1、曲线与方程基础达标练1.（2020吉林辽源田家炳高级中学高二月考）已知曲线C的方程为x2+2x+y-1=0，则下列各点中，在曲线C上的点是( )A.(0,1)B.(-1,3)C.(1,1)D.(-1,1)答案：A2.（2020福建福清西山学校高二期中）曲线y=14x2与x2+y2=5的交点是( )A.(2,1)B.(2,1)C.(2,1)或(25,5) D.(2,1)或(22,5)答案：B3.与点A(-1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为-1的动点P的轨迹方程是( )A.x2+y2=3 B.x2+2xy=1(x1)C.y=1-x2 D.x2+y2=9(x0)答案：B4.（多选）下列说法中正
2、确的是( )A.方程yx-2=1表示一条直线B.到x轴的距离为2的点的轨迹方程为y=2C.方程(x2-1)2+(y2-4)2=0表示四个点D.“m7 ”是“方程x2+y2-2x-4y+m=0表示圆”的必要不充分条件答案：C ; D5.（2021山东青岛二中高二月考）方程x4+y4=4(x2+y2)所表示的曲线的大致形状为( )A. B. C. D.答案：A6.直线y=2k与曲线9k2x2+y2=18k2|x|（kR，且k0）的公共点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D解析：将y=2k代入9k2x2+y2=18k2|x|中得9k2x2+4k2=18k2|x|，9x2+4=18|x|
3、.|x|=353，x=3+53或x=3-53 .7.（2021山东德州高二期末）已知动点M到点A（9，0）的距离是M到点B（1，0）的距离的3倍，则动点M的轨迹所围成图形的面积等于( )A.3 B.6 C.9 D.81答案：C解析：设M(x,y)，则|MA|=(x-9)2+y2，|MB|=(x-1)2+y2 .由|MA|=3|MB|，得(x-9)2+y2=3(x-1)2+y2，化简得x2+y2=9，因此动点M的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，其面积等于9 .8.（2020上海奉贤奉城高级中学高二月考）已知点A(1,3)，点B在直线2x+3y-6=0上运动，则AB的中点P的轨迹方程是 .答案：
4、4x+6y-17=0解析：设P(x,y)，B(x,y)，A(1,3)，x+1=2x，y+3=2y，x=2x-1，y=2y-3，点B在直线2x+3y-6=0上运动，2x+3y-6=0，即2(2x-1)+3(2y-3)-6=0，化简得4x+6y-17=0，可以检验，上式就是点P的轨迹方程.9.已知ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|=3，则顶点A的轨迹方程为 .答案：(x-10)2+y2=36(y0)解析：设A(x,y)，则D(x2,y2)，所以|CD|=(x2-5)2+y24=3，化简得(x-10)2+y2=36，因为A，B，C三点构成三角形，所以点A不能落在x轴上，
5、即y0，可以检验，顶点A的轨迹方程为(x-10)2+y2=36(y0) .素养提升练10.（2021北京平谷高二期末）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线|y|=4-x2围成的平面区域的直径为( )A.2B.4C.8D.217答案：C解析：|y|=4-x2等价于y=4-x2,y0y=x2-4,y0，如图：由图形可知，上、下两个顶点之间的距离最大，为8，所以曲线|y|=4-x2围成的平面区域的直径为8.11.（2021山东德州一中高二期末）方程|y|-1=3-(x-2)2所表示的曲线的长度是( )A.6 B.23C.23+43 D.6+12答案：B解析：因为方程|y
6、|-1=3-(x-2)2，所以|y|-10，所以y1或y-1，将原式变形可得(x-2)2+(|y|-1)2=3，所以曲线为两个半径为3的半圆，所以曲线的长度为23=23 .12.（2020安徽肥东第二中学高二期中）已知M(-2,0),N(2,0)，点P(x,y)为坐标平面内的动点，若|MN|MP|+MNNP=0，则动点P的轨迹方程为答案：y2=-8x解析：由题意，知MN=(4,0)，|MN|=4，MP=(x+2,y)，NP=(x-2,y) .由|MN|MP|+MNNP=0，得4(x+2)2+y2+4(x-2)=0，化简并整理，得y2=-8x .可以检验，上式就是动点P的轨迹方程.13.已知AB
7、C的两顶点A，B的坐标分别为(0,0)，(6,0)，顶点C在曲线y=x2+3上运动，求ABC重心的轨迹方程.答案：设G(x,y)为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x,y)，则由重心坐标公式，得x=0+6+x3y=0+0+y3，所以x=3x-6y=3y，因为顶点C(x,y)在曲线y=x2+3上，所以3y=(3x-6)2+3，整理得y=3(x-2)2+1=3x2-12x+13，可以检验，y=3x2-12x+13就是所求的轨迹方程.14.已知圆x2+y2=4上有一点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上异于点A的动点.（1）求线段AP中点的轨迹方程；（2）若PBQ=90，求线段PQ中点
8、的轨迹方程.答案：（1）设AP的中点为M(x,y)，由中点坐标公式可知，P点的坐标为(2x-2,2y) .因为P点在圆x2+y2=4上，所以(2x-2)2+(2y)2=4，即(x-1)2+y2=1 .可以检验，线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x2) .（2）设PQ的中点为N(x,y)，在RtPBQ中，|PN|=|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4 .可以检验，上式就是线段PQ中点的轨迹方程.创新拓展练15.（2021山东聊城二中高二期中）如图，在四棱锥P-A
9、BCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（填序号）答案：解析：命题分析本题把动点的轨迹与立体几何相结合，考查空间中的线面位置关系和动点的轨迹的求解，对学生的要求较高.答题要领先找符合条件的特殊位置，然后根据符合条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面ABCD的交线得到结论.详细解析符合条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面ABCD的交线，故不正确.根据题意可知PD=DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC ”，取AB的中点N，连接PN、DN，取PC的中点E
10、，连接NE、DE，所以DEPC，如图.因为平面PAD底面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD，所以ABPA，因为PA=BC，AN=NB，PAB=CBN，所以PANCBN，所以PN=CN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC ”，且NEPC，NEDE=E，NE,DE平面EDN，所以PC平面EDN，当点M在线段DN上运动时，总有DNME，且E是中点，则总有MP=MC，所以点M在正方形ABCD内的轨迹是线段DN，所以正确，不正确.方法感悟处理空间中的轨迹问题的方法：（1）几何法：通过证明或几何作图，确定图形中的轨迹位置，再求轨迹方程；（2）代数法：分析给定图形中的数量关系，把题中的条件想办法转化到平面上来，把平面内的问题尽可能地解析化，用数量关系来研究几何关系，得到轨迹方程.
