1、本章整合知识建构综合应用专题1复合函数y=fg(x)定义:如果y=f(u)的定义域为D，函数u=g(x)的值域为M，DM非空，则称y=fg(x)为复合函数，x为自变量，y为因变量，u为中间变量.如:已知y=f(u)=,u=g(x)=,则y=fg(x)=a2-x2称为复合函数.利用复合函数的概念，一个较复杂的函数可以看成几个简单函数复合而成，这样更便于对函数进行研究使用.【例题1】(1)已知函数f（x）的定义域为(0，1)，求f（x2）的定义域;(2)已知函数f（2x1）的定义域为(0，1)，求f（x）的定义域;(3)已知函数f（x1）的定义域为-2，3，求f（2x-2）的定义域.分析:(1)求
2、函数定义域就是求自变量x的取值范围，求f（x2）的定义域就是求x的范围，而不是求x2的范围，这里x与x2的地位相同，所满足的条件一样.(2)应由0x1确定出2x1的范围，即为函数f（x）的定义域.(3)应由-2x3确定出x1的范围，求出函数f（x）的定义域进而再求f（2x-2）的定义域.它是(1)与(2)的综合应用.解：(1)f（x）的定义域为(0，1),要使f（x2）有意义，需使0x21，即-1x0或0x1.函数f（x2）的定义域为x-1x0或0x1.(2)f（2x1）的定义域为（0，1），即其中的函数自变量x的取值范围是0x1，令t2x1，1t3.f（t）的定义域为1t3.函数f（x）的定
3、义域为x1x3(3)f（x1）的定义域为-2x3.令tx1，-1t4.f（t）的定义域为-1t4,即f(x)的定义域为-1x4.要使f（2x-2）有意义，需使-12x-24，x3.函数f（2x-2）的定义域为xx3.绿色通道（1）对于复合函数fg（x）而言，如果函数f（x）的定义域为A，则fg（x）的定义域是使得函数g（x）A的x取值范围.（2）如果fg（x）的定义域为A，则函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域.【例题2】已知f(x2+)=x+(x0)，求函数f(x2+x)的单调减区间.分析:求复合函数的单调区间时，必须注意两点：一是函数的定义域,二是每个函数在划分出的各区间内必是单调函数
4、.本题先应求f(x)的表达式及其定义域，进而研究f(x2+x)的单调性.解：当x0时，f(x)0,f(-1)=-2，求f(x)在-2,1上的值域.分析:(1)可通过巧妙地以t=x-2赋值，由f(-t)+f(t)=0,得f(x)为奇函数;(2)通过当x0时,f(x)0,判断函数单调性,再通过巧妙地以y=-x赋值，则f(0)=f(x)+f(-x),进而对x=y=0赋值得f(0)的值,从而判断出f(x)的奇偶性,由此求解.解：(1)由f(2-x)+f(x-2)=0，以t=x-2代入，有f(-t)+f(t)=0，f(x)为奇函数,则有f(0)=0.又由f(x+4)=f4-(x+4)=f(-x)=-f(
5、x).f(x+8)=-f(x+4)=f(x).故f(x)是周期为8的周期函数.f(2 000)=f(0)=0.(2)设x10，由条件当x0时，f(x)0,知f(x2-x1)0.又f(x2)=f(x2-x1)+x1=f(x2-x1)+f(x1)f(x1),f(x)为增函数.令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x).又令x=y=0,得f(0)=0.f(-x)=-f(x).故f(x)为奇函数.f(1)=-f(-1)=2,f(-2)=2f(-1)=-4.f(x)在-2,1上的值域为-4,2.绿色通道求某些抽象函数的特殊值一般给出定义域，通过某些性质及运算式求解.其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化.
