1、第八章第七节一、选择题1(文)(2014云南部分名校联考)P是双曲线1(a0，b0)上的点，F1，F2是其焦点，且0，若F1PF2的面积是9，ab7，则双曲线的离心率为()A. B.C.D答案D解析由0得F1PF290，在F1PF2中有|PF1|2|PF2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2.由双曲线定义知|PF1|PF2|2a，且|PF1|PF2|18，代入得b3，a4，c5，则离心率为.(理)(2014湖北荆门调研)已知F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径
2、的圆外，则双曲线离心率的取值范围是()A(1，)B(，)C(，2)D(2，)答案D解析过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线y(xc)，与yx联立，解得M(，)由点M在以线段F1F2为直径的圆外，得()2()2c2，14，e2.2(2014北京石景山统一测试)已知动点P(x，y)在椭圆C：1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|1且0，则|的最小值为()A.B3C.D1答案A解析在椭圆C：1中，a5，b4，c3，M在以F为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，所以PF最小时，切线长最小设P(x0，y0)，则|PM|2|PF|21(x03)2y1(x03)2161x6x024(x0)21，5x05
3、，当x05时，|PM|2取到最小值3，|PM|min.3(文)已知过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值为()A5B4C3D2答案C解析由题意设直线l的方程为y(x)，即x，代入抛物线方程y22px中，整理得y22pyp20，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yAp，yBp，所以|3.(理)已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线y21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是()A.BC.D答案B解析M(1，m)到焦点距离为5，M到准线距离为5，又xM1，4，
4、p8，y216x，当x1时，y4，m0，m4，即M(1,4)，双曲线左顶点A(，0)，kMA，又双曲线的一条渐近线方程为yx，由题意知，a.4(2014辽宁省协作校三模)抛物线y24x的焦点为F，点A，B在抛物线上，且AFB，弦AB中点M在准线l上的射影为M，则的最大值为()A.BC.D答案B解析如图，由抛物线定义及条件知，|MM|(AABB)(|AF|BF|)()2(1)(1)，等号成立时，|AF|BF|.5(文)(2013唐山一中、湖南师大附中月考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，双曲线1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为()A.1B1C.
5、1D1答案D解析双曲线1的渐近线方程为yx，由e可得a2b，椭圆方程为1，而渐近线yx与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形，设在第一象限的小正方形边长为m，则m24m2，从而点(2,2)在椭圆上，即：1b25，于是a220，椭圆方程为1，应选D.(理)(2015浙江桐乡四校联考)点P是双曲线C1：1(a0，b0)与圆C2：x2y2a2b2的一个交点，且2PF1F2PF2F1，其中F1、F2分别为双曲线C1的左右焦点，则双曲线C1的离心率为()A.1BC.D1答案A解析a2b2c2，C2以F1F2为直径，PF1PF2，PF2F12PF1F2，PF1F230，|PF2|c，|PF1|c，由双曲线
6、的定义|PF1|PF2|2a，cc2a，e1.6(2014广东汕头一模)已知椭圆1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若F1PF2为直角三角形，则这样的点P有()A3个B4个C6个D8个答案C解析当PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理，当PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个故符合要求的点P有6个二、填空题7(文)(2013唐山一中月考)已知双曲线1(a，b0)的右焦点F，若过F且倾斜角为60的直线l与双曲线的右支有且只有1个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是_答案2，)解析由条件知ta
7、n60，3，e2.(理)已知过双曲线1右焦点且倾斜角为45的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是_答案(1，)解析由条件知，渐近线的倾斜角小于45，即1，1，2，即e21，1e0)，则将xy4代入椭圆方程得，4(b21)y28b2yb412b20，椭圆与直线xy40有且仅有一个公共点，(8b2)244(b21)(b412b2)0，即(b24)(b23)0，b23，长轴长为22.9(2014山东文)已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x22py(p0)的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|c，则双曲线的渐近线方程为_答案yx解析
8、抛物线x22py的准线方程为y，与双曲线的方程联立得x2a2(1)，根据已知得a2(1)c2.由|AF|c，得a2c2.由可得a2b2，即ab，所以所求双曲线的渐近线方程是yx.三、解答题10(文)(2014唐山一模)P为圆A：(x1)2y28上的动点，点B(1,0)线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为.(1)求曲线的方程；(2)当点P在第一象限，且cosBAP时，求点M的坐标解析(1)圆A的圆心为A(1,0)，半径等于2.由已知|MB|MP|，于是|MA|MB|MA|MP|2，故曲线是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，a，c1，b1，曲线的方程为y21.(2)由cosB
9、AP，|AP|2，得P(，)于是直线AP方程为y(x1)由，解得5x22x70，x11，x2.由于点M在线段AP上，所以点M坐标为(1，)(理)(2013唐山一中月考)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由解析(1)由已知条件，知直线l的方程为ykx，代入椭圆方程，得(kx)21，整理得(k2)x22kx10.由直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，得8k24(k2)4k220，解得k，即k的
10、取值范围为(，)(，)(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)由方程，知x1x2.又y1y2k(x1x2)2.由A(，0)，B(0,1)，得(，1)所以与共线等价于x1x2(y1y2)，将代入，解得k.由(1)知k或k，故不存在符合题意的常数k.一、解答题11(文)(2014湖南岳阳一模)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，点P(，1)在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足0.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C上任一动点N(x0，y0)关于直线y2x的对称点为N1(x1，y1)，求3x14y1的取值范围解析(1)点P(，1)在椭圆上，1.又0，M在y轴
11、上，M为PF2的中点，c0，c.a2b22，联立，解得b22(b21舍去)，a24.故所求椭圆C的方程是1.(2)点N(x0，y0)关于直线y2x的对称点为N1(x1，y1)，解得3x14y15x0.点N(x0，y0)在椭圆C：1上，2x02，105x010，即3x14y1的取值范围为10,10(理)(2014中原名校联考)已知A(1,0)，P为圆F：(x1)2y216上任意一点，线段AP的垂直平分线交半径FP于点Q，当点P在圆上运动时(1)求点Q的轨迹方程；(2)设点D(0,1)，是否存在不平行于x轴的直线l与点Q的轨迹交于不同的两点M，N，使()0，若存在，求出直线l斜率的取值范围，若不存
12、在，请说明理由解析(1)依题意知：|QF|QA|PF|4|FA|2，所以点Q的轨迹是以F，A为焦点的椭圆，所求椭圆方程为1.(2)条件()0等价于|，若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，否则点D(0,1)在x轴上，矛盾可设直线l：ykxm(k0)，由得(34k2)x28kmx4m2120，由64k2m24(34k2)(4m212)0得4k23m2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为Q(x0，y0)，则x0，y0kx0m.又|，即，解得：m34k2.由4k23m2得4k23(34k2)2，即4k22，这是不可能的故满足条件的直线不存在12(文)(2013珠海模拟)在平面直
13、角坐标系xOy中，设点F(，0)，直线l：x，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQFP，PQl.(1)求动点Q的轨迹C的方程；(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由解析(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQFP，RQ是线段FP的垂直平分线|PQ|是点Q到直线l的距离点Q在线段FP的垂直平分线上，|PQ|QF|.故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y22x(x0)(2)弦长|TS|为定值理由如下：取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d|x0|x0，圆的半径r|MA|
14、，则|TS|22，因为点M在曲线C上，所以x0，所以|TS|22，是定值(理)(2013山西大学附中月考)已知抛物线y24x，过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x轴交于点C.(1)求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；(2)设，试问是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由解析(1)证明：设直线l的方程为ykx2(k0)，联立方程得k2x2(4k4)x40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(，0)，则x1x2，x1x2.|MA|MB|x10|x20|，而|MC|2(|0|)2，|MC|2|MA|MB|0，即|MA|，|MC|，|MB|成等比数列(2
15、)由，得(x1，y12)(x1，y1)，(x2，y22)(x2，y2)，即得，则.将代入得1，故为定值，且定值为1.13(文)(2013东北三校联考)已知点E(m,0)为抛物线y24x内一个定点，过E斜率分别为k1、k2的两条直线交抛物线于点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点(1)若m1，k1k21，求三角形EMN面积的最小值；(2)若k1k21，求证：直线MN过定点解析(1)当m1时，E为抛物线y24x的焦点，设AB方程为yk1(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k1y24y4k10，y1y2，y1y24.AB中点M(，)，M(1，)；同理，点N(2k1，2k1)k1
16、k21，ABCD，SEMN|EM|EN|224，当且仅当k，即k11时，EMN的面积取最小值4.(2)设AB方程为yk1(xm)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k1y24y4k1m0，y1y2，y1y24m，AB中点M(，)，M(m，)；同理，点N(m，)k1k21，kMNk1k2，lMN：yk1k2x(m)，即yk1k2(xm)2，直线MN恒过定点(m,2)(理)(2015洛阳市期中)椭圆C：1(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求
17、证：直线l过定点，并求出该定点的坐标解析(1)左焦点(c,0)到点P(2,1)的距离为，解得c1.又e，解得a2，b2a2c23.所求椭圆C的方程为：1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(34k2)x28mkx4(m23)0，64m2k216(34k2)(m23)0，化为34k2m2.x1x2，x1x2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2,0)，kADkBD1，1，y1y2x1x22(x1x2)40，40.化为7m216mk4k20，解得m12k，m2.且满足34k2m20.当m2k时，l：yk(x2)，直
18、线过定点(2,0)与已知矛盾；当m时，l：yk(x)，直线过定点(，0)综上可知，直线l过定点(，0)14(文)双曲线1(a0，b0)的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A(0，b)，B(a,0)(1)求双曲线的标准方程；(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点若点M在直线x2上的射影为N，满足0，且|10，求直线l的方程解析(1)依题意有解得a1，b，c2.所以，所求双曲线的方程为x21.(2)当直线lx轴时，|6，不合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)由消去y得，(3k2)x24k2x4k230.因为直
19、线与双曲线的右支交于不同两点，所以3k20.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，则x1、x2是方程的两个正根，于是有所以k23.因为0，则PNQN，又M为PQ的中点，|10，所以|PM|MN|MQ|PQ|5.又|MN|x025，x03，而x03，k29，解得k3.k3满足式，k3符合题意所以直线l的方程为y3(x2)即3xy60或3xy60.(理)(2014天津河东区二模)已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足0，即k2.将ykx代入y21得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点得，即k2且k21.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xAxB，xAxB，由6得xAxByAyB6，xAxByAyBxAxB(kxA)(kxB)(k21)xAxBk(xAxB)2(k21)k2.于是0，解此不等式得，k2或k2.由、得，k2或k21.故k的取值范围为(1，)(，)(，)(，1)