1、第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其线性运算课标解读课标要求素养要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的线性运算及其运算律推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算及其运算律.1.直观想象能够直观想象出空间图形.2.数学运算能够对空间向量进行运算.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 空间向量的有关概念1.空间向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的 长度或模 .空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记
2、作AB ，其模记为|a| 或|AB| .2.零向量：长度为0或者起点和终点重合的向量，记为0 .3.单位向量：模为 1 的向量叫做单位向量.4.相反向量：与向量a 长度相等而方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记为-a.5.平行（共线）向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做 共线向量或平行向量 .6.相等向量：方向相同且模相等的向量要点二 空间向量的加法、减法、数乘运算及运算律1.空间向量的加法、减法运算：类似于平面向量，定义空间向量的加法、减法运算：（1）OB=OA+AB= a+b ;（2） CA=OA-OC= a-b .2.空间向量的数乘运算：与平面
3、向量一样，实数 与空间向量a 的乘积a 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作a ，其长度和方向规定如下：（1） |a|=|a| .（2）当0 时，a 与向量a 方向相同；当0 时，a 与向量a 方向相反；当 =0时，a=0 .3.空间向量的线性运算满足以下运算律（其中,R ）:交换律：a+b=b+a ;结合律：(a+b)+c=a+(b+c),(a)=()a ;分配律：(+)a=a+a,(a+b)=a+b .要点三 共线向量定理、方向向量、共面向量定理1.共线向量定理：对任意两个空间向量a,b(b0),a/b 的充要条件是存在实数 ,使 a=b.2.方向向量：在直线l 上取非零向量a ，我们
4、把与向量a 平行的非零向量为直线l 的方向向量，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.3. 共面向量定理：（1）共面向量的定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量.（2）三个空间向量共面的充要件：如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与向量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y) ，使 p=xa+yb .自主思考1. 在如图所示的正方体中：（1）AB 的相反向量有哪些？（2）CC 的相等向量有哪些？提示 （1）CD,B1A1,C1D1 .（2）BB1,AA1,DD1 .2.平行向量所在的直线一定平行吗？提示 不一定，也可能重合.3.空间向量的加法、减法运算可类比平面向
5、量的加法、减法运算，指出a+b+c 等于什么？提示OC .4.实数与向量可以相乘，是否也可以相加、减？提示 实数与向量不能相加、减，如+a,-a 均没有意义.5. 空间中任意两个向量都是共面向量这个结论是否正确？提示 正确，根据向量相等的定义可以把向量进行平移，空间中任意两个向量都可以平移到同一平面内成为共面向量.名师点睛 1.空间向量的加法运算的小技巧（1）首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即A1A2+A2A3+A3A4+An-1An=A1An .（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为零向量,即A1A2+A2A3+A3A4+An-1An+A
6、nA1=0.2.空间中任意两个向量是共面的,但空间中任意三个向量就不一定共面了.3.有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其和不变.互动探究关键能力 探究点一 空间向量的概念自测自评1.在下列命题中：若向量a,b 共线,则向量a,b 所在的直线一定平行;若向量a,b 所在的直线是异面直线,则向量a,b 一定不共面;若向量a,b,c 两两共面,则向量a,b,c 一定也共面.其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案：A解析：根据两个向量共线的定义知,两个向量共线有可能两个向量所在的直线重合,所以是假命题;两个向量可以平移到一个平面内,所以是假命题;若向量a,b,c 两两共面,则这三个向量
7、有可能不共面,如墙角,所以是假命题.故选A.2.给出下列命题：零向量没有确定的方向;在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=-C1C ;若向量a 与向量b 的模相等,则向量a ,b 的方向相同或相反;在四边形ABCD 中,必有AB+AD=AC .其中真命题的序号是 .答案：解析：易知是真命题;因为AA1 与C1C 的大小相等,方向相反,所以AA1=-C1C 所以是真命题;|a|=|b| ,不能确定a 与b 的方向,所以是假命题;只有当四边形ABCD 是平行四边形时,才有AB+AD=AC ,所以是假命题.综上可知,真命题为.解题感悟空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等
8、概念和平面向量中相对应的概念完全相同.由于向量是由向量的模和方向确定的,因此解决空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点.探究点二 空间向量的线性运算精讲精练 类型1 空间向量的线性运算例1在四面体ABCD 中,点F 在AD 上,且AF=2FD,E 为BC 的中点,则EF= ( )A.AC+12AB-23ADB.-12AC-12AB+23ADC.12AC-12AB+23ADD.-12AC+12AB-23AD答案：B解析：在四面体ABCD 中,点F 在AD 上,且AF=2FD,E 为BC 的中点,所以EF=EB+BA+AF=EA+AB-AB+23AD=-12(AC+AB)+23AD=-12AC-1
9、2AB+23AD ,故选B.类型2 利用空间向量的线性运算求参数例2（2021天津武清天和城实验中学月考）如图,在正四面体PABC 中,M,N 分别为PA,BC 的中点,D 是线段MN 上一点,且ND=2DM ,若PD=xPA+yPB+zPC ,则x+y+z 的值为 .答案：23解析：PD=PM+MD=12PA+13MN=12PA+13PN-PM=13PA+16PB+16PC,所以x=13,y=z=16 ,所以x+y+z=23 .解题感悟向量的加法、减法和数乘运算是表示向量的前提,表示向量时要注意选定的向量,明确转化的目标.迁移应用1.（2021山东淄博高二期末）如图所示,在正方体A1B1C1
10、D1-ABCD 中,点F 是侧面CDD1C1 的中心,若AF=xAD+yAB+zAA1, 则x+y+z= ( )A.1B.32C.2D.52答案：C解析：AF=AD+DF=AD+12(DD1+DC)=AD+12AB+12AA1 ,故x=1,y=12,z=12 ,则x+y+z=2 .2.在矩形ABCD 中,P 为平面ABCD 外一点,M,N 分别为PC,PD 上的点,且PM=2MC,PN=ND ,则NM= .答案：23AB+16AD-16AP解析：因为PM=2MC,PN=ND ,所以PM=23PC,PN=12PD,所以NM=PM-PN=23PC-12PD=23(AC-AP)-12(AD-AP)=
11、23(AB+AD-AP)-12AD+12AP=23AB+16AD-16AP .探究点三 空间向量的共面问题精讲精练例 如图所示,已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直,点M,N 分别在对角线BD,AE 上,且BM=13BD,AN=13AE .求证：向量MN,CD,DE 共面.答案：证明 因为点M 在BD 上,且BM=13BD ,所以MB=13DB=13DA+13AB .同理可得AN=13AD+13DE+13DE)=23BA+13CD+13DE .又向量CD 与DE 不共线,所以根据向量共面的充要条件可知向量MN,CD,DE 共面.解题感悟（1）证明或判断向量共面,可以利用共面向量
12、的充要条件,也可以直接利用定义,通过线面平行或直线在平面内进行证明.（2）向量共面,向量所在的直线不一定共面,只有这些向量都过同一点时,向量所在的直线才共面.迁移应用已知A ,B ,C 三点不共线,点O 是平面ABC 外的任意一点,若点P 分别满足下列关系：（1）OA+2OB=6OP-3OC ;（2）OP+OC=4OA-OB .试判断点P 是否与点A ,B ,C 共面.答案： （1）由题意知3OP-3OC=OA+2OB -3OP =(OA-OP)+(2OB-2OP) ,3CP=PA+2PB, 即PA=-2PB-3PC .根据共面向量定理的推论可知,点P 与点A ,B ,C 共面.（2）设OP=
13、OA+xAB+yAC(x,yR) ,则OA+xAB+yAC+OC=4OA-OB ,OA+xOB-OA+yOC-OA+OC=4OA-OB,(1-x-y-4)OA+(1+x)OB+(1+y)OC=0 ,由题意可知OA,OB,OC 均为非零向量,x,y 满足1-x-y-4=0,1+x=0, 1+y=0, 显然此方程组无解,故点P 与点A ,B ,C 不共面.评价检测素养提升课堂检测1.（2021山东肥城高二期中）如图,在平行六面体ABCD-ABCD ,点E 是CC 的中点,则下列结论中错误的是( )A.AB+AD=ACB.AB-AA=BAC.AB+AD+AA=ACD.AB+BC+12CC=AE答案：
14、B2.在下列条件中,使点M 与点A ,B ,C 一定共面的是( )A.OM=2OA-OB-OCB.OM=15OA+13OB+12OCC.MA+MB+MC=0D.OM+OA+OB+OC=0答案：C3.已知P 是正六边形ABCDEF 外一点,O 为该正六边形的中心,则PA+PB+PC+PD+PE+PF= .答案：6PO解析：PA+PB+PC+PD+PE+PF=6PO+(OA+OB+OC+OD+OE+OF)=6PO .4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,点E 是上底面对角线A1C1 的中点,若AE=xAB+yAD+zAA1, 则x+y+z= .答案：2解析：AE=AA1+A1E=AA1
15、+12A1C1=AA1+12AB+AD=12AB+12AD+AA1,x=12,y=12,z=1,x+y+z=2 .素养演练直观想象、数学运算向量在空间几何体中的应用1.如图a ,在平面四边形ABCD 中,AEEB=DFFC= ,则有EF=11+AD+1+BC .图a（1）如图b ,由平面拓展到空间,写出关于空间四边形ABCD 类似的结论,并加以证明;图b（2）如图c ,在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为AB、A1C 的中点,利用（1）中的结论表示EF .图c答案：（1）在空间四边形ABCD 中,AEEB=DFFC= ,则有EF=11+AD+1+BC .证明：EF=EB+BF
16、=11+AB+BC+CF=11+(AD+DB)+BC+11+CD=11+AD+11+DB+BC+11+(CB+BD)=11+AD+11+DB+BC-11+BC-11+DB=11+AD+1+BC .（2）由（1）中的结论可得EF=11+1BC+11+1AA1=12BC+12AA1 .素养探究：（1）由平面类比到空间,结合条件可得EF=11+AD+1+BC ,渗透了直观想象的素养;利用向量的线性运算进行证明,渗透了数学运算的素养.（2）根据（1）中的结论代入数据计算可得结果,渗透了数学运算的素养.迁移应用已知A ,B ,C 三点不共线,点O 是平面ABC 外的任意一点,若点M 满足OM=13OA+13OB+13OC .（1）判断向量MA,MB,MC 是否共面;（2）判断点M 是否在平面ABC 内.答案：（1）OM=13OA+13OB+13OC,3OM=OA+OB+OC ,OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC),MA=BM+CM=-MB-MC, 向量MA,MB,MC 共面.（2）由（1）可知向量MA,MB,MC 共面且过同一点M,M ,A ,B ,C四点共面,故点M 在平面ABC 内.
