1、本章复习总结第一章 二次函数【例1】(2020 北京)在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线yax2bxc(a0)上任意两点，其中x1x2.(1)若抛物线的对称轴为x1，当x1，x2为何值时，y1y2c；(2)设抛物线的对称轴为xt，若对于x1x23，都有y1y2，求t的取值范围 一、二次函数的图象和性质 解：(1)由题意 y1y2c，x10，对称轴 x1，M，N 关于 x1 对称，x22，x10，x22 时，y1y2c.(2)当 x1t 时，恒成立当 x1x2t 时，恒不成立当 x1t，x2t 时，抛物线的对称轴为 xt，若对于 x1x23，都有 y1y2，当
2、x1x23，且 y1y2时，对称轴 x32，满足条件的值为：t32.如图，抛物线 y13 x2bxc 过点 C(1，m)和 D(5，m)，A(4，1).则抛物线的对称轴为直线_；抛物线的函数表达式为_；顶点坐标为_x2y13 x243 x1(2，73)已知二次函数经过点(0，3)，且当x1时，函数y有最大值4.(1)求二次函数解析式；(2)直接写出一个与该函数图象开口方向相反，大小相同，且经过点(0，3)的二次函数解析式 解：(1)设抛物线解析式为ya(x1)24，把(0，3)代入得a(01)243，解得a1，所以抛物线解析式为y(x1)24；(2)设抛物线解析式为y(x1)2h，把(0，3)
3、代入得1h3，解得h2，所以满足条件的一个抛物线解析式为y(x1)22.二、二次函数的图象变换【例2】(2020宁波)如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax24x3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0).(1)求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y0时x的取值范围(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式 解：(1)把B(1，0)代入yax24x3，得0a43，解得a1，yx24x3(x2)21，A(2，1)，对称轴为直线x2，B，C关于x2对称，C(3，0)，当y0时，1x3.(2)D(0，3)，点
4、D平移到点A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y(x4)25.抛物线y(x2)21可以由抛物线yx2平移而得到，下列平移正确的是()A先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 B先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 C先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 D先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 D如图，已知抛物线yx24与x轴交于点A，B(点A位于点B的左侧)，C为顶点，直线yxm经过点A，与y轴交于点D.(1)求线段AD的长；(2)平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C.若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶
5、点和原抛物线的顶点的连线CC平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式 解：(1)由x240 得，x12，x22，点A 位于点B 的左侧，A(2，0)，直线yxm 经过点A，2m0，解得，m2，点D 的坐标为(0，2)，AD OA2OD2 2 2；(2)设新抛物线对应的函数表达式为：yx2bx2，yx2bx2(xb2)22b24，则点C的坐标为(b2，2b24)，CC平行于直线AD，且经过C(0，4)，直线 CC的解析式为：yx4，2b24 b2 4，解得，b14，b26，新抛物线对应的函数表达式为：yx24x2 或yx26x2.三、二次函数的应用【例3】(2020盘锦)某服装厂生产A品种服装
6、，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍(1)当 100 x300 时，y 与 x 的 函 数 关 系 式 为_.(2)某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？(3)零 售 商 到 此 服 装 厂 一 次 性 批 发 A 品 牌 服 装x(100 x400)件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？解：(1)y与x的函数关系式为：yx110；(2)当x200时，y2011090，9020018000(元)，答：需要支付18000元；(3)分两种情况
7、：当 100 x300 时，w(110 x11071)x 110 x239x 110(x195)23802.5，批发件数 x 为 10 的正整数倍，当 x190 或 200时，w 有最大值是：110(200195)23802.53800；当 300 x400 时，w(8071)x9x，当 x400时，w 有最大值是：94003600，一次性批发 A品牌服装 x(100 x400)件时，x 为 190 元或 200 元时，w 最大，最大值是 3800 元如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB1.5米，
8、若茶几摆在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米()A3.2B0.32C2.5D1.6 A (2020毕节)已知yax2bxc(a0)的图象如图所示，对称轴为直线x2.若x1，x2是一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个根，且x1x2，1x10，则下列说法正确的是()Ax1x20B4x25 Cb24ac0Dab0 B四、二次函数的综合【例 4】(2020杭州)在平面直角坐标系中，设二次函数y1x2bxa，y2ax2bx1(a，b 是实数，a0).(1)若函数 y1 的对称轴为直线 x3，且函数 y1 的图象经过点(a，b)，求函数 y1 的表达式(2)若函数 y1 的图象经过点(r，0
9、)，其中 r0，求证：函数 y2的图象经过点(1r，0).(3)设函数 y1 和函数 y2的最小值分别为 m 和 n，若 mn0，求 m，n 的值解：(1)函数 y1x26x2 或 y1x26x3；(2)函数 y1 的图象经过点(r，0)，其中 r0，r2bra0，1br ar2 0，即 a(1r)2b1r 10，1r 是方程 ax2bx10 的根，即函数 y2 的图象经过点(1r，0)；(3)由题意 a0，m4ab24，n4ab24a，mn0，4ab244ab24a0，(4ab2)(a1)0，a10，4ab20，mn0.练习 7.(2020金华)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 y12
10、(xm)24 图象的顶点为 A，与 y 轴交于点 B，异于顶点 A 的点 C(1，n)在该函数图象上(1)当 m5 时，求 n 的值(2)当 n2 时，若点 A 在第一象限内，结合图象，求当 y2 时，自变量 x 的取值范围(3)作直线 AC 与 y 轴相交于点 D.当点 B 在 x 轴上方，且在线段 OD 上时，求 m 的取值范围解：(1)n12 4244.(2)当 n2 时，由题意得：m3 或1(舍去)，此时抛物线的对称轴 x3，根据抛物线的对称性可知，当y2 时，x1 或 5，x 的取值范围为 1x5.(3)点A 与点C 不重合，m1，抛物线的顶点A 的坐标是(m，4)，抛物线的顶点在直线y4 上，点B 的坐标为(0，12 m24)，抛物线从图1 的位置向左平移到图2 的位置前，m 逐渐减小，点B 沿y 轴向上移动，当点 B 与O 重合时，12 m240，解得m2 2 或2 2(不合题意舍去)，当点B 与点 D 重合时，如图2，顶点A 也与B，D 重合，点B 到达最高点，点B(0，4)，12 m244，解得m0，当抛物线从图2 的位置继续向左平移时，如图3 点B 不在线段OD 上，B 点在线段 OD 上时，m 的取值范围是：0m1 或1m2 2.
