1、课后提升作业 十五直线与平面垂直的性质(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.已知直线a，b和平面M，N，且aM，则下列说法正确的是()A.bMbaB.babMC.NMaND.aNMN【解析】选A.对于A，如图1所示：过直线b作平面N与平面M相交于直线l，由直线与平面平行的性质定理可知：bl，又因为aM，lM，所以al，所以ba，A正确.选项B，C均少考虑了直线在面内的情况，分别如图2，3所示，均错误；对于D，用排除法，如图4所示，MN，D错误.2.(2016太原高二检测)已知m，n表示两条不同直线，表示平面.下列说法正确的是()A.若m，n，则mnB.若m，n，则mnC.若m
2、，mn，则nD.若m，mn，则n【解析】选B.对于A，若m，n，则m，n相交、平行或异面，不对；对于B，若m，n，则mn，故B正确；对于C，若m，mn，则n或n，故C错；对于D，若m，mn，则n或n或n，D不正确.3.(2016温州高二检测)设m，n表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列命题不正确的是()A.m，m，则B.mn，m，则nC.m，n，则mnD.m，=n，则mn【解析】选D.A选项正确，两平面垂直于同一直线，两平面平行；B选项正确，两平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条必垂直于这个平面；C选项正确，两直线垂直于同一平面，两直线平行；D选项错误，由线面平行的性质定理知，线平
3、行于面，过线的面与已知面相交，则交线与已知直线平行，由于m和的位置关系不确定，不能确定线线平行.4.(2016吉安高一检测)如图所示，PO平面ABC，BOAC，在图中与AC垂直的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选D.因为PO平面ABC，AC平面ABC，所以POAC，又因为ACBO，POBO=O，所以AC平面PBD，因此，平面PBD中的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直.5.如图，设平面=EF，AB，CD，垂足分别是B，D，如果增加一个条件，就能推出BDEF，这个条件不可能是下面四个选项中的()A.ACB.ACEFC.AC与BD在内的射影在同一条直线上D.AC与，所成的
4、角相等【解析】选D.因为AB，CD，所以ABCD，所以A，B，C，D四点共面.选项A，B中的条件都能推出EF平面ABDC，则EFBD.选项C中，由于AC与BD在内的射影在同一条直线上，所以显然有EFBD.选项D中，若ACEF，则AC与，所成角也相等，但不能推出BDEF.6.(2015朔州高二检测)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1D1【解析】选B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1C1，B1D1的中点，设O是AC，BD的交点，则EO平面ABCD，所以EOBD，又COBD，COEO=O，所以BD面C
5、OE，所以BDCE.7.正方体ABCD-A1B1C1D1中E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中错误的是()A.ACBEB.B1E平面ABCDC.三棱锥E-ABC的体积为定值D.B1EBC1【解析】选D.对于A，因为在正方体中，ACBD，ACDD1，BDDD1=D，所以AC平面BB1D1D，因为BE平面BB1D1D，所以ACBE，所以A正确.对于B，因为B1D1平面ABCD，所以B1E平面ABCD成立，即B正确.对于C，三棱锥E-ABC的底面ABC的面积为定值，锥体的高BB1为定值，所以锥体体积为定值，即C正确.对于D，因为D1C1BC1，所以B1EBC1错误.8.(2016福州高一检测)
6、已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，M分别是AB，AD，AA1的中点，又P，Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1P=A1Q=x，0x1，设平面MEF平面MPQ=l，则下列结论中不成立的是()A.l平面ABCDB.lACC.平面MEF与平面MPQ不垂直D.当x变化时，l不是定直线【解析】选D.因为A1P=A1Q=x，所以PQB1D1，又E，F分别是AB，AD的中点，故EFBD，从而PQEF，而EF平面MPQ，PQ平面MPQ，故EF平面MPQ，且平面MEF平面MPQ=l，从而EFl，而l平面ABCD，EF平面ABCD，所以l平面ABCD，故A正确；由EFBD，ACBD，
7、所以ACEF，又EFl，所以ACl，故B正确；设A1C1B1D1=H，连接MH，易证MH平面MEF，而MH平面MPQ，故平面MPQ与平面MEF不垂直，故C正确，综上，不正确的为D项.【补偿训练】如图，PAO所在的平面，AB是O的直径，C是O上的一点，AEPB于E，AFPC于F，给出下列结论：BC平面PAC；AF平面PCB；EFPB；AE平面PBC.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为PAO所在的平面，BCO所在的平面，所以PABC，而BCAC，ACPA=A，所以BC平面PAC，故正确；又因为AF平面PAC，所以AFBC，而AFPC，PCBC=C，所以AF平面PCB
8、，故正确；而PB平面PCB，所以AFPB，而AEPB，AEAF=A，所以PB平面AEF，而EF平面AEF，所以EFPB，故正确；因为AF平面PCB，假设AE平面PBC，所以AFAE，显然不成立，故不正确.二、填空题(每小题5分，共10分)9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出以下四个结论：D1C平面A1ABB1；A1D1与平面BCD1相交；AD平面D1DB；平面BCD1平面A1ABB1.其中正确结论的序号是_.【解析】对于，因为平面A1ABB1平面DCC1D1，而D1C平面DCC1D1，故D1C与平面A1ABB1没有公共点，所以D1C平面A1ABB1，即正确；对于，因为A1D1B
9、C，所以A1D1平面BCD1，所以错误；对于，只有ADD1D，而AD与平面BDD1内其他直线不垂直，所以错误；对于，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，易得BC平面A1ABB1，而BC平面BCD1，所以平面BCD1平面A1ABB1，所以正确.答案：10.(2016杭州高二检测)如图，在直角梯形ABCD中，BCDC，AEDC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是_(填上所有正确的序号).不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN平面DEC；不论D折至何位置都有MNAE；不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MNAB；在折起过程中，一定存在某个位置，使EC
10、AD.【解析】将三角形ADE沿AE折起后几何体如图所示.取DE，EC的中点分别为H，G，连接MH，HG，GN，则四边形MNGH为平行四边形，所以MNGH，而GH平面DEC，MN平面DEC，所以MN平面DEC，所以正确.因为MNGH，而AEEC，AEDE，ECDE=E，所以AE平面EDC，所以AEGH，故AEMN，正确.因为GH与EC相交，而ABEC，故无论D折到何位置AB都不平行于MN，错.当ECED时，因为CEAE，所以CE平面AED，所以CEAD，所以存在某个位置，使ECAD，所以正确.答案：【补偿训练】AB是O的直径，点C是O上的动点(点C不与A，B重合)，过动点C的直线VC垂直于O所在
11、的平面，D，E分别是VA，VC的中点，则下列结论中正确的是_(填写正确结论的序号).(1)直线DE平面ABC.(2)直线DE平面VBC.(3)DEVB.(4)DEAB.【解析】因为AB是O的直径，点C是O上的动点(点C不与A，B重合)，所以ACBC，因为VC垂直于O所在的平面，所以ACVC，又BCVC=C，.Com所以AC平面VBC.因为D，E分别是VA，VC的中点，所以DEAC，又DE平面ABC，AC平面ABC，所以DE平面ABC，DE平面VBC，DEVB，DE与AB所成的角为BAC是锐角，故DEAB不成立.由以上分析可知(1)(2)(3)正确.答案：(1)(2)(3)三、解答题(每小题10
12、分，共20分)11.(2016重庆高一检测)在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60，PA=AB=BC，点E是PC的中点.证明：(1)CDAE.(2)PD平面ABE.【解题指南】(1)要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面垂直的定义得出线线垂直.(2)要证明线面垂直，则先证明直线垂直于平面内的两条相交直线.【证明】(1)在四棱锥P-ABCD中，因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，故PACD.又因为ACCD，PAAC=A，所以CD平面PAC.而AE平面PAC，所以CDAE.(2)由PA=AB=BC，ABC=60，得ABC是等边三角形，故AC=PA.因为点E
13、是PC的中点，所以AEPC.由(1)知：AECD，且PCCD=C，所以AE平面PCD.而PD平面PCD，所以AEPD.又因为PA底面ABCD，所以PAAB.又ABAD，且PAAD=A，所以AB平面PAD，故ABPD.又因为ABAE=A，所以PD平面ABE.【拓展延伸】遵循从“低维”到“高维”的转化原则在解决线面、面面平行、垂直判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行、垂直”到“线面平行、垂直”，再到“面面平行、垂直”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”.12.(2016雅安高二检测)如图1，在RtABC中，
14、C=90，BC=6，AC=3，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE=4，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图2.(1)求证：A1C平面BCDE.(2)过点E作截面EFH平面A1CD，分别交CB于F，A1B于H，求截面EFH的面积.【解析】(1)因为CDDE，A1DDE，CDA1D=D，所以DE平面A1CD.又因为A1C平面A1CD，所以A1CDE.又A1CCD，DECD=D，所以A1C平面BCDE.(2)过点E作EFCD交BC于F，过点F作FHA1C，交A1B于H，连接EH.则截面EFH平面A1CD.因为四边形EFCD为矩形，所以EF=CD=1，CF=DE=4，从而
15、FB=2，HF=A1C=.因为A1C平面BCDE，FHA1C，所以HF平面BCDE，所以HFFE.所以SHFE=.【能力挑战题】如图，已知二面角-MN-的大小为60，菱形ABCD在平面内，A，B两点在棱MN上，BAD=60，E是AB的中点，DO平面，垂足为O.(1)证明：AB平面ODE.(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.【解析】(1)如图，因为DO，AB，所以DOAB，连接BD，由题设知，ABD是正三角形，又E是AB的中点，所以DEAB，DODE=D，故AB平面ODE.(2)因为BCAD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即ADO是BC与OD所成的角.由(1)知，AB平面ODE，所以ABOE，又DEAB，于是DEO是二面角-MN-的平面角，从而DEO=60.不妨设AB=2，则AD=2，易知DE=.在RtDOE中，DO=DEsin60=，连接AO，在RtAOD中，cosADO=，故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.
