1、河北省深州长江中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）一单选题1. 下列命题为真命题的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】A. 由时判断； B. 由，利用不等式的乘法性质判断；C. 利用不等式的乘法性质判断；D. 利用特殊值判断；【详解】A. 当时，故假命题；B. 因为，所以，又 ，所以，故是真命题；C. 因为，所以，故是假命题；D. 如，故是假命题；故选：B【点睛】本题主要考查命题的真假判断以及不等式的基本性质，属于基础题.2. “”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【
2、答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】当a0时,a20一定成立;a20时,a0或a0”是“a20”的充分不必要条件.故选A.【点睛】根据充分条件的定义和必要条件的定义判断，首先要分清条件p与结论q，若，则p是q的充分条件.若q不能推出p,则p是q的不必要条件.3. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】先化简已知，再根据集合的关系判断得解.【详解】因为，所以，设，因为，所以，设,因为是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查一元二次不等式和绝
3、对值不等式的解法，考查充分必要条件的判定，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4. 命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据特称命题的否定，可直接得出结果.【详解】命题“，”的否定是“，”.故选：B.【点睛】本题主要考查特称命题的否定，只需改量词否结论即可，属于基础题型.5. 下列命题错误的是（ ）A. 命题“ ，”的否定是“，”;B. 若是假命题，则，都是假命题C. 双曲线的焦距为D. 设，是互不垂直的两条异面直线，则存在平面，使得，且【答案】B【解析】【分析】对每一个选项逐一判断得解.【详解】对于选项A，由于特称命题的否定是特
4、称命题，所以命题“ ，”的否定是“，”，是正确的.对于选项B, 若是假命题，则，至少有一个是假命题，所以命题是假命题.对于选项C, 双曲线的焦距为2c=2,所以是真命题.对于选项D, 设，是互不垂直的两条异面直线，则存在平面，使得，且,是真命题.故答案为B【点睛】本题主要考查特称命题的否定，考查复合命题的真假，考查双曲线的简单几何性质和直线平面的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.6. 已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求解即可.【详解】由，得.故选：A.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系.属于容易题
5、.7. 在中，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题中条件，先得到，再由正弦定理，即可得出结果.【详解】因为在中，所以，又，由正弦定理可得，即.故选：B.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题.8. 在中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】运用正弦定理化边，再运用余弦定理求角即可得答案.【详解】由已知得，故由正弦定理得，由余弦定理得，因为，所以，.故选：A.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，属于基础题.9. 已知等差数列的前项和为，是方程的两根，则（ ）A. 36B. 40C. 72D. 80【答案】A【解析】【分析】由根与系数
6、的关系可得，再利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质可求得结果【详解】因为，是方程两根，所以，所以，故选：A【点睛】此题考查等差数的性质的应用，考查等差数列的前项和公式的应用，属于基础题10. 已知正项等比数列的前项和为，且，则等比数列的公比为（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由可得，而，从而可求出公比【详解】因为，则，又，所以，故选：B【点睛】此题考查等比数列的基本量计算，属于基础题11. 以椭圆：的短轴的一个端点和两焦点为项点的三角形为正三角形，且椭圆上的点到焦点的最短距离为1，则椭圆的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意，在
7、正三角形中得到基本量间的关系，结合焦点到椭圆上的点的最短距离为，故可求出的值，从而可椭圆的方程【详解】解：因为椭圆短轴的一个端点和两焦点为项点的三角形为正三角形，所以，因为椭圆上的点到焦点的最短距离为1，所以，所以，所以椭圆的方程为，故选：A【点睛】此题考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆的几何性质的应用，属于基础题12. 椭圆的左右焦点分别为，直线过焦点与该椭圆交于点两点，则的周长为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 12【答案】D【解析】【分析】先求出，利用椭圆的定义，即可得出的周长为.【详解】由椭圆的标准方程为：，可得，又直线过焦点与该椭圆交于点两点，则为焦点三角形，利用椭圆的定义， ，所
8、以的周长为.故选：D.【点睛】本题主要考查了椭圆中焦点三角形的周长问题.属于容易题.二填空题13. 设，是椭圆的左右焦点，为椭圆的上顶点，为的中点，若，则该椭圆的离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据题意得为等腰三角形且，即，进而得答案.【详解】解：根据题意得为等腰三角形，且，所以，故.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，是基础题.14. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交此椭圆于，两点若，则_；【答案】4【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，求出的值，由的周长是，由此求出【详解】因为， 所以.故答案为：4【点睛】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用椭圆的定义是解题
9、的关键15. 在各项均为正数的等比数列中，若，则 【答案】2【解析】试题分析：由 ，又数列是等比数列，所以考点：本题考查等比数列的性质，对数式的运算点评：解决本题的关键是熟练掌握等比数列的性质16. 若等差数列的第1，2，3项依次为，则这个等差数列的第101项为_.【答案】【解析】【分析】由题意可得，求出的值，从而可得到等差数列的通项公式，由此可得结果【详解】解：因为等差数列第1，2，3项依次为，所以，解得，所以，所以，所以，故答案为：【点睛】此题考查等差数列的基本量计算，考查计算能力，属于基础题三解答题17. 中，角的对的边分别为，且（1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值.【答案】（1
10、）；（2）.【解析】【分析】（1）由，由正弦定理可得：，可得，化简即可求值；（2）由，根据余弦定理，代入可得：，所以，再根据面积公式即可得解.【详解】（1）由，由正弦定理可得：，可得，在中，可得：，故； （2）由（1）知，且，根据余弦定理，代入可得：，所以，所以，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.【点睛】本题考查了解三角形，考查了正弦定理和余弦定理的应用，在解题过程中主要有角化边和边化角两种化简方法，同时应用了基本不等式求最值，属于基础题.18. 已知是等差数列，其前项和为，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知条件可
11、建立关于和的方程组，即可求出通项公式；（2）可知是首项为2，公比为2的等比数列，由公式即可求出.【详解】（1）设等差数列公差为，则，解得，；（2），是首项为2，公比为2的等比数列，.19. 已知集合，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】求解一元二次不等式化简B，再把“xA”是“xB”的必要条件转化为两集合端点值间的关系列式求解【详解】解：，“”是“”的必要条件，即，则，解得，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，考查数学转化思想方法，是基础题20. 已知p：，q：关于x的方程有实数根（1）若q为真命题，求实数a的取值范围；（2）若pq为
12、真命题，为真命题，求实数a的取值范围【答案】(1) ； (2) 【解析】【分析】(1)利用判别式，即可得出答案；（2）根据已知条件,得到真假，即可得出答案.【详解】（1）x的方程有实数根，得，即，若q为真命题，实数a的取值范围为：（2）“”为真命题，“”为真命题，真假，解得：，【点睛】本题考查了由命题的真假求参数的取值范围，考查了由复合命题的真假判断命题的真假，属于中档题。21. 已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点的坐标为，直线：交椭圆于两点，线段的中点为.（1）求椭圆的方程；（2）动点满足，求动点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设出椭圆的方程以及两点的坐标，利用点差法以
13、及的中点的坐标即可求出椭圆的方程；（2）由椭圆的方程与直线联立求出点的坐标，由，得到动点的轨迹是以为圆心，为直径的圆，由此可得到动点的轨迹方程.【详解】解：（1）由题意设椭圆的方程为，则，两式相减得：，即，又线段的中点为，即，又，即，又，解得：，椭圆的方程为：；（2），点的轨迹是以为圆心，为直径的圆，联立：，消去得：，解得：，不妨设，代入直线得到：， 动点的轨迹方程为：.【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法：定义法：根据椭圆的定义，确定，的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出，；若焦点位置不明确，则需要分焦点在轴上和轴上两种
14、情况讨论，也可设椭圆的方程为22. 已知椭圆的短轴长为，离心率（1）求椭圆的标准方程；（2）若分别是椭圆的左右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的面积的最大值【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】（1）由题意, 列出方程组，求得，即可得到椭圆的标准方程；（2）设，设直线的方程为，根据根与系数的关系，求得，结合三角形面积公式，得到，利用换元法，结合函数的单调性，即可求解.【详解】（1）由题意, 椭圆的短轴长为，离心率可得 ，解得，故椭圆的标准方程为.（2）设，因为直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由，得，所以，又因直线与椭圆交于不同的两点，故，即，则，令，则，则令，由函数的性质可知，函数在上是单调递增函数，即当时，在上单调递增，因此有，所以，即当时，最大，故当直线的方程为时，面积的最大值为3【点睛】求解圆锥曲线的最值问题的解答策略：1、若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；2、当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：配方法；基本不等式；单调性法；三角换元法；导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
