1、解答题分层综合练(四)压轴解答题抢分练(1)(建议用时：40分钟)1. 已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程； (2)已知点G(1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切2若定义在R上的函数f(x)对任意的x1，x2R，都有ff(x1)f(x2)，则称函数f(x)是R上的凹函数已知函数f(x)ax2x(aR，a0)(1)求证：当a0时，函数f(x)是凹函数；(2)若对任意的x0，1有|f(x)|1，求实数a的取值范围3已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，一个焦点与抛物线y
2、24x的焦点重合，直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，kOAkOB，判断AOB的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由4已知数列an的首项a11，前n项和为Sn，且对任意的正整数n都有2an1Sn2.(1)证明数列an是等比数列；(2)求满足1am2成立？若存在，求出满足条件的有序实数对(m，n)；若不存在，请说明理由解答题分层综合练(四)1解：(1)由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3，即23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)证明：因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2.由抛物线的对称性，不妨设A(
3、2，2)由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B(，)又G(1，0)，所以kGA，kGB，所以kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切2解：(1)证明：由题意得ff(x1)f(x2)a(axx1axx2)xx1x2xa，又a0，所以a0，ff(x1)f(x2)，所以当a0时，函数f(x)是凹函数(2)由|f(x)|1得1ax2x1，即对任意的x0，1恒成立，当x0时，显然成立；当x0时，即对任意的x(0，1恒成立令g(t)t2t，t1，则g(t)ming(
4、1)0，所以a0，令h(t)t2t，t1，则h(t)maxh(1)2，所以a2.综上，实数a的取值范围为2a0得m20.由弦长公式得|AB|x1x2| .又点O到直线l：ykxm的距离d，所以SAOBd|AB| ，故AOB的面积为定值.4解：(1)证明：由题意知，2an1Sn2，当n2时，2anSn12，得2an1an.当n1时，由得2a2a12，又a11，所以a2，也满足2an1an，即对任意的nN*，都有，所以数列an是首项为1，公比为的等比数列(2)由(1)可得an，从而Sn2.于是1，代入，得1，即.所以102n1 000，从而3n1am2成立，则1，化简得.因为2m10，所以，即，所以m1am2成立，满足条件的有序实数对(m，n)为(1，2)
