 D2已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 M(2，y0)，若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，则|OM|(
2、)A2 2B2 3C4 D2 5解析 由题意可设抛物线方程为 y22px(p0)，则 2p23，p2.y24x，y20428.|OM|22y20 482 3.答案 B3(2014泸州诊断)抛物线 yx2 上的点到直线 4x3y80距离的最小值是()A.43B.75C.85D3解析 设与直线 4x3y80 平行且与抛物线相切的直线为 4x2名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学3yt0，与抛物线 yx2 联立得 3x24xt0，由 1612t0，得 t43，两条平行线的距离为所求最小距离，由两条平行线的距离公式得所求距离为43.答案 A4已知双曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b
3、0)的离心率为 2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，则抛物线C2 的方程为()Ax28 33 yBx216 33yCx28yDx216y解析 双曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，caa2b2a2，b 3a.双曲线的渐近线方程为 3xy0.抛物线 C2：x22py(p0)的焦点(0，p2)到双曲线的渐近线的距离为|30p2|22，p8.所求的抛物线方程为 x216y.答案 D5(2013天津卷)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线与抛物线 y22px(p0)的准线分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点若双曲线
4、的离心率为 2，AOB 的面积为 3，则 p()3名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学A1 B.32C2 D3解析 由双曲线的离心率 eca1b2a22 可得ba 3，所以双曲线的渐近线方程为 y 3x，与抛物线 xp2的交点坐标 A(p2，32 p)，B(p2，32 p)，所以AOB 的面积为12p2 3p 3，可得p2.答案 C6(2013全国大纲卷)已知抛物线 C：y28x 与点 M(2,2)，过C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A、B 两点若MAMB0，则k()A.12B.22C.2D2解析 由题意知 k0，设直线 AB 方程为 x1ky2，与抛物线交于 A(x
5、1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 与抛物线方程联立得 ky28y16k0，y1y28k，y1y216，MAMB(x12)(x22)(y12)(y22)(y2182)(y2282)(y12)(y22)0，整理并结合 y1y28k，y1y216 得 k24k40，解得 k2，故选 D.答案 D二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)7边长为 1 的等边三角形 AOB，O 为原点，ABx 轴，以 O 为4名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学顶点，且过 A、B 的抛物线方程是_解析 根据题意可知抛物线以 x 轴为对称轴，当开口向右时，A32，12，设抛物线方
6、程为 y22px，则有142p 32，所以 p 14 3.抛物线方程为 y2 36 x，同理可得，当开口向左时，抛物线方程为 y2 36 x.答案 y 36 x8一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2ax 上，另一个顶点在坐标原点，若这个三角形的面积为 36 3，则 a_.解析 设正三角形边长为 x，则 36 312x2sin60.x12.当 a0 时，将(6 3，6)代入 y2ax 得 a2 3；当 a0，b0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，又此抛物线与双曲线的一个交点为32，6，求该抛物线与双曲线的方程解 由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，p2c.设抛物线方程为
7、 y24cx.抛物线过点32，6，64c32.c1.故抛物线方程为 y24x.又双曲线x2a2y2b21 过点32，6，94a2 6b21.又 a2b2c21，94a261a21.a214或 a29(舍)b234.故双曲线方程为 4x24y23 1.11(2014唐山市期末)已知抛物线 E：x22py(p0)，直线 ykx2 与 E 交于 A、B 两点，且OAOB2，其中 O 为原点(1)求抛物线 E 的方程；(2)点 C 坐标为(0，2)，记直线 CA，CB 的斜率分别为 k1，k2，证明：k21k222k2 为定值解(1)将 ykx2 代入 x22py，得 x22pkx4p0.其中 4p2
8、k216p0，6名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22pk，x1x24p.OAOBx1x2y1y2x1x2x212p x222p4p4.由已知，4p42，p12.所以抛物线 E 的方程 x2y.(2)由(1)知，x1x2k，x1x22.k1y12x1 x212x1 x21x1x2x1x1x2，同理 k2x2x1，所以 k21k222k22(x1x2)22(x1x2)28x1x216.12.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，1)，P 是动点，且三角形 POA 的三边所在直线的斜率满足 kOPkOAkPA.(1)求点 P
9、 的轨迹 C 的方程；7名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学(2)若 Q 是轨迹 C 上异于点 P的一个点，且PQOA，直线 OP 与 QA 交于点 M，问：是否存在点 P 使得PQA 和PAM 的面积满足 SPQA2SPAM？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由解(1)设点 P(x，y)为所求轨迹上的任意一点，则由 kOPkOAkPA 得yx 11y1x1，整理得轨迹 C 的方程为 yx2(x0 且 x1)(2)设 P(x1，x21)，Q(x2，x22)，M(x0，y0)，由PQOA可知直线 PQOA，则 kPQkOA，故x22x21x2x1 1010，即 x2x11
10、，由 O、M、P 三点共线可知，OM(x0，y0)与OP(x1，x21)共线，x0 x21x1y00.由(1)知 x10，故 y0 x0 x1.8名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学同理，由AM(x01，y01)与AQ(x21，x221)共线可知，(x01)(x221)(x21)(y01)0，即(x21)(x01)(x21)(y01)0，由(1)知 x21，故(x01)(x21)(y01)0，将 y0 x0 x1，x21x1 代入上式得(x01)(2x1)(x0 x11)0，整理得2x0(x11)x11，由 x11 得 x012.由 SPQA2SPAM，得到|QA|2|AM|.PQOA，|OP|2|OM|，PO2OM，x11，存在，P 的坐标为(1,1)
