1、1.2 集合间的基本关系课标解读课标要求素养要求1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集.3.会用子集与真子集的定义求解相关问题.1.数学抽象能够用集合之间包含与相等的含义以及子集,真子集的概念判断两个集合间的关系.2.数学运算会用子集和真子集的定义求参数的取值范围.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 子集一般地,对于两个集合A ，B ，如果集合A 中 任意一个元素 都是集合B 中的元素,就称集合A 为集合B 的子集,记作AB （或 BA ） ,读作“A 包含于B ”(或“B 包含A ”）.要点二Venn图在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Ven
2、n 图.要点三 集合A与集合B相等一般地,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素,那么集合A 与集合B 相等,记作 A=B .也就是说,若AB ,且BA ,则A=B .要点四 真子集如果集合AB ,但存在元素xB ,且xA ,就称集合A 是集合B 的真子集,记作AB （或 BA ） ,读作“A 真包含于B ”(或“B 真包含A ”）.要点五 空集一般地,我们把 不含任何元素 的集合叫做空集,记为 ,并规定:空集是任何集合的 子集 .要点六 两个重要结论1.任何一个集合是它本身的子集,即AA .2.对于集体A ，B ，C ,如果AB ,且BC
3、,那么AC .自主思考1.AB 用Venn 图怎么表示？答案：提示2.若A=xx2+x+1=0 ，B=yy2+y+1=0 ，则A=B 吗？答案：提示A=B ，集合A 、B 中的元素是同一个一元二次方程的解，所以A=B .3.AB 与BA 的含义相同吗？答案：提示 不同,AB 表示集合A 是集合B 的真子集,BA 表示集合B 是集合A 的真子集.4. 与0 有什么区别?答案：提示 是不含任何元素的集合;0 是含有一个元素的集合,0 .5.若集合A 只有一个子集,则集合A 是什么集合?答案：提示A 是 .6.已知A=1,C=1,2 ,则满足AB,BC 的集合B 有几个?答案：提示 2个,即B=1
4、或B=1,2 .名师点睛1.“AB ”可以理解为集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素,即对于任意xA 都能推出xB .不能把“AB ”理解为“A 是B 中部分元素组成的集合”,因为集合A 可能是空集,也可能是集合B .2.空集只有一个子集,即它本身,即 ;若A ,则A .3.在真子集的定义中,AB 首先要满足AB ,其次至少有一个xB ,但xA .若A 不是B 的子集,则A 一定不是B 的真子集.4.若AB ,且BA ,则A=B ;反之,若A=B ,则AB ,且BA .这就给出了证明两个集合相等的方法,即欲证A=B ,只需证AB 与BA 同时成立即可若两集合相等,则两集合所含元素完全相同
5、,与元素的排列顺序无关.互动探究关键能力探究点一 集合间关系的判断精讲精练例 判断下列各组中集合之间的关系:（1）A=x|x是12的约数 ，B=x|x是36的约数;（2）A=x|x=2k-1,kN ，B=x|x=2k+1,kN ，C=x|x=4k+1,kN ;（3）A=x|-2020x2021 ，B=x|x2022 .答案：（1）若x 是12的约数,则x 必是36的约数,反之不成立,所以AB .（2）易知集合A=-1,1,3,5, ，集合B=1,3,5,7, ，集合C=1,5,9, ,所以CBA .（3）易知A 中的元素都是B 中的元素,但在B中的元素不一定属于A,如2021B ,但2021A
6、 ,故AB .解题感悟判断集合间关系的方法（1）观察法:一一列举然后观察.（2）元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断集合间的关系.（3）数形结合法:利用数轴或Venn 图.提醒：若AB 和AB 同时成立,则AB 更能准确表达集合A ,B 之间的关系.迁移应用1.判断下列各组集合之间的关系：（1）A=-1,1,B=(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1) ;（2）A=x|-1x4,B=x|x-50 ;（3）M=x|x=2n,nN*,N=x|x=4n,nN*;（4）集合P=x|y=x2, 集合Q=y|y=x2.答案：（1）集合A 的元素是
7、数,集合B的元素是有序实数对,故A与B 之间无包含关系（2）集合B=x|x5 ,用数轴表示集合A ,B ,如图所示,由图可知AB .（3）由列举法知M=2,4,6,8, ，N=4,8,12,16, ，故NM .（4）因为P=x|y=x2=R ，Q=y|y=x2=y|y0 ,所以QP .探究点二 求集合的子集（真子集）及其个数精讲精练例 （1）写出集合a,b,c 的所有子集,并求出真子集的个数;（2）写出满足3,4P0,1,2,3,4 的所有集合P .答案：（1）集合a,b,c 的所有子集: ，a ，b ，c ，a,b ，a,c ，b,c ，a,b,c ，其中除a,b,c 外,都是a,b,c 的
8、真子集,共7个.（2）由题意知,集合P 中一定含有元素3,4,并且是至少含有三个元素的集合,因此所有满足题意的集合P 有0,3,4 ，1,3,4 ，2,3,4 ，0,1,3,4 ，0,2,3,4，1,2,3,4 ，0,1,2,3,4 .解题感悟1.求集合子集或真子集的3个步骤2.与子集、真子集个数有关的4个结论假设集合A 中含有n(nN*) 个元素,则：（1）A 的子集有2n 个;（2）A 的非空子集有(2n-1) 个;（3）A 的真子集有(2n-1) 个;（4）A 的非空真子集有(2n-2) 个.迁移应用1.已知集合A=(x,y)|x+y=2,x,yN ,试写出A 的所有子集.答案：因为A=
9、(x,y)|x+y=2,x,yN ,所以A=(0,2),(1,1),(2,0) .所以A 的所有子集： ，(0,2) ，(1,1) ，(2,0) ，(0,2),(1,1) ，(0,2),(2,0) ，(1,1),(2,0) ，(0,2),(1,1),(2,0) .探究点三 集合间关系的应用精讲精练例 已知集合A=x|-2x5 ，B=x|m+1x2m-1 ,若BA ,求实数m 的取值范围.答案：当B 时,如图所示所以m+1-2,2m-15,2m-1m+1 或m+1-2,2m-15,2m-1m+1,解这两个不等式组,得2m3 .当B= 时,由m+12m-1 ,得m2 .综上可得,m 的取值范围是m
10、|m3 解题感悟利用集合间的关系求参数问题（1）利用集合间的关系求参数的取值范围问题,常涉及两个集合,其中一个为动集合（含参数）,另一个为静集合（具体的）,解答时常借助数轴来建立变量间的关系,需特别注意端点问题.（2）空集是任何集合的子集,因此在解AB(B) 的含参数的问题时,要注意讨论A= 和A 两种情况,前者常被忽视,造成漏解的现象.迁移应用1.（2021湖北武汉武昌检测）已知集合A=x|-axa ，B=x|x2 ,若AB ,求实数a 的取值范围.答案：因为AB ,所以可分为A= 和A 两种情况,当A= 时,-aa ,解得a0 ,当A 时,应满足a-a,a2,解得0a2 .综上所述,a2
11、.评价检测素养提升课堂检测1.集合1,2 的子集有( )A.4个B.3个C.2个D.1个答案：A2.下列表述正确的有( )空集没有子集;任何集合都有至少两个子集;空集是任何集合的真子集;若A ,则A .A.0个B.1个C.2个D.3个答案：B3.已知集合A=-1,3,m,B=3,4 ,若BA ,则实数m= .答案：4解析：因为BA,B=3,4 ，A=-1,3,m ,所以4A ,所以m=4 .4.（2020江西宜春宜丰第二中学检测）已知集合A=x|x5或x-5 ，B=x|xa ,若BA ,则实数a 的取值范围是 答案：a5解析：因为BA, 所以a5.素养演练数学运算利用分类讨论思想解决集合间的关
12、系问题1.已知集合A=x|x2-4x+3=0 ，B=x|mx-3=0 ，且BA, 求实数m 的所有取值组成的集合.解析：审：结论是求实数m 的取值范围,注意已知集合A ,B 是方程的解集.联：集合A 是一元二次方程的解集,集合B 是一元一次方程的解集,但未知数x 前含有参数,因此需要分类讨论.答案：解：由x2-4x+3=0 ,得x=1 或x=3 ,所以集合A=1,3 .当B= 时,m=0 ,满足BA.当B 时,m0 ,则B=x|mx-3=0=3m .因为BA ,所以3m=1或3m=3,解得m=3 或m=1 .综上可知,实数m 的所有取值组成的集合为0,1,3.解析： 思：涉及“BA ”或“BA
13、 ”的问题,一定要分B= 和B 两种情况讨论,不要忽视空集的情况,过程中体现了数学运算的核心素养.迁移应用1.已知集合A=x|2a+1x3a-5 ，B=x|x-1或x16 .（1）若A 为非空集合,求实数a 的取值范围;（2）若AB ,求实数a 的取值范围.答案：（1）若A ,则有2a+13a-5 ,解得a6 ,所以实数a 的取值范围是a|a6 .（2）当AB 时有以下三种情况:A= ,即3a-52a+1 ,解得a6 ;A, 且Ax|x-1,则有3a-5-1,2a+13a-5, 无解;A, 且Ax|x16,则有2a+116,2a+13a-5, 解得a152 .综上,实数a 的取值范围是a|a6或a152 .
