1、第6节空间向量的运算及应用 选题明细表知识点、方法题号空间向量的线性运算2,9共线定理、共面定理的应用1,4,6,8,10,12,13空间向量数量积的应用3,5,7,11,14 (建议用时:20分钟)1.(多选题)在下列命题中,其中正确命题的是(ABCD)(A)若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行(B)若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面(C)若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面(D)已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc解析: a与b共线,a,b所在直线也可能重合,故A不正确;根据自由向量
2、的意义知,空间任意两向量a,b都共面,故B不正确;三个向量a,b,c中任两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故C不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc,故D不正确.故选ABCD.2.如图,M,N分别是四面体OABC的边OA,BC的中点,P是MN的中点,设=a,=b,=c,用a,b,c表示,则(D)(A)=a+b+c(B)=a+b+c(C)=a+b+c(D)=a+b+c解析:依题意=(+)=+(+)=a+b+c,故选D.3.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a(a-b),则实数的值为(D)(A)-2(B)(C)-(D)2解析:a-b=(
3、-2,1,3)-(-,2,)=(-2,1-2,3-),a=(-2,1,3),若a(a-b),则-2(-2)+1-2+3(3-)=0,解得=2,故选D.4.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若a,b,c三向量共面,则实数等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:由于a,b,c三个向量共面,所以存在实数m,n,使得c=ma+nb,即有解得m=,n=,=.故选D.5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则的值为(C)(A)a2(B)a2 (C)a2 (D)a2解析:如图,设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,
4、且a,b,c三向量两两夹角为60.=(a+b),=c,所以=(a+b)c=(ac+bc)=(a2cos 60+a2cos 60)=a2.6.设e1,e2是两个不共线的空间向量,若=2e1-ke2,=3e1+3e2,=ke1+e2,且A,B,D三点共线,则实数k的值为.解析:因为A,B,D三点共线,所以存在实数使得=,因为=2e1-ke2,=-=(k-3)e1-2e2,所以所以k2-3k-4=0,解得k=-1或4.答案:4或-17.已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),则与的夹角的大小是.解析:=(-2,-1,3),=(-1,3,-2),=-7,|=,|=,所以c
5、os =-,又因为0,所以=.答案:8.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),则满足DBAC,DCAB的点D的坐标为.解析:设点D(x,y,z),易知=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0),因为DBAC,DCAB,所以,则解得所以D(-1,1,2).答案:(-1,1,2) (建议用时:25分钟)9.已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是OA,BC的中点,点G在线段MN上,且=,=x+y+z,则x,y,z的值分别为(A)(A),(B),(C),(D),解析:如图所示,因为M,N分别是OA,BC的中点,点
6、G在线段MN上,且=2,所以=+,=,=,=-,=(+),所以=+(+)-=+,所以x=,y=z=,故选A.10.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则|为(A)(A)a(B)a(C)a(D)a解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,).设M(x,y,z),因为点M在AC1上且=,所以(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),所以x=a,y=,z=.所以M(,),所以|=a.11.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,16)是上、下底面上其余
7、十六个点,则(i= 1,2,8)的不同值的个数为.解析:由题意得,=+(i=1,2,8),则=(+)=|2+,因为,所以=|2=1,所以(i=1,2,8)的不同的值的个数为1.答案:112.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4,点Q在棱AA1上,且AQ=3A1Q,四边形EFGC1是平面BCC1B1内的正方形,且C1E=1,P是面BCC1B1内的动点,且P到平面CDD1C1的距离等于线段PF的长,则线段PQ长度的最小值为.解析:建立如图所示的空间直角坐标系.过Q作QMBB1,连接MP,作PNCC1,则QMMPPQ2=QM2+MP2=16+MP2,当MP最小时,PQ最小.设P(x,4,z
8、),N(0,4,z),0x4,0z4,易知F(1,4,3),M(4,4,3),因为P到平面CDD1C1的距离等于线段PF的长,所以PN=PF,得x=,2x-1=(z-3)2,MP2=(x-4)2+(z-3)2=x2-6x+15=(x-3)2+66,所以x=3时,MP2有最小值6,所以PQ2的最小值为22,所以PQmin=.答案:13.如图所示,已知斜三棱柱ABCA1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足=k,=k(0k1).判断向量是否与向量,共面.解:因为=k,=k,所以=+=k+k=k(+)+=k(+)+=k+=-k=-k(+)=(1-k)-k,所以由共面向量定理知向量与向量,共面.14.棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.(1)求证:EFCF;(2)求与所成角的余弦值;(3)求CE的长.解:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),E(0,0,),C(0,1,0),F(,0),G(1,1,).所以=(,-),=(,-,0),=(1,0,),=(0,-1,).(1)因为=+(-)+(-)0=0,所以,即EFCF.(2)因为=1+0+(-)=,|=,|=,所以cos=.(3)|CE|=|=.
