1、数学人教B必修2第一章立体几何初步知识建构综合应用专题一几何体的展开图问题几何体的展开图因几何体的不同而不同，它不仅反映了几何体本身的特点，还能反映空间的平行与垂直关系通过几何体的展开图形状的研究可以使我们更加形象地理解空间几何体的结构特征应用1如图(1)(2)(3)三个图形能否折叠成棱柱？请试折叠一下并说明理由提示：首先判断各图如果能折成棱柱则应该折成什么样的棱柱，再看各图与相应棱柱展开图有什么差异这个题主要要求学生把握多面体的基本情况，运用纸张折叠，结合想象，掌握简单几何体的性质与构成应用2如图，圆柱体的底面圆周长为24 cm，高为5 cm，BC为上底面的直径，一壁虎从距圆柱的底端A点2
2、cm的E处沿着表面爬行到母线CD距C点1 cm的点F处，请你帮助壁虎确定其爬行的最短距离提示：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法在求空间图形表面两点间的最短距离时，常运用“展开”变换，化曲(折)为直，从而把“折线拉成直线，曲面展成平面”，使问题得以巧妙解决由于壁虎是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱侧面展开成平面图形根据两点之间线段最短求最短距离专题二表面积、体积的计算问题几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算这里应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，
3、特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在的轴截面、底面圆的作用本部分内容在高考中一直是重点考查的内容，考查形式可以是选择、填空题，也可以是解答题，难度上属于容易题，应引起重视应用1如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上若EF1，A1Ex，DQy，DPz(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积()A与x，y，z都有关B与x有关，与y，z无关C与y有关，与x，z无关D与z有关，与x，y无关提示：选取四面体的面EFQ作为底，P到面EFQ的距离为高
4、应用2(2011湖北黄冈高三模拟)如图，正三棱柱的棱长和底面边长均为2，主视图是边长为2的正方形，则左视图的面积为()A4 B2 C2 D提示：根据“长对正，高平齐，宽相等”法则找出左视图的各边长再进行计算专题三空间几何体中的平行和垂直判断或证明空间线面的位置关系，主要是通过平行、垂直关系的判定定理与性质定理进行转换，通过相互转化，推证相关结论应用1如图，ABCD为正方形，正方形ADEF所在平面与平面ABCD互相垂直，G，H是DF，FC的中点(1)求证：GH平面CDE；(2)求证：BC平面CDE.提示：(1)证出GHCD即可；(2)在平面CDE中找出与BC垂直的两条相交直线CD，ED应用2如图
5、，在立体图形ABCD中，各个面均是正三角形，G，F，M分别是BC，AB，AC的中点，过FG的平面与平面ACD相交于EH，求证：平面BMD平面FGHE.提示：可以根据线面垂直证明面面垂直，进一步可以转化为线线垂直，反过来，面面垂直也可以转化为线面垂直，线线垂直，体现了整体与局部之间的关系专题四球与其他几何体的切接问题球与规则几何体如正方体、长方体的切接问题一直是高考考查的重点和热点问题本部分内容可以与三视图结合，也可以和表面积、体积结合起来命题，一般以选择或填空题形式出现，难度上属于容易题应用1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面
6、周长为3，那么这个球的体积为_提示：根据球外接于六棱柱，先求出球的半径应用2长方体ABCDA1B1C1D1的顶点均在同一个球面上，ABAA11，BC，则A，B两点间的球面距离为_提示：长方体的体对角线长为球的直径应用3四个半径为R的球两两外切，其中三个放在水平桌面上，第四个球放在这三个球之上，在这四个球的中央放一个小球，则这个小球的半径为_提示：与球有关的组合体主要是球与其他几何体的切接问题这类问题要仔细观察、分析，弄清相关元素之间的位置关系和数量关系，选择最佳角度作出截面，把空间问题平面化，进而在平面内加以求解注意各部分组合之间的关系是解答此类问题的成功所在应用4如图，在三棱锥SABC中，S
7、AABAC1，BAC90，SA面ABC，求三棱锥SABC的内切球的半径提示：求简单多面体的内切球的半径常用的方法是作轴截面，把空间问题转化为多边形内切圆问题，如果简单多面体是不规则的，要作轴截面就很困难，因此这种方法用起来很烦琐我们可以利用另一种既简便又快速的方法体积法，即把多面体进行分割，且分割成以内切球球心为公共顶点的若干个棱锥，这些棱锥的高都是内切球的半径，然后根据这些棱锥的体积之和等于多面体体积，从而求出半径真题放送1(2011江西高考)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的左视图为()2(2011广东高考改编)如图13，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视
8、图都是矩形，则该几何体的体积为()A6 B9 C12 D183(2011浙江高考)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()4(2011湖北高考)设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是()AV1比V2大约多一半BV1比V2大约多两倍半CV1比V2大约多一倍DV1比V2大约多一倍半5(2011四川高考)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面6(2011福建高考)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中
9、，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_7(2011福建高考)在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于_8(2011江苏高考)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD答案：综合应用专题一应用1：解：图(1)可折成一个四棱柱图(2)不能折成棱柱，因为折成后的几何体两底面不在两个平面内图(3)不能折成棱柱，因为与正方体的每个面相邻的面最多只有四个，因而展开后的图形中，任一个正方
10、形在它的周围最多应只有四个正方形，而图中有一个正方形，在它的周围有了5个正方形，而这是不可能的应用2：解：将圆柱沿着AB剪开铺平，得如图所示的展开图过点E作CD的垂线EG，连接EF，则壁虎爬行的最短距离为线段EF的长根据题意知AE2 cm，CF1 cm，因AB5 cm，则FG2 cm，又因为EGAD为圆柱底面圆周长的一半，故知EG12 cm，利用勾股定理可求得EF2(cm)即壁虎爬行的最短距离为2cm.专题二应用1：DDCA1B1，EF1，SEFQ12(定值)四面体PEFQ中面EFQ上的高为P到面A1DCB1的距离为DPsin 45z.V四面体PEFQzz.应用2：B由题意可知，此正三棱柱的左
11、视图如图所示其中左视图中高即为正三棱柱的高，左视图中宽即为底面正三角形的高，S左视图22.专题三应用1：证明：(1)G，H分别是DF，FC的中点，在FCD中，GHCD.CD平面CDE，GH平面CDE，GH平面CDE.(2)平面ADEF平面ABCD，交线为AD.EDAD，AD平面ABCD，ED平面ABCD.又BC平面ABCD，EDBC.又BCCD，CDDED，BC平面CDE.应用2：证明：因为ABC是正三角形，M为AC的中点，所以MBAC，同理 MDAC.所以AC平面BDM.又F，G分别为AB，CB的中点，所以FGAC.所以FG平面BDM.又FG平面FGHE.所以平面MDB平面FGHE.专题四应
12、用1：根据球外接于正六棱柱，得球心与六棱柱上下底面中心连线的中点重合由勾股定理，得R222，解得R1.所以球的体积为R3.应用2：由题意，知球半径为1，设球心为O，则AOB为正三角形，AOB，A，B间的球面距离为.应用3：R以四个大球的球心连线构成的四面体为正四面体，如图所示，过O4作O4H平面O1O2O3于H，小球球心O是正四面体的中心，OO4H.分别连接O与四个顶点，它们的长度均为Rr(设r是小球半径)，正四面体的棱长均为2R，所以O1HR，O4HR.设OHh，正四面体被分割成四个体积全等的小正三棱锥，正四面体的每个面的面积设为S，则利用正四面体的体积等于四个小正三棱锥的体积和得VS4Sh
13、，求得hR，O4ORrO4HOHRRR，rR.应用4：解：设内切球的球心为O，球的半径为r，则VSABCVOSABVOSACVOSBCVOABC，又VOSAB，VOSAC，VOSBC，VOABC的高都是r，SA面ABC，VSABCVOSABVOSACVOSBCVOABCr(SSABSSACSSBCSABC)r1，r.三棱锥SABC的内切球的半径为.真题放送1D根据正投影的性质，并结合左视图要求及如图所示，AB的正投影为AB，BC的正投影为BC，BD的正投影为BD，综上可知左视图为选项D.2B由几何体的三视图知直观图如图所示原几何体为底面ABCD为矩形的四棱柱，且AB3，侧面A1ABB1底面AB
14、CD，A1A2.过A1作A1GAB于G，由三视图知AG1，A1D13，A1G.底面ABCD的面积S339，VABCDA1B1C1D1Sh99.3D由主视图中间的线为虚线可排除选项A，B，由俯视图可排除选项C，故选D.4D设球的半径为r，正方体棱长为a，则3a24r2，即ar，V1r3，V2r3，故选D.5B对于A选项，在同一平面内满足条件是正确的，而在空间中不一定正确如正方体ABCDA1B1C1D1中，A1AAD，ADAB.有A1AAB，而不是A1AAB；对于C选项，如正方体ABCDA1B1C1D1中，D1C1A1B1AB，而三直线D1C1，A1B1，AB不共面；对于D选项，如正方体ABCDA
15、1B1C1D1中，AA1，B1A1，D1A1共点于A1，而三直线AA1，B1A1，D1A1不共面；对于B选项，由两直线所成角的定义可知正确6由EF平面AB1C，知EFAC，EFAC2.7由题意，VPABCSABCPA223，故三棱锥PABC的体积等于.8证明：(1)在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EFPD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF平面PCD.(2)连接BD.因为ABAD，BAD60，所以ABD为正三角形因为F是AD的中点，所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.
