1、锡山高级中学20202021学年度第二学期期末检测高二年级数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知，均为集合的子集，且，则A.B.C.D.2.已知复数，则以下命题中为
2、真命题的是A.的共轭复数为B.的虚部为C.D.在复平面内对应的点在第一象限3.已知向量，且，则A.3B.C.D.4.围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史，围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为A.B.C.D.5.已知数列的前项和为，若，为等差数列，则A.B.C.D.6.函数
3、，的值域是A.B.C.D.7.数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（1）方程，表示的曲线在第二和第四象限；（2）曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2；（3）曲线构成的四叶玫瑰线面积大于；（4）曲线上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）；A.（1）（2）B.（1）（2）（3）C.（1）（2）（4）D.（1）（3）（4）8.若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2
4、分，有选错的得0分.9.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3.则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地10.如图，已知函数（其中，）的图象与轴交于点，与轴交于点，.则下列说法正确的有A.的最小正周期为12B.C.的最大值为D.在区间上单调递增11.已知点，圆，点在圆上运动，
5、给出下列命题，其中正确的有A.的取值范围是B.在轴上存在定点，使为定值；C.设线段的中点为，则点到直线的距离的取值范围是；D.过直线上一点引圆的两条切线，切点分别为，则的取值范围是12.在边长为2的等边三角形中，点，分别是边，上的点，满足且，将沿直线折到的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是A.在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面B.存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面C.若，当二面角为直二面角时，D.在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.，是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的_条件.14.已知椭圆的一个焦
6、点与抛物线的焦点重合，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若是线段的中点，则椭圆的方程为_.15.早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等.如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一.如果把按计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于_.16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可
7、以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折次，那么_.（第1空2分，第2空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知的内角，所对的边分别为，且满足.（1）求角；（2）设点在边上，且，证明：若_，则存在最大值或最小值.请在下面的两个条件中选择一个条件填到上面的横线上，并证明.是的中线；是的角平分线.18.（本小题满分12分）设数列的前项和为，满足：.（1）求证：数列为等比数列；（2）求，并求的最大值.19.（本小题满分12分）已知三棱锥的展开图如图二，其中四边形为边长
8、等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（1）证明：平面平面；（2）若是的中点，求二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）当前，全国上下正处在新冠肺炎疫情“外防输入，内防反弹”的关键时期，为深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，始终把师生生命安全和身体健康放在第一位.结合全国第32个爱国卫生月要求，学校某班组织开展了“战疫有我，爱卫同行”防控疫情知识竞赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题.规则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有一道是送分题（即每位同学至少答对1题）.若每次每组答对的题数之和为3的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是3的
9、倍数，就由对方组接着答题.假设每位同学每次答题之间相互独立，第一次由甲组开始答题.求：（1）若第次由甲组答题的概率为，求；（2）前4次答题中甲组恰好答题2次的概率为多少？21.（本小题满分12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有2个极值点，证明：.22.（本小题满分12分）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.（1）求四边形的面积；（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（
10、用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由.锡山高级中学20202021学年度第二学期期末检测高二数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号123456789101112答案DDBCDBAAADACDBDABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.必要不充分条件 14. 15. 16.（1）5 （2）评分细则：13题严格按照答案，一点都不能变.写
11、的潦草的不能得分14题写成也算对15题不化简不得分16题（1）2分，（2）3分.（2）中形式不唯一，但不化简不能得分.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）（1）解：，由正弦定理知，由余弦定理知，.（2）证明：选择条件，是的中线，当且仅当时，等号成立，故存在最大值，为8.选择条件，是的角平分线，即，即，当且仅当时，等号成立，故存在最小值，为8.18.（）证：由，当时，得，两式相减得：，化简得，即，又，所以，所以是为首项，为公比的等比数列.（）解：由（1）得，所以，所以.因为，令，因为，所以，又，所以当时，当时，故.19.（1）证明：设的中点
12、为，连结，由题意得，在中，为的中点，在中，平面，平面，平面，平面平面.（2）解：由（1）知平面，以为原点，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，设二面角的平面角为，由图可得平面和平面所成角为锐角，则.二面角的余弦值为.20.解：（）第次由甲组答题，是第次由甲组答题，第次继续由甲组答题的事件与第次由乙组答题，第次由甲组答题的事件和，它们互斥，又各次答题相互独立，答对的题数之和为3的倍数分别为，其概率为，则答对的题数之和不是3的倍数的概率为，所以第次由甲组答题，第次继续由甲组答题的概率为，第次由乙组答题，第次由甲组答题的概率为，因此，则
13、因为第一次由甲组开始，则，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即（）由于第1次由甲组答题，则只要第2次、第3次、第4次这3次中再由甲组答题一次即可，由（1）可知，所以所求概率.所以.21.解：（1），若，在上单调递减，在上单调递增；若，令，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，同理可得，在，上单调递减，在上单调递增；当时，恒成立，即恒成立，在上单调递减.综上所述，当时，的递减区间为，无增区间；当时，的递减区间为，递增区间为；当时，的递减区间为，递增区间为；当时，的递减区间为，递增区间为；（2）证明：函数有两个极值点，由（1）可知，且，是方程两个根，；令，则恒成立，在上单调递增，即.22.解：（1）因为双曲线，可得，由双曲线的定义可得，又因为，可得，因为，由，可得，则点的横坐标为，所以，可得，即点，过点且与渐近线平行的直线的方程为，联立双曲线的方程，解得点，直线的方程为，点到直线的距离为，且，因此，四边形的面积为；（2）四边形的面积为定值，理由如下：设点，双曲线的渐近线方程为，则直线的方程为，联立，解得，即点，直线的方程为，即，点到直线的距离为，且，因此，（定值）.
