1、2.2.2 直线的方程第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程课标解读课标要求素养要求根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的方程的两种形式：点斜式和斜截式.1.数学抽象能快速掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程、直线的方程和方程的直线的概念.2.数学运算能够应用直线方程解决有关问题.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一直线的方程与方程的直线一般地,如果直线l上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,而且以方程F(x,y)=0的解为 坐标的点都在直线l上,则称 F(x,y)=0为直线l的方程,而直线l称为方程F(x,y)=0的直线.此时,为了简单起见,“直线”也可说成“直线F(x,y)=0
2、”,并且记作l:F(x,y)=0 .要点二直线的点斜式方程与斜截式方程1.直线的点斜式方程已知P0(x0,y0)是直线l上一点.（1）如果直线l的斜率不存在,则直线l的方程为 x=x0 .（2）如果直线l的斜率存在且为k ,设P(x,y)为直线l上不同于P0的点,则kP0P=k ,即 y-y0x-x0=k ,化简可得y-y0=k(x-x0) .因为该方程由直线上一点和直线的 斜率确定,所以通常称为直线的点斜式方程.2.直线的截距一般地,当直线l既不是x轴也不是y轴时:若l与x轴的交点为(a,0) ,则称l在x轴上的截距为 a ;若l与 y轴的交点为(0,b) ,则称l在y轴上的截距为b .一条
3、直线在y轴上的截距简称为截距.3.直线的斜截式方程如果已知直线的斜率为k ,截距为b ,则意味着这条直线过了 (0,b)这个点,从而可知直线的方程为y-b=k(x-0) ,化简可得y=kx+b ,上述方程由直线的斜率和 截距确定,因此通常称为直线的斜截式方程.自主思考1.“直线的方程与方程的直线”的定义中有两个条件,为什么不可以删掉一个?答案：提示定义中的两个条件是判断一个方程是不是指定直线的方程,一条直线是不是所给定方程的直线的依据,缺一不可.从逻辑知识来看:第一个条件表示F(x,y)=0是直线l的方程的必要条件,第二个条件表示F(x,y)=0是直线l的方程的充分条件.因此,在判断或证明F(
4、x,y)=0为直线l的方程时,必须注意两个条件同时成立.2.直线的点斜式方程应用的前提条件是什么?答案：提示点斜式方程应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能应用此形式写出直线的方程.3.直线l在x轴上的截距或在y轴上的截距是距离吗?答案：提示不是.直线l在x轴上的截距或在y轴上的截距是一个实数.4.直线的斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y=kx+b的形式,二者有什么区别吗?答案：提示当k0时,y=kx+b是一次函数;当k=0时,y=b不是一次函数,故一次函数y=kx+b(k0)可以看成一条直线的斜截式方程.名师点睛正确理解“直线的方程与方程的直线”的概念（1）纯粹性：定义中的两
5、个条件是轨迹性质的体现条件“直线l上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解”,阐明直线上没有坐标不满足方程的点,也就是说直线上所有的点都符合这个条件,无一例外;（2）完备性：条件“以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在直线l上”,阐明符合方程的点都在直线上.互动探究关键能力探究点一直线的点斜式方程精讲精练例已知在平面直角坐标系中,ABC位于第一象限,且A(1,1),B(5,1),A=60,B=45 ,求：（1）AB边所在直线的方程;（2）AC边与BC边所在直线的方程答案：（1）如图所示,因为A(1,1),B(5,1),所以ABx轴,所以AB边所在直线的方程为y=1 .（2）因为A=60,所以k
6、AC=tan60=3,所以AC边所在直线的方程为y-1=3(x-1) .因为B=45,所以kBC=tan135=-1,所以BC所在直线的方程为y-1=-(x-5) .解题感悟（1）求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0,y0) 定斜率k 写出方程y-y0=k(x-x0) .（2）点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0,y0)的所有直线,但x=x0除外.迁移应用1.求满足下列条件的直线的点斜式方程.（1）过点P(-4,3) ,斜率k=-3 ;（2）过点P(3,-4) ,且与x轴平行;（3）过P(-2,3),Q(5,-4)两点;（4）过点(-1,2)且直线的一个方向向量为a=(2,-1
7、) .答案：（1）直线过点P(-4,3) ,斜率k=-3 ,直线的点斜式方程为y-3=-3(x+4) .（2）与x轴平行的直线的斜率k=0,直线的点斜式方程为y-(-4)=0(x-3) ,即y+4=0 .（3）过点P(-2,3),Q(5,-4)的直线的斜率kPQ=-4-35-(-2)=-77=-1 .又直线过点P(-2,3) ,直线的点斜式方程为y-3=-(x+2) .（4）直线的一个方向向量为a=(2,-1) ,k=-12=-12 ,故直线的点斜式方程为y-2=-12(x+1) .探究点二直线的斜截式方程精讲精练例根据下列条件求直线的斜截式方程.（1）斜率为2,在y轴上的截距是5;（2）倾斜
8、角为150 ,在y轴上的截距是-2;（3）倾斜角为60 ,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.答案：（1）由直线方程的斜截式可知,所求直线方程为y=2x+5 .（2）倾斜角为150,斜率k=tan150=-33 .由斜截式可得直线方程为y=-33x-2 .（3）直线的倾斜角为60,斜率k=tan60=3 .直线与y轴的交点到原点的距离为3,直线在y轴上的截距b=3或b=-3 .所求直线方程为y=3x+3或y=3x-3 .变式在本例（2）中,把条件“倾斜角为150 ”改为“直线的一个法向量为v=(-2,1) ”,其余条件不变,求直线的方程.答案：因为直线的一个法向量为v=(-2,1) ,所以直线的
9、一个方向向量为u=(1,2) ,所以所求直线的斜率为2,由斜截式可得直线方程为y=2x-2 .解题感悟求直线的斜截式方程的策略（1）斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.（2）直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程只需两个独立条件即可.迁移应用1.已知直线的倾斜角为45 ,在x轴上的截距为2,则此直线的方程为( )A.y=-x-2 B.y=x-2C.y=x+2 D.y=-x+2答案：B解析：因为直线的倾斜角为45 ,在x轴上的截距为2,所以该直线的斜率k=tan45=1 ,且该直线过点(2,0),所以该直线的方程为y=x-2 .2.过点P(3,-2)且斜率为2的直线在y
10、轴上的截距是( )A.4B.-4C.8D.-8答案：D解析：由题意可知,所求直线的方程为y+2=2(x-3) ,即y=2x-8 ,故所求直线在y轴上的截距为-8.探究点三直线过定点问题精讲精练例证明：对任意的实数k ,直线l：y=(k+2)x+2k-3总过第三象限.答案：证明证法一：y=(k+2)x+2k-3可化为y+7=(k+2)(x+2) ,所以直线l过定点(-2,-7),由于点(-2,-7)在第三象限,故直线l:y=(k+2)x+2k-3总过第三象限.证法二：直线l的方程y=(k+2)x+2k-3可化为k(x+2)+2x-y-3=0 ,令x+2=0,2x-y-3=0,解得x=-2,y=-
11、7 ,即直线l过定点(-2,-7),由于点(-2,-7)在第三象限,所以对任意的实数k ,直线l:y=(k+2)x+2k-3总过第三象限.解题感悟求定点的方法有两种：将直线方程化成点斜式,由点斜式方程观察得到定点;将x,y看成参数的系数,变形整理后,对参数取任意的值,式子都成立,从而转化为方程组,求x,y的值,由x,y确定的点就是“定点”.迁移应用1.对任意的kR ,直线y+2=k(x-1)都经过的象限为( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：D解析：易知y+2=k(x-1)是直线的点斜式方程,该直线经过定点(1,-2),由于点(1,-2)在第四象限,故直线过第四象限,故选
12、D.2.直线y=ax-3a+2(aR)必过定点 .答案：(3,2)解析：将直线方程变形为y-2=a(x-3) ,由直线方程的点斜式可知,直线过定点(3,2).评价检测素养提升课堂检测1.已知直线方程为y+2=-x-1 ,则( )A.直线经过(-1,2),斜率为-1B.直线经过(2,-1) ,斜率为-1C.直线经过(-1,-2),斜率为-1D.直线经过(-2,-1),斜率为1答案：C2.直线l的斜率是3,且过点A(1,-2) ,则直线l的方程为( )A.y+2=3(x-1) B.y-2=3(x-1)C.y+2=3(x+1) D.y-2=3(x+1)答案：A3.在y轴上的截距为2,且斜率为-3的直
13、线l的方程为答案：y=-3x+2素养演练直观想象斜截式方程的几何意义1.直线l1：y=ax+b与直线l2：y=bx+a(ab0,ab)在同一平面直角坐标系内的图像只可能是( )A. B.C. D.答案：D解析：对于A ,由直线l1可知a0,b0 ,由直线l2知a0,b0,矛盾,故A错.对于B ,由直线l1可知a0,b0,由直线l2可知a0,b0,矛盾,故B错.对于C ,由直线l1可知a0,b0 ,由直线l2可知a0,b0 ,矛盾,故C错.对于D ,由直线l1可知a0,b0,由直线l2可知a0,b0,故D对.故选D.素养探究：本题主要考查了直线方程的图像判定,对各选项中直线的斜率a和截距b的正负进行讨论即可,在此过程中体现了直观想象的核心素养.
