1、基本不等式aba+b2(a,b0)基础过关练题组一对基本不等式的理解1.(2020江苏连云港海头高级中学高一月考)不等式a+12a中等号成立的条件是()A.a=0B.a=12C.a=1D.a=22.(多选)(2020江苏徐州侯集高级中学高一月考)下列条件可使ba+ab2成立的有()A.ab0B.ab0,b0D.a0,b2xC.1x2+11D.x+1x24.(2020北京东城高一期末)“a,b为正数”是“a+b2ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件题组二利用基本不等式比较大小5.(2020江苏南京第九中学高一月考)设ab0,则下列不等式中成立的是(
2、)A.2aba+ba+b2abB.a+b2ab2aba+bC.a+b22aba+babD.2aba+baba+b26.设M=n+1n3,N=n3+1n3+6,对于任意n0,M,N的大小关系为()A.MNB.MNC.MND.不能确定7.若abc,则a-c2与(a-b)(b-c)的大小关系是.题组三利用基本不等式求最值(取值范围)8.(2020江苏江阴要塞中学高一月考)已知y=x+1x-2(x0),则y有()A.最大值0B.最小值0C.最小值-2D.最小值29.(2020江苏常州奔牛高级中学高一月考)若x2,则y=x+4x-2的最小值为()A.4B.5C.6D.810. (2020江苏无锡第一中学
3、月考)已知正数a,b满足ab=10,则a+2b的最小值是(深度解析)A.35B.310C.45D.21011.(2020北京东直门中学高一期中)若对任意的x(0,+),都有x+1xa,则实数a的取值范围是()A.(-,2B.(-,2)C.(2,+)D.2,+)12.(2021江苏溧阳高一期末检测)已知x,y均为正实数,且4x+y=1,则1x+1y的最小值是.13.若0x0,求证:x+22x+132.15.已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+cab+bc+ca.深度解析题组五利用基本不等式解决实际问题16.(2020江苏镇江大港中学高一期中)一家商店使用一架两臂长不等的天平称黄金.一
4、位顾客到店里购买10克黄金,售货员先将5克的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5克的砝码放在天平右盘中,取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.顾客实际购买的黄金()A.大于10克B.小于10克C.等于10克D.不能判断17.(2020广东广州荔湾高二期末)为不断满足人们日益增长的美好生活需要,实现群众对舒适的居住条件、更优美的生活环境、更丰富的精神文化生活的追求,某大型广场正计划进行升级改造,改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A1B1C1D1,该项目由长方形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区A
5、BCD的面积为1000m2,绿化带的宽分别为2m和5m(如图所示).当长方形A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为()A.20mB.50mC.1010mD.100m18.(2020江苏兴化中学高一月考)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是元.19.(2020江苏南通平潮高级中学高二期中)2020年上半年,新冠肺炎疫情在全国蔓延,疫情暴发造成医用防护服短缺,某地政府决定为医用防护服生产企业A公司的扩大生产提供x(x0,10)万元的专项补贴,并以每套72元的价格收购其生产的全部医
6、用防护服.A公司在收到政府x万元补贴后,医用防护服产量增加到t=4-6x+2(万套),同时A公司生产t万套医用防护服需要投入成本(52+3x+45t)万元.设A公司生产医用防护服产生的总收益为y万元.当政府的专项补贴为多少万元时,A公司生产医用防护服产生的总收益最大?(注:总收益=销售总金额+政府专项补贴-成本)能力提升练题组一利用基本不等式求最值1.(2020江苏南通如东高级中学高一月考,)已知0x1,则x-1x2+x-1的最大值为()A.16B.14C.15D.133.(2020广东汕头澄海中学高一月考,)已知x0,y0,且x+y=1,则12x+xy+1的最小值是()A.34B.1C.54
7、D.324.(2019江苏宿迁沭阳高二上期中,)正数a,b满足2a+b=1,且2ab-4a2-b2t-12恒成立,则实数t的取值范围是()A.-,22B.22,+C.-22,22D.12,+5.(2020江苏扬州中学高一期中,)已知x0,y0,且1x+1y=1,则9x1-x+4y1-y的最大值为.6.(2020山东菏泽高二期末,)已知xy0,求x2+4y(x-y)的最小值.题组二利用基本不等式证明不等式7.(2020湖南长沙第一中学高一月考,)已知a、b、c为正数.(1)若2a+b=2ab,证明:a+2b92;(2)若a+b+c=1,证明:a2+b2+c213.8.()已知a,b,c均为正实数
8、,且满足a+b+c=3.证明:(1)ab+bc322;(2)a2b+c+b2c+a+c2a+b32.9.(2020江苏南京田家炳高级中学高一月考,)(1)a0,b0,求证:ab+baa+b(用比较法证明);(2)除了用比较法证明,还可以有如下证法:ba+a2b,当且仅当a=b时,等号成立,ab+b2a,当且仅当a=b时,等号成立,ba+ab+a+b=ba+a+ab+b2a+2b,当且仅当a=b时,等号成立,ab+baa+b,当且仅当a=b时,等号成立.根据以上解题过程,解决下列问题:证明:若a0,b0,c0,则a2b+b2c+c2aa+b+c,并指出等号成立的条件;试将上述不等式推广到n(n2
9、)个正数a1,a2,an-1,an的情形,并证明.题组三基本不等式在实际问题中的应用10.(2021山东日照五莲高一上期中,)某工厂过去的年产量为a(a0),技术革新后,第一年的年产量增长率为p(p0),第二年的年产量增长率为q(q0,pq),这两年的年产量平均增长率为x(x0),则()A.x=p+q2B.x=pqC.xp+q2D.xp+q211.(多选)(2020江苏盐城高二期中,)某公司一年购买某种货物800吨,现分次购买,设每次购买x吨,运费为8万元/次.已知一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和y最小,则下列说法正确的是()A.当x=40时,y取得最小值B.当x=
10、45时,y取得最小值C.ymin=320D.ymin=36012.(2021四川绵阳南山中学高三上开学考试,)网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时间内成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月的运营发现,产品的月销量x(万件)与投入实体店体验安装的费用t(万元)之间满足x=3-2t+1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,每1万件产品的进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司的最大月利润是万元.13.(2020江苏扬州
11、邗江中学高一期中,)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资80万元,根据行业规定,每座城市至少要投资20万元,由前期市场调研可知甲城市收益y1(单位:万元)与投入成本x(单位:万元)满足y1=-450x+40,20x0,ab0,a,b同号即可.3.C对于A,当x0时,无意义,故A不恒成立;对于B,当x=1时,x2+1=2x,故B不恒成立;对于C,x2+11恒成立,所以1x2+11恒成立;对于D,当x2ab”的充分条件;若a+b2ab,取a=1,b=0,则b不是正数,所以“a,b为正数”不是“a+b2ab”的必要条件.故“a,b为正
12、数”是“a+b2ab”的既不充分又不必要条件,故选D.5.Bab0,a+b2ab,2aba+bab2aba+b.故选B.6.AM-N=n+1n3-n3-1n3-6=n3+1n3+3n1n2+3n21n-n3-1n3-6=3n+1n-6.n0,n+1n2n1n=2,当且仅当n=1时,等号成立,3n+1n-60,MN.故选A.7.答案a-c2(a-b)(b-c)解析因为abc,所以a-b0,b-c0,所以a-c2=(a-b)+(b-c)2(a-b)(b-c),当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时,等号成立.8.B因为x0,所以y=x+1x-22x1x-2=0,当且仅当x=1时取等号,故y有最小
13、值0,无最大值.故选B.9.C因为x2,所以x-20,所以y=x+4x-2=x-2+4x-2+22(x-2)4x-2+2=6,当且仅当x-2=4x-2,即x=4时,等号成立,故y=x+4x-2的最小值为6.故选C.10.C因为a0,b0,ab=10,所以a+2b22ab=45,当且仅当a=25,b=5时,等号成立,所以a+2b的最小值为45.故选C.导师点睛利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正,判断参数是不是正的;二定,看和或积是不是定值(和定积最大,积定和最小);三相等,验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数在不在定义域内,二是多次用或时等号
14、能否同时成立).11.A因为x(0,+),所以x+1x2x1x=2,当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立,所以a2.故选A.12.答案9解析1x+1y=1x+1y(4x+y)=4+1+yx+4xy5+24=9,当且仅当yx=4xy,且4x+y=1,即x=16,y=13时,等号成立.故1x+1y的最小值是9.13.解析0x0.x1-4x2=124x21-4x2124x2+1-4x22=14,当且仅当x=24时取等号,x1-4x2的最大值为14.14.证明因为x0,所以x+120,所以x+22x+1=x+1x+12=x+12+1x+12-122x+121x+12-12=32,当且仅当x+12=1
15、x+12,即x=12时,等号成立.故x+22x+132.15.证明a0,b0,c0,a+b2ab0,b+c2bc0,c+a2ca0,2(a+b+c)2(ab+bc+ca),即a+b+cab+bc+ca(当且仅当a=b=c时,等号成立).a,b,c为不全相等的正实数,等号不成立,a+b+cab+bc+ca.方法技巧证明不等式时,要观察要证不等式的结构特征,若不能直接使用基本不等式,则要结合左、右两边的结构特征进行拆项、变形、配凑等,使之满足使用基本不等式的条件.16.答案A信息提取天平两臂长不等;分两次将5克的砝码分别放在天平左、右盘中,然后取出一些黄金放在天平右、左盘中使天平平衡;实际购买黄金
16、量与10克比较.数学建模以实际生活中的天平作为背景,构建关于基本不等式的实际应用数学模型.先设出天平的左、右臂长分别为m,n(mn)以及第一次加黄金x克,第二次加黄金y克,再根据题意得出等量关系,利用基本不等式求出x+y的取值范围,从而得出实际问题的结论.解析设天平的左、右臂长分别为m,n(mn),第一次加黄金x克,第二次加黄金y克,则5m=xn,且(5+y)m=(x+5)n,即my=5n,所以x+y=5mn+5nm=5mn+nm52mnnm=10,当且仅当m=n时,等号成立.因为mn,所以等号不成立,所以x+y10.故选A.17.B设BC=xm(x0),则CD=1000xm,所以长方形A1B
17、1C1D1的面积S=(x+10)1000x+4=1040+4x+10000x1040+24x10000x=1440,当且仅当4x=10000x,即x=50时,等号成立,所以当长方形A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为50m.故选B.18.答案160解析设底面矩形的一边长为xm(x0),则其邻边长为4xm.设该容器的总造价为y元,则y=420+2x+4x110=80+20x+4x80+202x4x=160,当且仅当x=4x,即x=2时,等号成立.因此当x=2时,y取得最小值160,即该容器的最低总造价为160元.19.解析由题意可得y=72t+x-(52+3x+45t).因
18、为t=4-6x+2,所以y=72t+x-(52+3x+45t)=-2x+27t-52=-2x+274-6x+2-52=-2x-162x+2+56,x0,10.因为-2x-162x+2+56=-2(x+2)-162x+2+60-2324+60=24,当且仅当2(x+2)=162x+2,即x=7时取等号,所以当政府的专项补贴为7万元时,A公司生产医用防护服产生的总收益最大.能力提升练1.D因为0x12,所以02x1,01-2x0,x-1x2+x-1=t(t+1)2+(t+1)-1=tt2+3t+1=1t+1t+312t1t+3=15,当且仅当t=1,即x=2时,等号成立.故选C.3.C由x+y=1
19、,得y=1-x,所以12x+xy+1=12x+x2-x=-1+3x+2-2x2+4x.因为x0,y0,所以0x1.令3x+2=t(2t0,y0,且1x+1y=1,所以x1,y1,且x+yxy=1,即x+y=xy,所以9x1-x+4y1-y=9x-9+91-x+4y-4+41-y=-9-4-9x-1+4y-1=-13-9x-1+4y-1.因为9x-10,4y-10,所以9x1-x+4y1-y=-13-9x-1+4y-1-13-29x-14y-1=-13-236xy-(x+y)+1=-13-12=-25,当且仅当9x-1=4y-1,且x+y=xy,即x=52,y=53x=-12,y=13舍去时,等
20、号成立.故9x1-x+4y1-y的最大值为-25.6.解析因为xy0,所以x-y0,所以0y0,即x=2,y=1时,等号成立,故x2+4y(x-y)的最小值为8.7.证明(1)2a+b=2ab,1a+2b=2,a+2b=12(a+2b)1a+2b=125+2ba+2ab.2ba+2ab22ba2ab=4,当且仅当2ba=2ab,且2a+b=2ab,即a=b=32时,等号成立,a+2b92.(2)a2+192a219=23a当且仅当a=13时取等号,同理,b2+1923b当且仅当b=13时取等号,c2+1923c当且仅当c=13时取等号,a2+b2+c2+1323(a+b+c)当且仅当a=b=c
21、=13时取等号,又a+b+c=1,a2+b2+c213,当且仅当a=b=c=13时取等号.8.证明(1)(a+c)2=a+c+2ac2(a+c),当且仅当a=c时取等号.因为a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=3,所以a+c2(a+c)=2(3-b),当且仅当a=c时取等号,所以ab+bc=b(a+c)2b(3-b)22(b+3-b)=322,当且仅当b=32,a=c=34时取等号.(2)a2b+c+b+c42a2b+cb+c4=a,当且仅当2a=b+c时取等号,同理,可得b2c+a+c+a4b,当且仅当2b=a+c时取等号,c2a+b+a+b4c,当且仅当2c=b+a时取等号,上面三式左
22、右分别相加并化简可得a2b+c+b2c+a+c2a+ba+b+c2=32,当且仅当a=b=c=1时取等号.9.解析(1)证明:a0,b0,ab+ba-(a+b)=aa+bb-ab-baab=(a-b)(a-b)ab=(a-b)2(a+b)ab0,ab+baa+b.(2)证明:b+a2b2a,当且仅当a=b时,等号成立,c+b2c2b,当且仅当b=c时,等号成立,a+c2a2c,当且仅当a=c时,等号成立,b+a2b+c+b2c+a+c2a2a+2b+2c,当且仅当a=b=c时,等号成立,a2b+b2c+c2aa+b+c,当且仅当a=b=c时,等号成立.将上述不等式推广如下:a12a2+a22a
23、3+an-12an+an2a1a1+a2+an-1+an.证明:a12a2+a2+a22a3+a3+an-12an+an+an2a1+a12a1+2a2+2an-1+2an,当且仅当a1=a2=an-1=an时,等号成立,a12a2+a22a3+an-12an+an2a1a1+a2+an-1+an,当且仅当a1=a2=an-1=an时,等号成立.10.D由题意得a(1+p)(1+q)=a(1+x)2,即(1+p)(1+q)=(1+x)2.易知(1+p)(1+q)1+p+1+q22,当且仅当p=q时取等号.因为pq,所以(1+p)(1+q)1+p+1+q22,所以(1+x)20,2+p+q20,
24、所以1+x2+p+q2=1+p+q2,即xp+q2.故选D.11.AC一年购买某种货物800吨,每次购买x吨,则需要购买800x次,又运费是8万元/次,一年的总存储费用为4x万元,所以一年的总运费与总存储费用之和y=800x8+4x万元.因为y=800x8+4x26400x4x=2160=320,当且仅当6400x=4x,即x=40时,等号成立,所以当x=40时,y取得最小值,ymin=320.故选AC.12.答案37.5解析由产品的月销量x(万件)与投入实体店体验安装的费用t(万元)之间满足x=3-2t+1,得t=23-x-1(1x3).设月利润为y万元,则y=48+t2xx-32x-3-t
25、=16x-t2-3=16x-13-x+12-3=45.5-16(3-x)+13-x45.5-216=37.5,当且仅当16(3-x)=13-x,即x=114时取等号,故该公司的最大月利润为37.5万元.13.解析(1)当甲城市的投入成本为25万元时,乙城市的投入成本为80-25=55(万元),则甲城市收益y1=-45025+40=22(万元),乙城市收益y2=1255+20=952(万元),所以甲、乙两座城市的投资的总收益为22+952=1392(万元).(2)设甲城市的投入成本为x万元,则乙城市的投入成本为(80-x)万元.当20x65,所以当x=30时,甲、乙两座城市的投资的总收益最大.所以当甲城市的投入成本为30万元,乙城市的投入成本为50万元时,甲、乙两座城市的投资的总收益最大.
