1、高考资源网（） 您身边的高考专家 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）设集合，则（ ）A . B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由已知可得，故考点：集合的运算（2）抛物线上的点到其焦点的最短距离为（ ）A.4 B.2 C.1 D.【答案】C【解析】试题分析：由已知焦点为，故抛物线上的点到焦点的距离为，当然也可作图，利用抛物线的定义考点：抛物线（3）已知向量与向量的夹角为，则（ ）A. B. C.
2、D.【答案】D【解析】试题分析： ，当然也可数形结合考点：向量的模（4）“”是“角是第一象限的角”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B考点：充分条件、必要条件（5）圆（为参数）被直线截得的劣弧长为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】试题分析：圆的标准方程为，圆心到直线的距离为1，故圆心角为，故劣弧长为考点：直线与圆的位置关系、弧长公式（6）若满足则下列不等式恒成立的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】试题分析：作出不等式所表示的平面区域，显然选项A，B错；由线性规划易得的取值范围为，故不成
3、立；在B处取得最小，故考点：线性规划（7）某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】 试题分析：第一个图是选项A的模型；第二个图是选项B的模型；第三个图是选项D的模型.考点：三视图（8）某地区在六年内第年的生产总值（单位：亿元）与之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是（ ）（A）第一年到第三年（B）第二年到第四年（C）第三年到第五年（D）第四年到第六年【答案】A【解析】试题分析：由图可知3-4-5这一段，增长率明显偏低，5-6虽然高，但“分散到”六年平均就不高了.考点：年平均增长率二、填空题共6小题
4、，每小题5分，共30分。（9）已知，其中是虚数单位，那么实数= . 【答案】2【解析】试题分析：由已知，故考点：复数的运算（10）执行如图所示的程序框图，输出的值为_ 【答案】4【解析】试题分析：第一次：；第二次: ；第三次:，结束循环，输出考点：程序框图（11）已知是等差数列，那么=_；的最大值为_【答案】16；16【解析】试题分析：由已知得，故，考点：等差数列的性质及基本不等式（12）在中，若，则的大小为 . 【答案】或【解析】试题分析：由正弦定理得：，故或，当时，；当时，考点：解三角形（13）社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，小红必须与2位老人都相邻，且
5、两位老人不排在两端，则不同的排法种数是 . （用数字作答）【答案】24考点：排列与组合（14）设若存在实数，使得函数有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】【解析】试题分析：由已知若存在实数，使得函数有两个零点，则函数不是单调函数，数形结合可知当时，函数是单调递增的，故要使有两个零点，则或考点：函数的性质、函数与方程三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（15）（本小题满分13分）已知函数. （）求的最小正周期及其图象的对称轴方程；（）求的单调递减区间. 【答案】（1），（2） 所以 的单调递减区间为. 13分考点：三角函数的性质（16）（本小题满分13分）某超
6、市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按，（10，20，（20，30，（30，40，（40，50分组，得到频率分布直方图如下： 假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立（）写出频率分布直方图（甲）中的的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，试比较与的大小；（只需写出结论）（）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率； （）设表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求的数学期望 【答案】（），；（）0.42；（）0.9.【解析】试题分
7、析：（）由各小矩形面积和为1可得到，由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，主要集中在2030箱，故 ；（）设事件：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱. 则，. 所以 . （）由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3. ， ，.所以 的数学期望为 试题解析：（）； 2分. 4分所以的分布列为01230.3430.4410.1890.027 11分所以 的数学期望.13分另解：由题意可知.所以 的数学期望. 13分考点：概率与
8、统计（17）（本小题满分14分）如图1，在直角梯形中，四边形是正方形. 将正方形沿折起到四边形的位置，使平面平面，为的中点，如图2.（）求证：；（）求与平面所成角的正弦值； （）判断直线与的位置关系，并说明理由图1图2 【答案】（）见解析；（）；（）见解析.【解析】试题分析：（）要证明线线垂直，一般通过线面垂直来证明，本题中因为 四边形为正方形，所以 .因为 平面平面，平面平面，平面，所以 平面；（）建系来做，需要求出相应的方向向量及法向量，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，易得平面的一个法向量为，故与平面所成角为，；（）直线与直线平行.通过坐标运算可
9、得，所以 . 试题解析：（）证明：因为 四边形为正方形， 所以 . 因为 平面平面，平面平面，平面， 所以 平面. 2分 因为 平面， 所以 . 4分则.所以 与平面所成角的正弦值为. 10分（）解：直线与直线平行. 理由如下： 11分由题意得，.所以 . 所以 . 13分因为 ，不重合，所以 . 14分另解：直线与直线平行. 理由如下：取的中点，的中点，连接，.所以 且.因为 为的中点，四边形是正方形，所以 且.考点：空间立体几何（18）（本小题满分13分）已知函数. （）求函数的单调区间；（）若（其中），求的取值范围，并说明.【答案】（）（）见解析.【解析】试题分析：（），对a进行分类讨论
10、：当时，则函数的单调递减区间是.当时，令，得. 的单调递减区间是，单调递增区间是；（）由（）知：当时，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，必须，即，所以 试题解析：（）. 2分（）当时，则函数的单调递减区间是. 3分（）当时，令，得. 当变化时，,的变化情况如下表极小值所以 的单调递减区间是，单调递增区间是. 5分（）由（）知：当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意. 6分当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使，必须，即.所以 . 7分当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以 当时，.所以 . 9分因为 ，所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内
11、存在一个零点，不妨记为. 11分因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 .综上所述，的取值范围是. 12分因为 ，所以 . 13分考点：导数与函数的综合（19）（本小题满分13分）已知椭圆过点，且离心率.（）求椭圆的方程；（）是否存在菱形，同时满足下列三个条件：点在直线上；点，在椭圆上；直线的斜率等于.如果存在，求出点坐标；如果不存在，说明理由.【答案】（）；（）见解析.【解析】试题分析：（）由题意得：解得：，所以椭圆的方程为；（）假设存在满足题意的菱形.设直线的方程为，线段的中点，点.由得，由 ，解得，点的纵坐标，而点在椭圆上，所以 .这与矛盾.试题解析：（）由题意得： 3分解得：所以 椭圆
12、的方程为. 4分（）不存在满足题意的菱形，理由如下： 5分假设存在满足题意的菱形.设直线的方程为，线段的中点，点. 6分由得. 8分由 ，解得. 9分因为 ， 所以 . 11分因为 四边形为菱形，所以 是的中点.所以 点的纵坐标. 12分因为 点在椭圆上，所以 .这与矛盾. 13分所以 不存在满足题意的菱形. 考点：与圆锥曲线有关的存在性问题（20）（本小题满分14分）有限数列同时满足下列两个条件： 对于任意的（），； 对于任意的（），三个数中至少有一个数是数列中的项.（）若，且，求的值；（）证明：不可能是数列中的项；（）求的最大值.【答案】（）；（）见解析；（）的最大值为【解析】试题分析：（
13、）由，得.由，当，时. ,中至少有一个是数列，中的项，但，故，解得；（）假设是数列中的项，由可知：6，10，15中至少有一个是数列中的项，则有限数列的最后一项，且.由，.对于数，由可知：；对于数，由可知：所以 ，这与矛盾.试题解析：（）由，得.由，当，时. ,中至少有一个是数列，中的项，但，故，解得.经检验，当时，符合题意. 3分（）假设是数列中的项，由可知：6，10，15中至少有一个是数列中的项，则有限数列的最后一项，且.由，. 4分 对于数，由可知：；对于数，由可知：. 6分 所以 ，这与矛盾. 所以 不可能是数列中的项. 7分（）的最大值为，证明如下： 8分（1）令，则符合、. 11分（2）设符合、，则： （）中至多有三项，其绝对值大于1. 假设中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设，是中绝对值最大的四项，其中.则对，有，故，均不是数列中的项，即是数列中的项. 同理：也是数列中的项.但，.所以 .所以 ，这与矛盾.（）中至多有三项，其绝对值大于0且小于1.假设中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（）得出矛盾.（）中至多有两项绝对值等于1.（）中至多有一项等于0.综合（），（），（），（）可知中至多有9项. 14分由（1），（2）可得，的最大值为9.考点：与数列有关的新定义问题- 18 - 版权所有高考资源网
