1、3.2 函数的基本性质 3.2.1 单调性与最大（小）值第1课时 函数的单调性课标解读课标要求素养要求借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,理解它的作用和实际意义.1.逻辑推理会用函数单调性的定义判断或证明一些函数的单调性.2.直观想象会利用函数图象求一些具体函数的单调区间.自主学习必备知识 教材研习教材原句要点一 增函数与减函数一般地,设函数f(x) 的定义域为I ,区间DI :如果x1,x2D ,当x1x2 时,都有 f(x1)f(x2) ,那么就称函数f(x) 在区间D 上 单调递增 .特别地,当函数f(x) 在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数.如果x1,x2D ,当x1
2、f(x2) ,那么就称函数f(x) 在区间D 上 单调递减 .特别地,当函数f(x) 在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数.要点二 函数的单调区间如果函数y=f(x) 在区间D 上 单调递增 或 单调递减 ,那么就说函数y=f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性,区间D 叫做y=f(x) 的单调区间.自主思考1.若f(x) 是R 上的增函数，则f(+4) 与f() 的大小关系是什么?答案：提示 f(+4)f() .2.若函数f(x)=x2+4x-3 在区间a,b 上单调递增,则是否存在x1,x2a,b ,且x1x2 ,使得f(x1)f(x2) 成立?答案：提示不存在. 名师点睛1.函
3、数单调性的定义的等价形式设x1,x2a,b ,那么有：（1）f(x1)-f(x2)x1-x20f(x) 是a,b 上的增函数;（2）f(x1)-f(x2)x1-x20f(x) 是a,b 上的减函数.2.并非所有的函数都具有单调性.如f(x)=1,xtext是偶数,0,xtext是奇数, 它的定义域为N ,但不具有单调性.3.图象变换对单调性的影响（1）函数图象上下平移不影响单调区间,即y=f(x) 和y=f(x)+b 的单调区间相同.（2）函数图象左右平移影响单调区间如y=x2 的单调递减区间为(-,0),y=(x+1)2 的单调递减区间为(-,-1) .（3）y=kf(x) ,当k0 时,函
4、数的单调区间与f(x) 的相同,当k0 时,函数的单调区间与f(x) 的相反.4.单调区间单调区间可以是整个定义域如y=x 在整个定义域(-,+) 上单调递增,y=-x 在整个定义域(-,+) 上单调递减.单调区间也可以是定义域的真子集.如y=x2 在定义域(-,+) 上不具有单调性,但在(-,0) 上单调递减,在(0,+) 上单调递增.5.一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用“ ”连接,而应该用“和”或“,”连接.如函数y=1x(x0) 在区间(-,0) 和(0,+) 上都单调递减,不能写成y=1x(x0) 的单调递减区间为(-,0)(0,+) .6.函数的单调性是相对于函数的定
5、义域的子区间D 而言的.对于单独的一点,它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题.因此在写单调区间时,区间端点可以包括,也可以不包括.但对于函数无意义的点,单调区间一定不能包括.互动探究关键能力 探究点一 用定义法证明（判断）函数的单调性精讲精练例 已知函数f(x)=1x2-1 .（1）求f(x)的定义域;（2）判断函数f(x) 在(1,+) 上的单调性,并加以证明.答案：（1）由x2-10 得x1 ,故函数f(x)=1x2-1 的定义域为x|x1 .（2）函数f(x) 在(1,+) 上为减函数.证明：x1,x2(1,+), 且x1x2,则f(x1)-f(x2)=1x12
6、-1-1x22-1=(x22-1)-(x12-1)(x12-1)(x22-1)=(x2-x1)(x2+x1)(x12-1)(x22-1) .由x1,x2(1,+),得x11,x21,所以x12-10,x22-10,x2+x10.又由x1x2,得x2-x10,所以f(x1)-f(x2)0 ,即f(x1)f(x2).故函数f(x) 在(1,+) 上为减函数.解题感悟利用定义证明函数单调性的步骤迁移应用1.求证：函数f(x)=x-1x 在区间(1,+) 上是单调递增函数.答案：证明 x1,x2(1,+), 且x1x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-1x1)-(x2-1x2)=x1-x2-x2-x
7、1x1x2=(x1-x2)(1+1x1x2).x1,x2(1,+),01x1x21,1+1x1x20 .又x1x2,x1-x20 ,f(x1)-f(x2)0, 即f(x1)f(x2) .f(x)=x-1x 在区间(1,+) 上是单调递增函数.探究点二 求函数的单调区间精讲精练例 已知f(x)=x2+4x+3,-3x0,-3x+3,0x1,-x2+6x-5,1x6.（1）画出函数f(x) 的图象;（2）求函数f(x) 的单调区间答案：（1）函数f(x) 的图象如图所示：（2）由f(x) 的图象可得,单调递减区间为-3,-2),0,1),3,6 ,单调递增区间为-2,0),1,3) 解题感悟求函数
8、单调区间的两种方法（1）图象法：先画出图象,再根据图象求单调区间.（2）定义法：先求出定义域,再利用定义法进行判断.迁移应用1.函数f(x)=|2x-1| 的单调递减区间是 .答案：(-,12解析：函数f(x) 的图象如图所示:由图象易知函数的单调递减区间为(-,12 .2.求函数f(x)=1x-1 的单调递减区间.答案：由题意得x-10 ,得x1 ,所以函数f(x)=1x-1 的定义域为(-,1)(1,+).x1,x2(-,1), 且x1x2 ,则f(x1)-f(x2)=1x1-1-1x2-1=x2-x1(x1-1)(x2-1) .因为x1x21 ,所以x2-x10,x1-10,x2-10,
9、所以f(x1)-f(x2)0 ,即f(x1)f(x2) .所以函数f(x) 在(-,1) 上单调递减.同理,函数f(x) 在(1,+) 上单调递减.综上,函数f(x) 的单调递减区间是(-,1),(1,+) .探究点三 函数单调性的应用精讲精练例（1）已知函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3 .若函数f(x) 在区间(-,3 上是增函数,则实数a 的取值范围是 ;若函数f(x) 的单调递增区间是(-,3 ,则实数a 的值为 .（2）若函数f(x)=x2+ax+b 在区间1,2 上不单调,则实数a 的取值范围为 .答案：（1）(-,-4 -4 （2）(-4,-2)解析：（1）f(x)=-x2
10、-2(a+1)x+3 ,函数图象开口向下,且对称轴为x=-a-1 ,因此函数的单调递增区间为(-,-a-1 由f(x) 在(-,3 上是增函数知3-a-1 ,解得a-4 ,即实数a 的取值范围为(-,-4 .由题意得-a-1=3,a=-4 .（2）函数f(x) 图象的对称轴方程为x=-a2 ,要使函数f(x) 在区间1,2 上不单调,则1-a22 ,解得-4a-2 .解题感悟由函数单调性求参数的取值范围的方法（1）由函数解析式求参数:若为二次函数判断图象的开口方向与对称轴利用单调性确定参数满足的条件;若为一次函数由一次项系数的正负判断单调性;若为复合函数y=|f(x)| 或y=f(|x|) 数
11、形结合,探求参数满足的条件.（2）当函数f(x) 的解析式未知时,欲求解不等式,可以依据函数单调性的定义和性质,将“f ”脱掉,列出关于自变量的不等式（组）,然后求解,此时需注意函数的定义域.迁移应用 1.已知f(x)=xx-a(xa) .（1）若a=-2 ,试证明f(x) 在(-,-2) 内单调递增;（2）若a0 ,且f(x) 在(1,+) 内单调递减,求a 的取值范围.答案：（1）证明：当a=-2 时,f(x)=xx+2 .x1,x2(-,-2), 且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1x1+2-x2x2+2=2(x1-x2)(x1+2)(x2+2).因为x1,x2(-,-2), 且x
12、1x2,所以(x1+2)(x2+2)0,x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0, 即f(x1)f(x2),所以f(x) 在(-,-2) 内单调递增.（2）x1,x2(1,+), 且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1x1-a-x2x2-a=a(x2-x1)(x1-a)(x2-a) .因为a0,x2-x10, 又由题意知f(x1)-f(x2)0,所以(x1-a)(x2-a)0 恒成立,所以a1 ,所以0a1 ,即a 的取值范围为(0,1 .评价检测素养提升 1.（多选）下列说法正确的是( )A.所有函数在定义域上都具有单调性B.函数单调递增（减）定义中的“x1,x2D ”可以改为“x1,
13、x2D ”C.若区间D 是函数f(x) 的一个单调递增区间,且x1,x2D ,若x1x2 ,则f(x1)f(x2) ;反之也成立D.设D 是函数f(x) 定义域内的某个区间,若x1,x2D ,当x1x2 时,有f(x1)f(x2) ,则f(x) 在区间D 上不单调递增答案：C ; D2.下列函数中,在区间(0,1)上单调递增的是( )A.y=|x| B.y=3-x C.y=1x D.y=-x2+4答案：A3.已知f(x) 是定义在-1,1 上的增函数,且f(x-2)f(1-x) ,则实数x 的取值范围是 .答案：1,32)解析：由题意,得-1x-21,-11-x1,解得1x2 .因为f(x)
14、是定义在-1,1 上的增函数,且f(x-2)f(1-x) ,所以x-21-x ,解得x32 ,由得1x32 .所以x 的取值范围为1,32) .4.求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数（1）f(x)=-1x ;（2）f(x)=2x+1,x1,5-x,x1;（3）f(x)=-x2+2|x|+3 .答案：（1）函数f(x)=-1x 的单调区间为(-,0),(0,+) ,其在(-,0),(0,+) 上都是增函数.（2）当x1 时,f(x) 是增函数;当x1 时,f(x) 是减函数,所以f(x) 的单调区间为(-,1),1,+) ,并且函数f(x) 在(-,1) 上是减函数,在1,+) 上是增函数.（3）由题意得,f(x)=-x2+2x+3,x0,-x2-2x+3,x0.函数f(x) 的图象如图所示,由图象可知,函数f(x) 的单调区间为(-,-1,(-1,0),0,1),1,+) .f(x) 在(-,-1,0,1) 上是增函数,在(-1,0),1,+) 上是减函数.
