1、第八章第七节一、选择题1(文)(2014云南部分名校联考)P是双曲线1(a0,b0)上的点,F1,F2是其焦点,且0,若F1PF2的面积是9,ab7,则双曲线的离心率为()A. B.C.D答案D解析由0得F1PF290,在F1PF2中有|PF1|2|PF2|24c2,(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2.由双曲线定义知|PF1|PF2|2a,且|PF1|PF2|18,代入得b3,a4,c5,则离心率为.(理)(2014湖北荆门调研)已知F1,F2分别是双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径
2、的圆外,则双曲线离心率的取值范围是()A(1,)B(,)C(,2)D(2,)答案D解析过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线y(xc),与yx联立,解得M(,)由点M在以线段F1F2为直径的圆外,得()2()2c2,14,e2.2(2014北京石景山统一测试)已知动点P(x,y)在椭圆C:1上,F为椭圆C的右焦点,若点M满足|1且0,则|的最小值为()A.B3C.D1答案A解析在椭圆C:1中,a5,b4,c3,M在以F为圆心,1为半径的圆上,PM为圆的切线,所以PF最小时,切线长最小设P(x0,y0),则|PM|2|PF|21(x03)2y1(x03)2161x6x024(x0)21,5x05
3、,当x05时,|PM|2取到最小值3,|PM|min.3(文)已知过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点,则的值为()A5B4C3D2答案C解析由题意设直线l的方程为y(x),即x,代入抛物线方程y22px中,整理得y22pyp20,设A(xA,yA),B(xB,yB),则yAp,yBp,所以|3.(理)已知抛物线y22px(p0)上一点M(1,m)(m0)到其焦点的距离为5,双曲线y21的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值是()A.BC.D答案B解析M(1,m)到焦点距离为5,M到准线距离为5,又xM1,4,
4、p8,y216x,当x1时,y4,m0,m4,即M(1,4),双曲线左顶点A(,0),kMA,又双曲线的一条渐近线方程为yx,由题意知,a.4(2014辽宁省协作校三模)抛物线y24x的焦点为F,点A,B在抛物线上,且AFB,弦AB中点M在准线l上的射影为M,则的最大值为()A.BC.D答案B解析如图,由抛物线定义及条件知,|MM|(AABB)(|AF|BF|)()2(1)(1),等号成立时,|AF|BF|.5(文)(2013唐山一中、湖南师大附中月考)已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,双曲线1的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆的方程为()A.1B1C.
5、1D1答案D解析双曲线1的渐近线方程为yx,由e可得a2b,椭圆方程为1,而渐近线yx与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形,设在第一象限的小正方形边长为m,则m24m2,从而点(2,2)在椭圆上,即:1b25,于是a220,椭圆方程为1,应选D.(理)(2015浙江桐乡四校联考)点P是双曲线C1:1(a0,b0)与圆C2:x2y2a2b2的一个交点,且2PF1F2PF2F1,其中F1、F2分别为双曲线C1的左右焦点,则双曲线C1的离心率为()A.1BC.D1答案A解析a2b2c2,C2以F1F2为直径,PF1PF2,PF2F12PF1F2,PF1F230,|PF2|c,|PF1|c,由双曲线
6、的定义|PF1|PF2|2a,cc2a,e1.6(2014广东汕头一模)已知椭圆1上有一点P,F1,F2是椭圆的左、右焦点,若F1PF2为直角三角形,则这样的点P有()A3个B4个C6个D8个答案C解析当PF1F2为直角时,根据椭圆的对称性知,这样的点P有2个;同理,当PF2F1为直角时,这样的点P有2个;当P点为椭圆的短轴端点时,F1PF2最大,且为直角,此时这样的点P有2个故符合要求的点P有6个二、填空题7(文)(2013唐山一中月考)已知双曲线1(a,b0)的右焦点F,若过F且倾斜角为60的直线l与双曲线的右支有且只有1个交点,则此双曲线的离心率e的取值范围是_答案2,)解析由条件知ta
7、n60,3,e2.(理)已知过双曲线1右焦点且倾斜角为45的直线与双曲线右支有两个交点,则双曲线的离心率e的取值范围是_答案(1,)解析由条件知,渐近线的倾斜角小于45,即1,1,2,即e21,1e0),则将xy4代入椭圆方程得,4(b21)y28b2yb412b20,椭圆与直线xy40有且仅有一个公共点,(8b2)244(b21)(b412b2)0,即(b24)(b23)0,b23,长轴长为22.9(2014山东文)已知双曲线1(a0,b0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x22py(p0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|c,则双曲线的渐近线方程为_答案yx解析
8、抛物线x22py的准线方程为y,与双曲线的方程联立得x2a2(1),根据已知得a2(1)c2.由|AF|c,得a2c2.由可得a2b2,即ab,所以所求双曲线的渐近线方程是yx.三、解答题10(文)(2014唐山一模)P为圆A:(x1)2y28上的动点,点B(1,0)线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M,记点M的轨迹为.(1)求曲线的方程;(2)当点P在第一象限,且cosBAP时,求点M的坐标解析(1)圆A的圆心为A(1,0),半径等于2.由已知|MB|MP|,于是|MA|MB|MA|MP|2,故曲线是以A,B为焦点,以2为长轴长的椭圆,a,c1,b1,曲线的方程为y21.(2)由cosB
9、AP,|AP|2,得P(,)于是直线AP方程为y(x1)由,解得5x22x70,x11,x2.由于点M在线段AP上,所以点M坐标为(1,)(理)(2013唐山一中月考)在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围;(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k,使得向量与共线?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由解析(1)由已知条件,知直线l的方程为ykx,代入椭圆方程,得(kx)21,整理得(k2)x22kx10.由直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q,得8k24(k2)4k220,解得k,即k的
10、取值范围为(,)(,)(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则(x1x2,y1y2)由方程,知x1x2.又y1y2k(x1x2)2.由A(,0),B(0,1),得(,1)所以与共线等价于x1x2(y1y2),将代入,解得k.由(1)知k或k,故不存在符合题意的常数k.一、解答题11(文)(2014湖南岳阳一模)已知F1,F2是椭圆C:1(ab0)的左、右焦点,点P(,1)在椭圆上,线段PF2与y轴的交点M满足0.(1)求椭圆C的方程;(2)椭圆C上任一动点N(x0,y0)关于直线y2x的对称点为N1(x1,y1),求3x14y1的取值范围解析(1)点P(,1)在椭圆上,1.又0,M在y轴
11、上,M为PF2的中点,c0,c.a2b22,联立,解得b22(b21舍去),a24.故所求椭圆C的方程是1.(2)点N(x0,y0)关于直线y2x的对称点为N1(x1,y1),解得3x14y15x0.点N(x0,y0)在椭圆C:1上,2x02,105x010,即3x14y1的取值范围为10,10(理)(2014中原名校联考)已知A(1,0),P为圆F:(x1)2y216上任意一点,线段AP的垂直平分线交半径FP于点Q,当点P在圆上运动时(1)求点Q的轨迹方程;(2)设点D(0,1),是否存在不平行于x轴的直线l与点Q的轨迹交于不同的两点M,N,使()0,若存在,求出直线l斜率的取值范围,若不存
12、在,请说明理由解析(1)依题意知:|QF|QA|PF|4|FA|2,所以点Q的轨迹是以F,A为焦点的椭圆,所求椭圆方程为1.(2)条件()0等价于|,若存在符合条件的直线,该直线的斜率一定存在,否则点D(0,1)在x轴上,矛盾可设直线l:ykxm(k0),由得(34k2)x28kmx4m2120,由64k2m24(34k2)(4m212)0得4k23m2.设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为Q(x0,y0),则x0,y0kx0m.又|,即,解得:m34k2.由4k23m2得4k23(34k2)2,即4k22,这是不可能的故满足条件的直线不存在12(文)(2013珠海模拟)在平面直
13、角坐标系xOy中,设点F(,0),直线l:x,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQFP,PQl.(1)求动点Q的轨迹C的方程;(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在曲线C上,TS是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时,弦长|TS|是否为定值?请说明理由解析(1)依题意知,点R是线段FP的中点,且RQFP,RQ是线段FP的垂直平分线|PQ|是点Q到直线l的距离点Q在线段FP的垂直平分线上,|PQ|QF|.故动点Q的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y22x(x0)(2)弦长|TS|为定值理由如下:取曲线C上点M(x0,y0),M到y轴的距离为d|x0|x0,圆的半径r|MA|
14、,则|TS|22,因为点M在曲线C上,所以x0,所以|TS|22,是定值(理)(2013山西大学附中月考)已知抛物线y24x,过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A、B两点,且直线l与x轴交于点C.(1)求证:|MA|,|MC|,|MB|成等比数列;(2)设,试问是否为定值,若是,求出此定值,若不是,请说明理由解析(1)证明:设直线l的方程为ykx2(k0),联立方程得k2x2(4k4)x40.设A(x1,y1),B(x2,y2),C(,0),则x1x2,x1x2.|MA|MB|x10|x20|,而|MC|2(|0|)2,|MC|2|MA|MB|0,即|MA|,|MC|,|MB|成等比数列(2
15、)由,得(x1,y12)(x1,y1),(x2,y22)(x2,y2),即得,则.将代入得1,故为定值,且定值为1.13(文)(2013东北三校联考)已知点E(m,0)为抛物线y24x内一个定点,过E斜率分别为k1、k2的两条直线交抛物线于点A、B、C、D,且M、N分别是AB、CD的中点(1)若m1,k1k21,求三角形EMN面积的最小值;(2)若k1k21,求证:直线MN过定点解析(1)当m1时,E为抛物线y24x的焦点,设AB方程为yk1(x1),A(x1,y1),B(x2,y2)由得k1y24y4k10,y1y2,y1y24.AB中点M(,),M(1,);同理,点N(2k1,2k1)k1
16、k21,ABCD,SEMN|EM|EN|224,当且仅当k,即k11时,EMN的面积取最小值4.(2)设AB方程为yk1(xm),A(x1,y1),B(x2,y2),由得k1y24y4k1m0,y1y2,y1y24m,AB中点M(,),M(m,);同理,点N(m,)k1k21,kMNk1k2,lMN:yk1k2x(m),即yk1k2(xm)2,直线MN恒过定点(m,2)(理)(2015洛阳市期中)椭圆C:1(ab0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:ykxm与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求
17、证:直线l过定点,并求出该定点的坐标解析(1)左焦点(c,0)到点P(2,1)的距离为,解得c1.又e,解得a2,b2a2c23.所求椭圆C的方程为:1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(34k2)x28mkx4(m23)0,64m2k216(34k2)(m23)0,化为34k2m2.x1x2,x1x2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2,0),kADkBD1,1,y1y2x1x22(x1x2)40,40.化为7m216mk4k20,解得m12k,m2.且满足34k2m20.当m2k时,l:yk(x2),直
18、线过定点(2,0)与已知矛盾;当m时,l:yk(x),直线过定点(,0)综上可知,直线l过定点(,0)14(文)双曲线1(a0,b0)的离心率为2,坐标原点到直线AB的距离为,其中A(0,b),B(a,0)(1)求双曲线的标准方程;(2)设F是双曲线的右焦点,直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q,点M为线段PQ的中点若点M在直线x2上的射影为N,满足0,且|10,求直线l的方程解析(1)依题意有解得a1,b,c2.所以,所求双曲线的方程为x21.(2)当直线lx轴时,|6,不合题意当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为yk(x2)由消去y得,(3k2)x24k2x4k230.因为直
19、线与双曲线的右支交于不同两点,所以3k20.设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),则x1、x2是方程的两个正根,于是有所以k23.因为0,则PNQN,又M为PQ的中点,|10,所以|PM|MN|MQ|PQ|5.又|MN|x025,x03,而x03,k29,解得k3.k3满足式,k3符合题意所以直线l的方程为y3(x2)即3xy60或3xy60.(理)(2014天津河东区二模)已知椭圆C1的方程为y21,双曲线C2的左右焦点分别为C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点(1)求双曲线C2的方程;(2)若直线l:ykx与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点,且l与C2的两个交点A和B满足0,即k2.将ykx代入y21得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点得,即k2且k21.设A(xA,yA),B(xB,yB),则xAxB,xAxB,由6得xAxByAyB6,xAxByAyBxAxB(kxA)(kxB)(k21)xAxBk(xAxB)2(k21)k2.于是0,解此不等式得,k2或k2.由、得,k2或k21.故k的取值范围为(1,)(,)(,)(,1)