1、第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆3.1.1 椭圆及其标准方程课标解读课标要求素养要求1.掌握椭圆的定义、标准方程.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.1.数学抽象能够从具体情境中抽象出椭圆.2.数学运算能够通过运算求椭圆的标准方程.自主学习必备知识教材研习教材原句1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1 ，F2 的距离的和等于 常数（大于|F1F2|） 的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距 ，焦距的一半称为半焦距.2.椭圆的标准方程：（1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程是 x2a
2、2+y2b2=1(ab0) ，其中c2=a2-b2a2 ；（2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程是 y2a2+x2b2=1(ab0) ，其中c2=a2-b2 .自主思考1.（1）已知F1(-4,0) ，F2(4,0) ，则平面内到F1 ，F2 两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆吗？（2）已知F1(-4,0) ，F2(4,0) ，则平面内到F1 ，F2 两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆吗？提示（1）不是，因为2a=|F1F2|=8 ，所以动点的轨迹是线段F1F2 .（2）不是，当距离之和小于|F1F2| 时，动点的轨迹不存在.2. 方程y2a2+x2b2=1(a0,b0) 表示的椭圆的焦
3、点是在y 轴上吗？提示 不一定，因为没有注明ab ，所以焦点不一定在y 轴上.名师点睛1.椭圆的焦点总在长轴上，当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0) ，(-c,0) ，当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,c) ，(0,-c) .2.在两种标准方程中，a2b2 ，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.3.P 是椭圆上的任意一点（不在坐标轴上），F1 ，F2 为椭圆的两焦点，则PF1F2 的周长为2(a+c) .4.焦点三角形：椭圆上的点P(x0,y0) （异于长轴的端点）与两焦点构成的PF1F2 叫做焦点三角形.若r1=|PF1| ，r2=|PF2| ，F1PF2=
4、，PF1F2 的面积为S ，则在椭圆x2a2+y2b2=1(ab0) 中：（1）当r1=r2 ，即点P 的位置为椭圆与y 轴交点时， 最大；（2）S=b2tan2=c|y0| ，当|y0|=b ，即点P 的位置为椭圆与y 轴交点时，S 取最大值，最大值为bc .互动探究关键能力探究点一 椭圆的标准方程精讲精练类型1 求椭圆的标准方程 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）焦点在y 轴上，且经过两个点(0,4)和(2,0)；（2）两个焦点的坐标分别是(0,-2)，(0,2)，并且椭圆经过点(-32,52) ；（3）经过点P(-3,2) ，Q(6,-2) .答案：（1）因为椭圆的焦点在y 轴
5、上，且椭圆经过(0,4)和(2,0)，所以a=4 ，b=2 ，所以椭圆的标准方程为y216+x24=1 .（2）由题意知椭圆的焦点在y轴上，所以设椭圆的标准方程为y2a2+x2b2=1(ab0) .由椭圆的定义知，2a=(-32)2+(52+2)2+(-32)2+(52-2)2=210 ，即a=10 .又c=2 ，所以b2=a2-c2=6 ，所以椭圆的标准方程为y210+x26=1 .（3）设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m0,n0, 且mn) ，因为点P(-3,2) ，Q(6,-2) 在椭圆上，所以代入椭圆的方程得3m+4n=1,6m+2n=1,解得m=19 ，n=16 ，所以椭圆的标准方
6、程为x29+y26=1 .解题感悟用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：（1）定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能.（2）设方程：根据上述判断设标准方程或整式形式mx2+ny2=1(m0,n0, 且mn) .（3）找关系：根据已知条件建立关于a ，b ，c （或m ，n ）的方程组.（4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，写成标准形式即为所求.类型2 根据椭圆的标准方程求参数的取值范围 例2 （2021安徽淮南一中高二期中）方程x24+m+y22-m=1 表示椭圆的充要条件是( )A.m(-4,-1) B.m(-4,-1)(-1,2)C.m(-4
7、,2) D.m(-1,+)思路分析 根据4+m ，2-m 均为正数且不相等，列不等式组求解即可.答案：B解析：方程x24+m+y22-m=1 表示椭圆，则4+m0,2-m0,4+m2-m, 即m(-4,-1)(-1,2) ，所以方程x24+m+y22-m=1 表示椭圆的充要条件是m(-4,-1)(-1,2) .变式 若本例改为“若方程x24+m+y22-m=1 表示焦点在y 轴上的椭圆”，如何求m 的取值范围？答案： 由已知得4+m0,2-m0,4+m2-m, 解得-4m-1 ，即m 的取值范围为(-4，-1) .解题感悟方程x2m+y2n=1 表示椭圆的条件是m0,n0,mm; 表示焦点在x
8、 轴上的椭圆的条件是m0,n0,mm; 表示焦点在y轴上的椭圆的条件是m0,n0,mm.迁移应用1.（2021浙江诸暨中学高二期中）k3 是方程x2k-3+y24-k=1 表示椭圆的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：若方程x2k-3+y24-k=1 表示椭圆，则k-30,4-k0,k-34-k,解得3k72 或72k4 ，因为(3,72)(72,4) 是(3,+) 的真子集，所以k3 是方程x2k-3+y24-k=1 表示椭圆的必要不充分条件.2.（2021江苏苏州高新第一中学高二期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）椭圆的焦点为
9、(-1，0) ，(1，0) ，且经过点(1,32) ；（2）经过A(2,-22) ，B(-2,-32) 两点.答案：（1） 椭圆过点(1,32) ，且焦点为(-1，0) ，(1，0) ，2a=(1+1)2+(32)2+(1-1)2+(32)2=4 ，a=2, 则b=a2-c2=3 ， 椭圆的标准方程为x24+y23=1 .（2）设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn) .把A(2,-22) ，B(-2,-32) 两点代入，得4m+12n=1,2m+34n=1, 解得m=18,n=1 ， 椭圆的标准方程为x28+y2=1 .探究点二 椭圆定义的应用精讲精练 例1 （1）椭圆x29+y
10、22=1 的焦点为F1 ，F2 ，点P 在椭圆上，若|PF1|=5 ，则cosF1PF2= .（2）已知点P 是椭圆x24+y23=1 上一点，F1 ，F2 是椭圆的焦点，且PF1F2=120 ，则|PF1|= .解析：思路分析 （1）根据椭圆的定义求出|PF2| ，然后利用余弦定理求cosF1PF2 .（2）根据椭圆的定义和余弦定理，建立方程组求|PF1| .答案：（1）-15 （2）65解析：（1）由x29+y22=1 知a=3 ，b=2 ，则c=7 .|PF1|=5 ，|PF2|=2a-|PF1|=1 ，cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=-
11、15 .（2）由x24+y23=1 可知a=2,b=3 ，c=a2-b2=1 ，从而|F1F2|=2c=2 .在PF1F2 中，由余弦定理得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|F1F2|cosPF1F2 ，即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1| ，由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=4 ，联立可得|PF1|=65 .变式 本例（2）的条件不变，过点F1 作直线交椭圆于A ，B 两点，则F2AB 的周长是 .答案：8解析：由例（2）知a=2 ，所以F2AB 的周长是|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8 .解题
12、感悟 （1）椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|) ，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a .（2）在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|+|MF2|=2a 及三角形中的有关定理和公式（如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等）来求解.迁移应用已知F1、F2 是椭圆x2100+y264=1 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF1PF2 ，则F1PF2 的面积为 .答案：64解析： 由x2100+y264=1 得a2=100 ，b2=64 ，所以a=10 ，c=a2-b2=100-64=6 ，所以|F1F
13、2|=2c=12 .设|PF1|=r1 ，|PF2|=r2所以r1+r2=2a=20 ，所以r12+r22+2r1r2=400 ，因为PF1PF2 ，所以r12+r22=4c2=144 ，由得144+2r1r2=400 ，解得r1r2=128 ，所以F1PF2 的面积S=12r1r2=12128=64 .探究点三 利用代入法求轨迹方程精讲精练例（2021江西南昌江西师大附中高二期中）已知P 是圆O:x2+y2=4 上一动点，点P 在x 轴上的射影是点D ，点M 满足DM=12DP .（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）若点N(2,t) 在曲线C 上，F1 ，F2 分别是C 的左、右焦点，求
14、F1NF2 的面积.答案：（1）设M(x,y) ，P(x1,y1) ，则D(x1,0) ，由DM=12DP 得(x-x1,y)=12(0,y1) ，即x1=x ，y1=2y ，因为点P 在圆x2+y2=4 上，所以x2+4y2=4 ，故动点M 的轨迹C 的方程为x24+y2=1 .（2）由（1）得曲线C 的方程为x24+y2=1 ，所以|F1F2|=2c=2a2-b2=24-1=23 ，由点N(2,t) 在曲线C 上得24+t2=1|t|=22 ，所以SF1NF2=12|F1F2|t|=122322=62 ，所以F1NF2 的面积为62 .解题感悟 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一
15、般利用代入法（相关点法）求轨迹方程.迁移应用（2021浙江宁波效实中学高二期中）已知椭圆的左焦点为F(-3,0) ，椭圆与x 轴正半轴的交点为D(2,0) ，点A 的坐标是(1,12) .（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程.答案：（1）设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0) ，由题意可得c=a2-b2=3,a=2,b0, 解得a=2,b=1,因此椭圆的标准方程为x24+y2=1 .（2）设点P(x0,y0) ，M(x,y) ，则x024+y02=1 ，解析：由中点坐标公式可得x=x0+12,y=y0+122,解得x0=2x-1,y
16、0=2y-12, 代入x024+y02=1 得(2x-1)24+(2y-12)2=1 ，即(x-12)2+4(y-14)2=1 ，因此线段PA 的中点M 的轨迹方程为(x-12)2+4(y-14)2=1 .评价检测素养提升1.若椭圆x225+y24=1 上一点P 到焦点F1 的距离为3，则点P 到另一焦点F2 的距离为( )A.6B.7C.8D.9答案：B解析：根据椭圆的定义知，|PF1|+|PF2|=2a=25=10 ，因为|PF1|=3 ，所以|PF2|=7 .2.若方程x2a2+y2a+6=1 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A.a3 B.a-2C.a3 或a-2
17、D.a3 或-6a-2答案：D解析：由a2a+60 得a2-a-60,a+60,所以a-2或a3,a-6, 所以a3 或-6a-2 .3.已知两定点F1(-1,0) ，F2(1,0) ，且|PF1|+|PF2|=2|F1F2| ，则动点P 的轨迹方程是 .答案：x24+y23=1解析：由题意得|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4|F1F2|=2 ，所以动点P 的轨迹是以F1、F2 为左、右焦点的椭圆，且a=2 ，c=1 ，所以b2=a2-c2=3 ，故动点P 的轨迹方程为x24+y23=1 .4.求满足下列条件的椭圆的标准方程.（1）椭圆的焦点坐标为(0，-2) ，(0，2) ，且经过点M(3,2) ；（2）a:c=13:5 ，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.答案：（1）由椭圆的定义知，2a=32+(2+2)2+32+(2-2)2=8 ，所以a=4 ，所以b2=a2-c2=16-4=12 .又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y216+x212=1 .（2）由题意知，2a=26 ，即a=13 ，又ac=135 ，所以c=5 ，所以b2=a2-c2=132-52=144 ，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x2169+y2144=1 或y2169+x2144=1 .
