1、相似的应用一、选择题1、（第10题）10如图，ABC中，点DE分别是ABC的中点，则下列结论：BC=2DE；ADEABC；其中正确的有【 】（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个答案：AABOCD（第4题）2、如图，ABCD，AD，BC相交于O点，BAD=35, BOD=76，则C 的度数是 （ ）A31B35 C41D76 答案：C3、平面直角坐标系中，已知点O(0，0)、A(0，2)、B(1，0)，点P是反比例函数图 象上的一个动点，过点P作PQx轴，垂足为点Q若以点O、P、Q为顶点的三角形与OAB相似， 则相应的点P共有 （ ） A1个 B2个 C3个 D4个答案：D4、（202
2、2年中考数学新编及改编题试卷）图(1)、图(2)、图(3)分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图。已知； 甲的路线为：ACB。乙的路线为：ADEFB，其中E为AB的中点。丙的路线为：AGHKB，其中H在AB上，且AHHB。 若符号表示直线前进，则根据图(1)、图(2)、图(3)的数据，则三人行进路线长度的大小关系为（ ）(A) 甲=乙=丙 (B) 甲乙丙 (C) 乙丙甲 (D )丙乙甲 ABCABDABGI50EF6070506070506070506070506070HK图(1)图(2)图(3)答案：A5、（2022广西贵港）小刚身高，测得他站立在阳光下的影子长为，紧接着他把手臂竖直举起
3、，测得影子长为，那么小刚举起的手臂超出头顶 A B C D答案：A二、 填空题1、(2022四川省泸县福集镇青龙中学一模)如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.第1题图此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为_m. 答案： 7 2、淮南市洞山中学第四次质量检测，12,5分 将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点的连线对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长和宽的比应为 答案：3、（杭州市2022年中考数学模拟）已知ABC与DEF相似且相似比为35，则ABC与DEF的面积比为 答案：925；
4、4、（盐城市亭湖区2022年第一次调研考试）如图4，正方形ABCD的边长为2，AEEB，MN1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM 时，AED与以M、N、C为顶点的三角形相似。答案CM或CM；ABCDEO5、（2022年，瑞安市模考）如图，在半圆O中，直径AE=10，四边形ABCD是平行四边形，且顶点A、B、C在半圆上，点D在直径AE上，连接CE，若AD=8，则CE长为 答案:6、(2022年春期福集镇青龙中学中考模拟)如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿（第1题）做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m
5、，则树的高度为_m. 答案15. 7 三、 解答题1、（海南省2022年中考数学科模拟）（本题满分13分）如图，抛物线y=ax2 + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)。（1）求抛物线y= ax2 + bx + c 的解析式；（2）求AOC和BOC的面积比；ABOC-11yx第24题图（3）在对称轴上是否存在一个P点,使PAC的周长最小。若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由。答案：解：（1）抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,且对称轴为直线x=1，点B的坐标为（3，0），可设抛物线的解析式为y= a（x+1
6、）(x-3) 2分yABOC-11x第24题图PD又抛物线经过点C(0,-3)， -3=a（0+1）(0-3) a=1,所求抛物线的解析式为y=（x+1）(x-3)，即y=x2-2x-3 4分（2）依题意，得OA=1,OB=3,SAOCSBOC=OAOCOBOC=OAOB=13 8分（3）在抛物线y=x2-2x-3上，存在符合条件的点P 。 9分解法1：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。AC长为定值，要使PAC的 周长最小，只需PA+PC最小。点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）由几何知识可知，PA+PC=PB+PC
7、为最小。 11分设直线BC的解析式为y=kx-3 ,将B（3，0）代入得 3k-3=0 k=1。y=x-3 当x=1时，y=-2 .点P的坐标为（1，-2） 13分解法2：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。设直线x=1交x轴于DAC长为定值，要使PAC的 周长最小，只需PA+PC最小。点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小。 11分OCDP BDPBOC 。即 DP=2 12分点P的坐标为（1， -2） 13分 2、（盐城市亭湖区2022年第一次调研考试）（本题满分14分）如
8、图12，在ABC中，ACB=，AC=BC=2，M是边AC的中点，CHBM于H. （1）试求sinMCH的值； （2）求证：ABM=CAH；（3）若D是边AB上的点，且使AHD为等腰三角形，请直接写出AD的长为_. MABCDH（图12） 解：（1）在MBC中，MCB=，BC=2，又M是边AC的中点，AM=MC=BC=1，（1分） MB=， （1分） 又CHBM于H，则MHC=， MCH=MBC，（1分） sinMCH=.（1分） （2）在MHC中，.（1分）AM2=MC2=，即，（2分）又AMH=BMA，AMHBMA，（1分）ABM=CAH. （1分）（3）、.（5分）3（2022年江苏南通三
9、模）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关.因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置.于是，他们做了以下尝试.（1）如图，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子AB，DC的长度和为6cm.那么灯泡离地面的高度为 .第1题图 图图图（2）不改变中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图摆放，请计算此时横向影子AB，DC的长度和为多少？（3）有n个边长为a的正方形按图摆放，测得横向影子AB，DC的长度和为b,求灯泡离地面的距离.（写出解题过程，结果用含a,
10、b,n的代数式表示） 答案：27（1）180cm （2）12 cm （3）记灯泡为点P，如图ADAD，PAD=PAD，PDA=P DAPADPAD根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得设灯泡离地面距离为由题意，得 PM=，PN=AD= ，AD= ， 4、（2022江苏无锡前洲中学模拟）如图1，在ABC中，ABBC5，AC=6. ECD是ABC沿BC方向平移得到的，连接AE.AC和BE相交于点O.（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由； （2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QRBD，垂足为点R.四边形PQED的面积是
11、否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；当线段BP的长为何值时，PQR与BOC相似？（第1题图1）1COEDBA（备用图）1COEDBARPQCOEDBA（第1题图2）答案：（1）菱形（证明略）-3分HC图 ABDMFEGK（2）四边形PQED的面积不发生变化，理由如下：由菱形的对称性知，PBOQEO，SPBO SQEO，ECD是由ABC平移得到得，EDAC，EDAC6，又BEAC，BEED，S四边形PQEDSQEOS四边形POEDSPBOS四边形POEDSBED（第28题1）PQCHROEDBABEED8624. -6分（第28题2）PQCROEDBA
12、132G如图2，当点P在BC上运动，使PQR与COB相似时，2是OBP的外角，23，2不与3对应，2与1对应，即21，OP=OC=3， 过O作OGBC于G，则G为PC的中点，OGCBOC，CG:COCO:BC，即：CG:33:5，CG=，PBBCPCBC2CG52.BDPBPRRFDFxx10，x.-10分5. （2022荆门东宝区模拟）在ABC中，ACB90，ABC30，将ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0180)，得到A1B1CAA1ACCCA1A1ADB1BBBB1B1EP图1图2图3（第2题图）(1)如图1，当ABCB1时，设A1B1与BC相交于点D证明：A1CD是等边三角形；(2
13、)如图2，连接AA1、BB1，设ACA1和BCB1的面积分别为S1、S2求证：S1S213；(3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，ACa，连接EP当等于多少度时，EP的长度最大，最大值是多少？答案：（1）易求得, , 因此得证.(2)易证得,且相似比为，得证.（3）120， （当E,C,P三点在一条直线上时，即可求解）6、（2022山东省德州一模）一天晚上，身高1.6米的张雅婷发现：当她离路灯底脚（B）12米时，自己的影长（CD）刚好为3米，当她继续背离路灯的方向再前进2米（到达点F）时，她说自己的影长是(FH)5米。你认为张雅婷说的对吗？若她说的对，请你说明理由；若她说的不对，
14、请你帮她求出她的影长(FH).第21题图答案： 解：张雅婷说的不对1如图，ABBD,GCBDGCABDGCDAB5解之得：AB=87同理可证： 9解之得：HF=3.511即张雅婷再继续沿背离灯光的方向前进2米，她的影长应为3.5米12相似的应用一、选择题1、（2022吉林镇赉县一模）如图，在梯形ABCD中，ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则SAOD：SBOC等于（ ）1题图A. B. C. D. 答案：D2、(2022山西中考模拟六)如图，是的中位线，则与的面积之比是（ ）BACEDA1:1 B1:2 C1:3 D1:4答案：D二、解答题1、（2022江苏射阴特庸中
15、学）如图，AB是O的直径，点A、C、D在O上，过D作PFAC交O于F、交AB于E，且BPF=ADC.（1）判断直线BP和O的位置关系，并说明你的理由；（2）当O的半径为，AC=2，BE=1时，求BP的长.答案：(1)直线BP和O相切. 1分理由：连接BC,AB是O直径,ACB=90. 2分PFAC,BCPF, 则PBH+BPF=90. 3分BPF=ADC,ADC=ABC,得ABBP, 4分所以直线BP和O相切. 5分 (2)由已知，得ACB=90,AC=2,AB=2,BC=4. 6分BPF=ADC,ADC=ABC,BPF=ABC,由(1),得ABP=ACB=90,ACBEBP, 8分=,解得B
16、P=2.即BP的长为2. 10分2、（2022江苏射阴特庸中学）如图a，在平面直角坐标系中，A(0，6)，B(4，0).（1）按要求画图：在图a中，以原点O为位似中心，按比例尺1:2，将AOB缩小，得到DOC，使AOB与DOC在原点O的两侧；并写出点A的对应点D的坐标为 ,点B的对应点C的坐标为 ；（2）已知某抛物线经过B、C、D三点，求该抛物线的函数关系式,并画出大致图象；（3）连接DB，若点P在CB上，从点C向点B以每秒1个单位运动，点Q在BD上，从点B向点D以每秒1个单位运动，若P、Q两点同时分别从点C、点B点出发，经过t秒，当t为何值时，BPQ是等腰三角形？答案：(1)画图1分; C
17、(-2,0),D(0,-3). 3分(2)C(-2,0),B(4,0).设抛物线y=a(x+2)(x-4),将D(0,-3)代入,得a=3/8. 5分y=3/8(x+2)(x-4),即y=3/8x2-3/4x-3. 6分大致图象如图所示. 7分(3)设经过ts,BPQ为等腰三角形，此时CP=t,BQ=t,BP=6-t.OD=3,OB=4,BD=5. 若PQ=PB,过P作PHBD于H,则BH=1/2BQ=1/2t,由BHPBOD,得BH:BO=BP:BD,t=48/13s. 9分若QP=QB,过Q作QGBC于G,BG=1/2(6-t).由BGQBOD,得BG:BO=BQ:BD,t=30/13s.
18、 10分若BP=BQ,则6-t=t,t=3s. 11分当t=48/13s或30/13s或3s时,BPQ为等腰三角形.12分3、(2022年河北三摸)如图，梯形是一个拦河坝的截面图，坝高为6米背水坡的坡度i为11.2，为了提高河坝的抗洪能力，防汛指挥部决定加固河坝，若坝顶加宽0.8米，新的背水坡的坡度为11.4河坝总长度为4800米（1）求完成该工程需要多少方土？（2）某工程队在加固600米后,采用新的加固模式,这样每天加固长度是原来的2倍，结果只用9天完成了大坝加固的任务。请你求出该工程队原来每天加固的米数.CDEAFB第22题图 答案：（本小题满分8分）解：（1）作DGAB于G，作EHAB于HCDAB, EH=DG=6米,AG=7.2米，1分,FH=8.4米， 2分FA=FHGHAG=8.4+0.87.2=2（米）3分SADEF=.V=8.44800=4032（立方米）. 4分（2）设原来每天加固x米，根据题意，得：去分母，得 1200+4200=18x（或18x=5400）解得 检验：当时，（或分母不等于0）是原方程的解 答：该工程队原来每天加固300米8分11
