1、内蒙古自治区赤峰市赤峰二中2020-2021学年高二数学下学期第二次月考试题 文一、单选题，本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件D不充分也不必要条件2已知复数，其中若为纯虚数，则（ ）A B C D3某校初一有500名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，学校要求他们从四大名著中选一本阅读，其中有200人选三国演义，125人选水浒传，125人选西游记，50人选红楼梦，若采用分层抽样的方法随机抽取40名学生分享他们的读后感，则选西游记的学生抽取的人数为（ ）A5B10C1
2、2D154三个学生在校园内踢足球，“砰”的一声，不知道是谁踢的球把教室窗户的玻璃打破了，老师跑过来一看，问：“是谁打破了玻璃窗户”.甲说：“是乙打破的”；乙说：“是丙打破的”；丙说：“是乙打破的”，如果这三个孩子中只有一个人说了实话，则打破玻璃窗户的是（ ）A甲B乙C丙D不能确定5执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为（ ）A18B14C20D226从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）ABCD7某学校为了解传统教学和教改实验的课堂教学情况，选取20人平均分成同样水平的两组（甲组采用教改实验
3、教学，乙组采用传统教学），一学期以后根据他们的期末成绩绘制茎叶图，如图所示，则（ ）A，B，C，D，8关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（ ）ABCD9已知的内角的对边分别为且，的面积为则（ ）AB5C8D10设双曲线的左、右焦点分别、，点为双曲线右支上一点，的内切圆圆心为，则的面积与的面积之差为（ ）ABCD11已知下列命题：回归直线恒过样本点的中心，且至
4、少过一个样本点；两个变量相关性越强，则相关系数r就越接近于1；将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；在回归直线方程 中，当解释变量x增加一个单位时，预报变量平均减少0.5；在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好；对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说， 越小，“与有关系”的把握程度越大两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好. 则正确命题的个数是（ ）A3B4C5D612已知，对，且，恒有，则实数的取值范围是（ ）A B C D二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.13统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本
5、频率分布直方图如图所示，规定不低于60分为及格，则及格人数是_.14上饶市婺源县被誉为“茶乡”，婺源茶业千年不衰，新时代更是方兴未艾，其中由农业部监制的婺源大山顶特供茶“擂鼓峰茶尤为出名，为了解每壶“擂鼓峰”茶中所放茶叶量克与食客的满意率的关系，抽样得一组数据如下表：(克)24568(%)30507060根据表中的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的值为_15F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，Q是圆上的点，则最小值是_16已知点在曲线（是自然对数的底数）上，点在曲线上，则的最小值为_.三、解答题17已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（
6、2）若数列满足，求数列的前项和.18.为进一步提升学生学习数学的热情，学校举行了数学学科知识竞赛为了解学生对数学竞赛的喜爱程度是否与性别有关，现对高中部200名学生进行了问卷调查，得到如下22列联表：喜欢数学竞赛不喜欢数学竞赛合计男生70女生30合计已知在这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢数学竞赛的概率为0.6（1）将22列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为喜欢数学竞赛与性别有关？（2）从上述不喜欢数学竞赛的学生中男生抽取3人，女生抽取2人，再在这5人中抽取3人，调查其喜欢的活动类型，求抽取的3人中至少有一名女生的概率参考公式及数据：P（K2k）0.500.400.250.150.
7、100.050.0250.010.0050.001k0.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.82819如图，在直三棱柱中，底面是边长为3的等边三角形，是的中点.（）证明：；（）求四棱锥的体积.20已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）证明：函数（为自然对数的底数）恒成立21已知椭圆：的右顶点为，上下顶点分别是，.（1）求外接圆的标准方程.（2）若点是椭圆第一象限上的点，直线与轴的交点为，直线与直线的交点为.若与的面积的比值为，求直线的方程.选考题：共10分，请考生在22、23题中任选-题作答，如果多做则按所做的第题计分.选修4-4坐标系与参数方程22
8、在直角坐标系中，曲线的参数方程为：(为参数)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线交于点，射线与曲线交于点，求的面积.23已知函数.（1）求不等式f(x)2的解集M；（2）当xM时，求实数a的取值范围.文科试题参考答案1B【分析】解出不等式、即可.【详解】由可得，由可得所以“”是“”的必要而不充分条件故选：B2C【分析】首先利用复数的乘法运算化简，之后根据纯虚数的定义列方程，解方程即可求得结果.【详解】，为纯虚数，.故选：C.3B【分析】根据分层抽样的方法，列出方程，即可求解.【详解】
9、根据分层抽样的方法，可得选西游记的学生抽取的人数为故选：B.4C【分析】分别按照甲说了实话，乙说了实话和丙说了实话分类讨论，结合题意可得答案【详解】若甲说了实话，则丙也说了实话，不合题意；若乙说了实话，则甲、丙都说了假话，符合题意；若丙说了实话，则甲也说了实话，不合题意.由上知打破玻璃的是丙.故选：C【点睛】本题考查推理与证明，考查分类讨论思想，属于基础题5A【分析】依次模拟程序运行，直到满足条件，跳出循环即可.【详解】，结束循环故输出的结果为18故选：A6A【分析】利用树图列举基本事件总数，再找出第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数，代入古典概型的公式求解.【详解】从5张卡片中随机抽
10、取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，故所求概率.故选：A.7B【分析】观察茎叶图中的数据，得出甲、乙两组数据的分布特征，从而判断它们的平均数和方差的大小【详解】观察茎叶图中的数据知，甲组数据主要集中在之间，且成单峰分布，比较集中些；乙组数据主要分布在之间，相对分散些；由此知平均数，方差故选：B【点睛】本题考查了利用茎叶图中的数据判断平均数与方差大小的应用问题，是基础题8C【分析】由不等式组中实数对对应的平面区域，分析两数、能与1构成钝角三角形三边的数对对应的区域面积，利用几何概型公式列式求得的解析式【详解】根据题意知，
11、名同学取对都小于的正实数对，即，对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数、能与1构成钝角三角形三边，则有，对应区域为阴影部分，其面积；则有，解得故选：C【点睛】方法点睛：解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.9B【分析】先由正弦定理，根据题中条件，求出；再由三角形面积公式
12、，求出，利用余弦定理，即可求出结果.【详解】由正弦定理，可将化为，因为为三角形内角，所以，因此，所以，解得，又，所以；又的面积为，所以，则；又，所以由余弦定理可得：，所以.故选：B.10C【分析】设内切圆的半径为，可将所求面积之差表示为，由内切圆圆心坐标可得，根据过圆外一点作圆的切线，切线长相等的性质可将表示为，结合双曲线定义可构造方程求得，由此可求得结果.【详解】设内切圆的半径为，则，.过点作于点，于点，于点，则由的内切圆圆心为知：，解得：，.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查与双曲线焦点三角形有关的问题的求解，解题关键是能够利用过圆外一点作圆的切线，切线长相等的性质，结合双曲线的定义构
13、造方程求得.11B【分析】由回归直线恒过样本中心点，不一定经过每一个点，可判断；由相关系数的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断；由方差的性质可判断；由线性回归直线方程的特点可判断；相关指数R2的大小，可判断；由的随机变量K2的观测值k的大小可判断；残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断【详解】对于，回归直线恒过样本点的中心（），可以不过任一个样本点，故错误；对于，两个变量相关性越强，则相关系数r的绝对值就越接近于1，故错误；对于，将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，由方差的性质可得方差不变，故正确；对于，在回归直线方程20.5x中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5
14、个单位，故正确；对于，在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好，故正确；对于，对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故错误；对于，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故正确其中正确个数为4故选B【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数据的特征值和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题12B【分析】依题意，得在上单调递增，转化为恒成立，则，令，利用的单调性可得答案.【详解】依题意，得，且，所以，则在上单调递增
15、，则，恒成立，则，令，则，当时；当时，故，所以，故选：B.【点睛】解题的关键点是含有参数的不等式恒成立的问题，可以进行参数分离，再构造函数，考查了学生分析问题、解决问题的能力.13800【分析】由图知，各段的频率可知，又由总人数为1000，及格人数即为总人数乘上60分以上的频率.【详解】解：由图知40到50，50到60的频率分别为0.05，0.15，故不及格的频率是0.2，又学生总数为1000名，所以不及格的有200人，及格有800人.故答案为：800.【点睛】本题考查用样本频率分布估计总体分布，观察图形是关键，要注意纵坐标表示的是频率，还是频率组距，是基础题.1440【分析】由表中数据，计算
16、得，代入回归直线方程中可求得答案.【详解】由表中数据，计算可得，因为回归直线方程过样本中心点，所以有，解得故答案为：40.152【分析】利用抛物线的定义转化，再利用圆外的点和圆上的点连线的最小值，数形结合求最小值.【详解】设抛物线的准线，于点，则，圆外的点和圆上的点的连线的最小值是，所以 由图可知，的最小值是点到准线的距离，所以最小值是.故答案为：2【点睛】结论点睛：本题考查抛物线与圆的几何性质有关的最值，涉及与圆有关的最值具体结论如下：（1）设为圆的圆心，半径为，圆外一点到圆上的距离的最小值为，最大值为；（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；（3）记圆的半径为，圆心到
17、直线的距离为，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为，最小值为；16【解析】试题分析：因为函数与是互为反函数，它们的图象关于直线对称，因为取最小值时点到直线的距离也是最小，令，则，因此有，所以最小值为考点：两点间的距离公式，转化与化归思想【名师点睛】本题表面上考查两点间距离的最小值，实质考查转化与化归的数学思想，由于两点都在超越函数的图象上，直接求距离不易求得最值，解决这个问题我们用到两个转化，第一个转化是利用这两个函数图象关于直线对称这个性质可把的最小值转化为一个函数图象上的点到直线的距离的最小值的2倍，第二个转化是求函数图象上点到直线的距离的最小值时，把直线平移到与函数图象相切时，切点
18、到直线的距离就是最小值，这样只要求得函数图象在哪个点处的切线与直线平行经过这样的转化后，问题就非常容易求得17（1）；（2）.【分析】（1）根据等比数列的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可；（2）根据等比数列的定义，结合等比数列、等差数列前项和公式进行求解即可；【详解】（1）设等差数列的公差为，所以有，成等比数列，即，又，即，；（2）由题意知，是以4为首项4为公比的等比数列.记数列得前项和为，则，数列的前项和，.18（1）填表见解析；没有；（2）【分析】（1）由2000.6=120以及表中数据即可完善列联表，计算观测值，再利用独立性检验的基本思想即可求解；（2）记3名男生为，2名女生为，
19、列举所有可能情况即可求得结果【详解】解：（1）在这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢数学竞赛的概率为0.6，喜欢数学竞赛的人数为（人），不欢数学竞赛的人数为80人，喜欢数学竞赛不喜欢数学竞赛合计男生7050120女生503080合计12080200，没有90%的把握认为喜欢数学竞赛与性别有关；（2）记3名男生为，2名女生为，则5人中抽取3人的所有可能情况为：，（A，C，b），共10种结果，其中3人中至少有一名女生的9种，所以所求概率19（I）证明见解析；（II）【分析】（I）根据直三棱柱及正三角形的性质，证得平面，从而证得；（II）四棱锥是以直角梯形作底，高的长度与EC相等，分别求得各棱长，
20、代入椎体体积公式即可求得.【详解】（I）在直三棱柱中，平面平面，且交线为AB，又在中，平面，故平面，又平面，故（II）由（I）知，四棱锥是以直角梯形作底，高的长度与EC相等，其中，则四棱锥的体积为.【点睛】方法点睛：证明线线垂直，可以通过证明线面垂直，然后利用线垂直于面上的任一条线，从而证得.20（1）见解析；（2）证明见解析【分析】（1）可求得，分与两类讨论，可得在上单调情况；（2）记函数，通过求导后可得在上单调递增，依题意，可得即，再由，知，于是可证得结论成立【详解】解：（1）的定义域为，当时，恒成立，所以，在上单调递增；当时，令，得到所以当时，单调递增，当时，单调递减综上所述：当时，在上
21、单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）记函数，则易知在上单调递增，又由，知，在上有唯一的实数根，且，则，即（*）当时，单调递减；当时，单调递增，所以，结合（*）式，知，所以则，即，所以有恒成立【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.21（1）；（2）.【分析】（1）由椭圆方程求得坐标，设外接圆的圆心为，求得圆心坐标和半径得方程；（2）设，的纵坐
22、标分别为，写出直线方程与椭圆方程联立求得，再由直线相交求得，然后利用面积比求得，得直线方程【详解】解：（1）易知，.根据对称性可知外接圆的圆心在轴上，设为，连接，则有，即，解得，设外接圆的半径为，则，外接圆的标准方程是.（2）设，的纵坐标分别为，则直线的方程为，与联立，消去，整理得，.易知直线的方程为，联立可得.由题易知，从而，解得或(舍去).此时直线的方程为，即.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在求解本题第（1）问时，发现三角形的特征是求解的关键；求解第（2）问时，能够根据题意确定出点在点的右侧是一个关键点，另外，能够将两个三角形的面积的比值转化为线段的长度的比值也是关键.22（1）的极坐标
23、方程为：，的直角坐标方程为：；（2）.【分析】（1）由曲线的参数方程消去参数可得的普通方程，即可得出极坐标方程，再将的极坐标方程化简可得出直角坐标方程；（2）将分别代入和的极坐标方程可求得极坐标，即可求出面积.【详解】解：（1）由题意得：，消去，即化简为：，的极坐标方程为：，由得：即：的直角坐标方程为：（2）由得：，由得：，.【点睛】关键点睛：本题考查极坐标方程的化简与应用，解题的关键是正确理解极坐标的几何意义.23（1）；（2）(0，1).【分析】(1)去掉绝对值号得，分成和两种情况解不等式.(2)由(1)可得，从而可得，进而可求出实数a的取值范围.【详解】解：（1），当时，；当时，由，得.
24、综上所述，不等式的解集M为.（2）由（1）得，当时，那么，从而可得，解得，即实数a的取值范围是(0，1).24（1）；（2）.【分析】（1）将代入，零点分段法去绝对值，分段求解最后求并集即可；（2）当时，恒成立，分情况讨论当时和时，的正负，去绝对值，代入判断是否恒成立，从而求出的范围.【详解】（1）当时，等价于或或解得或或，所以不等式的解集为； （2）当时，且，当时，因为，而，所以恒成立，所以满足题意；当时，当，此时不恒成立，故不满足题意；综上，实数的取值范围是.【点睛】思路点睛：（1）解绝对值不等式常用的方法是零点分段法，去绝对值分段求解；（2）绝对值内含参数的绝对值不等式，常用分类讨论的方法去绝对值，再分情况讨论求解.
