1、盐城一中2022-2023学年第一学期高三年级学情调研（二）数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡相应的位置上）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数不等式以及一元二次不等式计算方法得到集合，然后根据并集的概念计算即可.【详解】由题可知：，所以故选：C2. 函数的大致图象为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将函数表达式化为，由函数奇偶性得到BC不正确，再由特殊值得到最终结果.【详解】因为是奇函数排除，且当时，.故答案为A.【点睛】这个题目考
2、查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.3. 已知向量，满足，若，则实数的值为（ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】C【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算即可求出结果.【详解】因为，所以，依题意，则，故选：C.4. 已知函数的图象在(1，f（1）)处的切线经过坐标原点，则函数y=f(x)的最小值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】利用导数的几何意义求出，从而可得，求出导函数，利用导数判断出函数的单调性，由单调性即可求出最
3、值.【详解】函数，则且，所以，所以，解得，所以，（），令，即，解得，令，即，解得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以.故选：C5. 已知，若存在，使不等式成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，利用分离参数法求出，求函数的最小值，即可求得的取值范围.【详解】因为，所以.即：因为存在使不等式成立，所以.即：的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查不等式恒成立问题求参数的取值范围，通过分离参数法，将不等式恒成立问题转化成求函数最值问题，属于中等题目.6. 若函数在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）A. 或或B. 或C. D. 不
4、存在这样的实数【答案】B【解析】【分析】利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的极值点，依题意函数的极值点在区间上，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：，令，解得，或，所以当或时，当时，所以在和上单调递增，在上单调递减，即函数极值点为，若函数在区间上不是单调函数，则或，所以或，解得或故选：B7. 的定义域是，其导函数为，其导数为，若，且（其中是自然对数的底数），则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据得到的单调性，即可判断ABD，由，求出，即可判断C.【详解】因为，所以由可得，由可得所以在上单调递增，在上单调递减所以，故A、B错误，所以，即，所以D正确因为，所以，解
5、得，故C错误故选：D8. 已知函数，则、大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分析可知函数的图象关于直线对称，可得出，分析函数在上的单调性，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可得出、的大小，并比较与的大小，结合函数的单调性可得出结论.【详解】因，对任意的，所以，函数的图象关于直线对称，则，当时，因为二次函数在上为增函数，且，所以，函数、在上为增函数，所以，函数在上为增函数，令，其中，则，故函数在上为减函数，所以，即，所以，所以，又因为，即，所以，.故选：A.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的
6、，请把答案填涂在答题卡相应位置上）9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A. ，若与共线，则B. 已知，若与垂直，则C. 若点为的重心，则D. 平面上三点的坐标分别为，若点与A，B，三点能构成平行四边形的四个顶点，则的坐标可以是【答案】ACD【解析】【分析】由向量共线的坐标表示求得判断A，由垂直的向量表示计算求得，再求出向量的模判断B，根据三角形重心的性质与向量的线性运算计算后判断C，分类讨论求得点坐标判断D【详解】A若与共线，则，A正确；B若与垂直，则，则，B错；C点为的重心，设延长线交于，则是中点，同理，C正确；D设，若是对角顶点，则，即，若是对角顶点，则，即，或是对角顶点，则，即D
7、正确故选：ACD10. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】因为，所以，由均值不等式可判断A；由可判断B；由，由均值不等式可判断C；，令，则，令，对函数求导，得到函数的单调性，可判断D.【详解】因为，所以，选项A：因为，所以，当且仅当时等号成立，故正确；选项B：因为，当且仅当时等号成立，故不正确；选项C：因为，所以，当且仅当时等号成立，故不正确；选项D：，令，则，令，所以，所以在上单调递增，所以，所以，故D正确.故选：AD.11. 已知函数，下列结论正确的是（ ）A. 函数在上单调递减B. 函数的最小值为2C. 若，分别是曲线和上的动点，则的最小值为D. 若对恒成
8、立，则【答案】ACD【解析】【分析】由求得在上恒成立，则在上单调递增，结合判定A；根据，存在，结合单调性，求得判定B；由曲线与、与的切点判定C；化为，设得到在上单调递增，进而，设，利用导数求得函数的单调性与最值判定D【详解】由，则，得在上恒成立，则在上单调递增，而，故在上恒成立，即在上单调递减，故A正确；因为，故存在，使，则，解得，当时，即单调递减，当时，即单调递增，所以，因为，所以，故B错误；与相切于，与相切于，则的最小值为，故C正确；若对恒成立，则对恒成立，即，设，易知在上单调递增，则化为，即，设，易知在上单调递减，在上单调递增，当时，则，解得，又，所以，故D正确故选：ACD12. 已知函
9、数的定义域为为的导函数，且，若为偶函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】由是偶函数得出是奇函数，然后在已知式中对自变量赋值求解【详解】是偶函数，则，两边求导得，所以是奇函数，由，得，即，所以是周期函数，且周期为4，在，中令得，A正确；没法求得的值，B错；令得，则，无法求得，同理令得，因此，相加得，只有在时，有，但不一定为0，因此C错；在中令得，在中令得，两式相加得，即，D正确；故选：AD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.把答案填写在答题卡相应位置上）13. 已知函数，若f f ( - 1 ) = 4 ，且a - 1 ，则 a=_.【答案】1【解析】
10、【分析】利用分段函数的性质求解.【详解】解：因为函数，所以又因为a - 1 ，所以，所以，则，解得，故答案为：1.14. 在中，为的重心，则_【答案】6【解析】【分析】根据三角形重心的性质转化为，以及，再求数量积.【详解】如图，点是的中点，为的重心，所以 故答案为：6【点睛】本题考查向量数量积，重心，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.15. 已知函数（且），若不等式的解集为，则a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由得到a取不同值时x的范围，由的解集为得到及，即可得出答案.【详解】若，则，即，当时，当时，.由的解集为，得，故，所以解得，又因为，所以，又，所以.故答案为：16.
11、 已知函数，若直线与曲线相切，求最大值_.【答案】【解析】【分析】先利用直线与曲线相切得到，所以.设，利用导数讨论单调性，求出g(a)的最大值.【详解】设直线y=x与曲线相切于点.因为，所以，所以.又因为P在切线y=x上，所以，所以，因此.设，则由，令，解得：；令，解得：；所以g(a)在上单调递增，在上单调递减，可知g(a)的最大值为，所以ab的最大值为.故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知集合，函数的定义域为（1）若求集合；（2）若，求实数的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）对数的真数大
12、于零；（2）按与的大小分类讨论求解.【详解】（）由，得，故集合； （）由题可知，若，即时，又因为，所以，无解；若时，显然不合题意；若，即时，又因为，所以，解得综上所述，【点睛】本题考查函数的定义域和集合的运算. 求函数定义域的常用方法：1、分母不为零；2、对数的真数大于零；3、偶次方根的被开方方数大于或等于零；4、零次幂的底数不等于零；5、中.18. 已知， （1）求的值；（2）求与的夹角.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先由化简求出，再由可求得结果，（2）先求出，然后利用向量的夹角公式求解即可【小问1详解】因为，所以，得，所以【小问2详解】因，所以，因为，所以，即与的夹角为19
13、已知函数.（1）若为偶函数，求的值；（2）若函数在上有2个不同的零点，求的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）由函数为偶函数，得到，进而得出，即可求得实数的值；（2）令，整理得，根据函数在上有2个不同的零点，得到，结合定义域，即可求解.【详解】（1）由题意，函数为偶函数，则，即.整理得，所以.（2）因为函数，令，可得，整理得，即，由函数在上有2个不同的零点，所以，且，解得或，所以的取值范围为.20. 已知函数（1）求不等式解集；（2）若的最小值为m，且对任意正数a，b满足ab=m，求的最小值【答案】（1）或 （2）【解析】【分析】（1）分类讨论x的取值范围，即可求得答案；
14、（2）求出的最小值，可得 ，即，将变为，结合基本不等式，即可求得答案.【小问1详解】由题意，当时， 解得 ，当时， ，无解，当时， ，解得，故不等式的解集为或；【小问2详解】由（1）可知：当时， 当时， ，当时， ，故 的最小值为3，即 ，则 ，即则，当且仅当 时取等号，故的最小值为.21. 函数.（1）当时，求函数在区间上的值域；（2）若任意，对任意，总有不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）当时，利用二次函数的性质，求得在区间上的值域；（2）首先求得在区间上的最大值和最小值，由此得到对任意，不等式恒成立，构造函数，结合一次函数的性质列不等式组，解不等式组
15、求得的取值范围.【详解】（1）当时，对称轴，函数在上的值域为. （2），对称轴，在区间上单调递增，即对任意，不等式恒成立，设，由于在区间上恒成立，所以则，即，解得或.【点睛】本小题主要考查二次函数在闭区间上的值域的求法，考查不等式恒成立问题的求解，属于难题.22. 已知函数f（x）ex（lnx+a）（1）若f（x）是增函数，求实数a的取值范围；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：x1+x22【答案】（1）1，+） （2）证明见解析【解析】【分析】(1)求导，由f（x）是增函数，转化为f（x）0对任意x0恒成立，即恒成立，构造新函数，求导得单调性，求出最小值，得到a的取值范围.(2)设
16、出两个极值点，即两个极值点是的两个零点，要证明x1+x22，只需证x22x1，只需证g（x2）g（2x1）g（x1）g（2x1）0，设，求导，证h（x）在（0，1）上单调递减，从而得到g（x）在（1，+）上单调递增，所以x22x1成立，即x1+x22成立【小问1详解】函数的定义域为，若f（x）是增函数，即f（x）0对任意x0恒成立，故恒成立，设，则，所以当0x1时，g（x）0，g（x）单调递减，当x1时，g（x）0，g（x）单调递增，所以当x1时，g（x）ming（1）a+1，由a+10得a1，所以a的取值范围是1，+）【小问2详解】不妨设0x1x2，因为x1，x2是f（x）的两个极值点，所以，即，同理，故x1，x2是函数的两个零点，即g（x1）g（x2）0，由（1）知，g（x）ming（1）a+10，故应有a（，1），且0x11x2，要证明x1+x22，只需证x22x1，只需证g（x2）g（2x1）g（x1）g（2x1），设，则，所以h（x）在（0，1）上单调递减，因为x1（0，1），所以h（x1）h（1）0，即g（x2）g（2x1）0，g（x2）g（2x1），又x21，2x11，及g（x）在（1，+）上单调递增，所以x22x1成立，即x1+x22成立
