1、第1讲数学文化研考点考向破重点难点考点1 函数中的数学文化题典型例题 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美定义：图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，给出下列命题：对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个；函数f(x)ln(x2)可以是某个圆的“太极函数”；正弦函数ysin x可以同时是无数个圆的“太极函数”；函数yf(x)是“太极函数”的充要条件为函数yf(x)的图象是中心对称图形其中正确的命题为()ABC D【解析】过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等
2、分成两部分，故对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个，故正确；函数f(x)ln(x2)的图象如图1所示，故其不可能为圆的“太极函数”，故错误；将圆的圆心放在正弦函数ysin x图象的对称中心上，则正弦函数ysin x是该圆的“太极函数”，从而正弦函数ysin x可以同时是无数个圆的“太极函数”，故正确；函数yf(x)的图象是中心对称图形，则yf(x)是“太极函数”，但函数yf(x)是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2所示，故错误故选A【答案】A名师点评中华太极图，悠悠千古昭著于世，像朝日那样辉煌宏丽，又像明月那样清亮壮美它是我们华夏先祖的智慧结晶，它是中国传统文化的骄傲象征，它
3、更是中华民族献给人类文明的无价之宝试题通过太极图展示了数学文化的民族性与世界性对点训练(2019福建泉州两校联考)我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤”其意思为：“今有人持金出五关，第1关所收税金为持金的，第2关所收税金为剩余持金的，第3关所收税金为剩余持金的，第4关所收税金为剩余持金的，第5关所收税金为剩余持金的，5关所收税金之和恰好重1斤”则在此问题中，第5关所收税金为()A斤 B斤C斤 D斤解析：选C设此人持金x斤，根据题意知第1关所收税金为斤；第2关所收税金为斤；第3关所收税
4、金为斤；第4关所收税金为斤；第5关所收税金为斤易知1，解得x.则第5关所收税金为斤故选C考点2 数列中的数学文化题典型例题 (1)(2019湖南长沙雅礼中学模拟)我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金箠截成长度相等的10段，记第i段的重量为ai(i1，2，10)，且a1a2b成立，a571542，n011；ab不成立，ab成立，a421527，
5、n112；ab不成立，ab成立，a271512，n213；ab不成立，ab不成立，a15，b12，a15123，n314；ab不成立，ab不成立，a12，b3，a1239，n415；ab不成立，ab成立，a936，n516；ab不成立，ab成立，a633，n617；ab成立，输出的kb6，n7.考点6 概率中的数学文化题典型例题 (1)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，田忌获胜的概率是()ABC D(2)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象
6、化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被函数y3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径均为1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A BC D【解析】(1)从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，对阵情况如下表：齐王的马上上上中中中下下下田忌的马上中下上中下上中下双方马的对阵中，有3种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率P.故选A(2)函数y3sin x的图象与x轴相交于点(6，0)和点(6，0)，则大圆的半径为6，面积为36，而小圆的半径为1，两个小圆
7、的面积和为2，所以所求的概率是.故选B【答案】(1)A(2)B名师点评(1)本例(1)选取田忌赛马这一为人熟知的故事作为背景，考查了古典概型，趣味性很强，利于缓解考生在考场的紧张心理，体现了对考生的人文关怀(2)本例(2)以中国优秀传统文化太极图为背景，考查几何概型，角度新颖，所给图形有利于考生分析问题和解决问题，给出了如何将抽象的数学问题形象化的范例对点训练1我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶数都可写成两个质数的和”，如321319.在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A BC D解析：选C不超过32的质数有2，
8、3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共11个，随机选取两个不同的数，共有C55种不同的选法，因为7231119131730，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种选法，所以概率为，故选C2(2019广州市综合检测(一)刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的九章算术注中首创“割圆术”所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内投放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内(a，bN*，ba)，则圆周率的近似值为()A BC D解析：选C依题意可得30，则正十二边形的面
9、积为1222sin 3012.又圆的半径为2，所以圆的面积为4，现向圆内随机投放a粒豆子，有b粒豆子落在正十二边形内，根据几何概型可得，则，选C练典型习题提数学素养一、选择题1“干支纪年法”是中国自古以来就一直使用的纪年方法干支是天干和地支的总称天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支如：公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年则2049年为农历()A己亥年B己巳年C己卯年 D戊辰年解析：选B法一：由公元1984年为农历甲子年、公元
10、1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年，可知以公元纪年的尾数在天干中找出对应该尾数的天干，再将公元纪年除以12，用除不尽的余数在地支中查出对应该余数的地支，这样就得到了公元纪年的干支纪年.2049年对应的天干为“己”，因其除以12的余数为9，所以2049年对应的地支为“巳”，故2049年为农历己巳年故选B法二：易知(年份3)除以10所得的余数对应天干，则2 04932 046，2 046除以10所得的余数是6，即对应的天干为“己”(年份3)除以12所得的余数对应地支，则2 04932 046，2 046除以12所得的余数是6，即对应的地支为“巳”，所以2049年为农历己巳年故选B2
11、北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积设隙积共n层，上底由ab个物体组成，以下各层的长、宽依次增加一个物体，最下层(即下底)由cd 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为s(2ac)b(2ca)d(ca)，其中a是上底长，b是上底宽，c是下底长，d是下底宽，n为层数已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示，则该隙积中所有小球的个数为()A83 B84C85 D86解析：选C由三视图知，n5，a3，b1，c7，d5，代入公式s(2ac)b(2ca)d(ca)得s85，故选C3中国古代数学著作算法统宗中有这样一个
12、问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，走了六天后(第六天刚好用完)到达目的地”若将此问题改为“第6天到达目的地”，则此人第二天至少走了()A96里 B48里C72里 D24里解析：选A根据题意知，此人每天行走的路程构成了公比为的等比数列设第一天走a1里，则第二天走a2a1(里)易知378，则a1192.则第二天至少走96里故选A4数术记遗相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算
13、、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法某研究性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料，其中一人4种，其余两人每人5种，则不同的分配方法种数是()A BC DCCC解析：选A先将14种计算方法分为三组，方法有种，再分配给3个人，方法有A种故选A5我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(u)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是()
14、A五寸B二尺五寸C三尺五寸 D四尺五寸解析：选B设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列an，公差为d，a115，a13135，则1512d135，解得d10.所以a2151025，所以小暑的晷长是25寸故选B6九章算术是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是()A BC D解析：选C因为该直角三角形两直角边长分别为5步和12步，所以其斜边长为13步，设其内切圆的半径为r，则512(51213)r，解得r2.由几何概型的概
15、率公式，得此点取自内切圆内的概率P.故选C7周易历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000艮0011坎0102巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是()A33 B34C36 D35解析：选B由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为02012102202302412534
16、.故选B8九章算术中有如下问题：“今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、八豕，以买五牛，钱不足六百，问牛、羊、豕价各几何？”依上文，设牛、羊、豕每头价格分别为x元、y元、z元，设计如图所示的程序框图，则输出的x，y，z的值分别是()A，600， B1 200，500，300C1 100，400，600 D300，500，1 200解析：选B根据程序框图得：y300，z，x，i1，满足i3；y400，z，x，i2，满足i3；y500，z300，x1 200，i3，不满足in不成立，执行循环体，S，k213.若3n不成立，执行循环体，S，k314.若4
17、n不成立，执行循环体，S，k415.若5n不成立，执行循环体，S，k516.若6n不成立，执行循环体，S，k617.由输出的S(，)，可得当S，k6时，应该满足条件6n，所以5n6，故输入的正整数n的值为5.答案：515我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第_天时，蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 30.477 1，
18、lg 20.301 0)解析：由题意得，蒲草的长度组成首项为a13，公比为的等比数列an，设其前n项和为An；莞草的长度组成首项为b11，公比为2的等比数列bn，设其前n项和为Bn.则An，Bn，令，化简得2n7(nN*)，解得2n6，所以n13，即第3天时蒲草和莞草长度相等答案：316刘徽九章算术注记载：“邪解立方，得两堑堵邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值21，这一结论今称刘徽原理如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为_解析：由三视图得阳马是一个四棱锥，如图中四棱锥PABCD，其中底面是边长为1的正方形，侧棱PA底面ABCD且PA1，所以PC，PC是四棱锥PABCD的外接球的直径，所以此阳马的外接球的体积为3.答案：
