1、备考训练20导数与函数的单调性、极值、最值大题备考1.已知函数f(x)x2axa2ln x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若a0，求f(x)的最小值2已知函数f(x).(1)当a1时，求曲线yf(x)在(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间32020山东师大附中模拟已知函数f(x)ln xax.(1)当a1时，判断函数f(x)的单调性；(2)若f(x)0恒成立，求a的取值范围42020山东省实验中学第二次诊断已知函数f(x)(2ax24x)ln xax24x(aR且a0)(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若函数f(x)的极小值为，试求a的值52
2、020山东莱州一中质量检测已知函数f(x)(x0)(1)判断函数f(x)在(0，)上的单调性；(2)若f(x)恒成立，求整数k的最大值62020山东青岛二中模拟已知函数f(x)x2ax(a1)ln x.(1)若a1，讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)f(x)(a1)xln x，是否存在实数a，对任意x1，x2(0，)，x1x2，有a0恒成立？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由备考训练20导数与函数的单调性、极值、最值大题备考1.解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2xa.若a0，则f(x)x2，在(0，)单调递增；若a0，则由f(x)0，x0得xa.当x(0，a
3、)时，f(x)0.所以f(x)在(0，a)单调递减，在(a，)单调递增若a0)，得x.当x时，f(x)0.所以f(x)在单调递减，在单调递增(2)当a0时，由(1)知，当xa时，f(x)取得最小值，f(x)minf(a)a2ln a.当a0时，由(1)知，当x时，f(x)取得最小值，f(x)minfa2a2ln.2解析：(1)当a1时，f(x)，则f(x).又f(0)1，f(0)2.所以曲线yf(x)在(0，f(0)处的切线方程为y(1)2(x0)，即y2x1.(2)由函数f(x)，得f(x).当a0时，f(x)0时，x1，所以x，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(，1)f(x)0f(x)
4、极小值所以f(x)的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为.当a0时，x0，则0x1；若f(x)1，所以函数f(x)在区间(0,1)单调递增，(1，)单调递减(2)若f(x)0恒成立，则ln xax0恒成立又因为x(0，)，所以分离变量得a恒成立设g(x)，则ag(x)max，所以g(x).当g(x)0时，x(e，)；当g(x)0时，x(0，e)，即函数g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减当xe时，函数g(x)取最大值，g(x)maxg(e)，所以a.4解析：(1)函数f(x)(2ax24x)ln xax24x(aR，且a0)由题意可知f(x)4(ax1)ln x，x(0，)，
5、f(1)0，f(1)a4，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ya4.(2)当a1，故不成立当a1时，f(x)0在(0，)上恒成立，所以f(x)在(0，)单调递减此时f(x)无极小值，故不成立当1a0时，x变化时f(x)，f(x)变化情况如下表：x(0,1)1f(x)00f(x)极小值极大值此时极小值f(1)a4，由题意可得a4，解得a2或a2.因为1a0时，x变化时f(x)，f(x)变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值此时极小值f(1)a4，由题意可得a4，解得a2或a2，故不成立综上所述a2.5解析：(1)因为f(x)(x0)，所以f(x)，(x0)，又
6、因为x0，所以0，ln(1x)0，所以f(x)恒成立，即k恒成立，即k0)，令g(x)x1ln(x1)，则g(x)10，即g(x)在(0，)为增函数，又g(2)1ln 30，即存在唯一的实数根a，满足g(a)0，且a(2,3)，a1ln(a1)0，当xa时，g(x)0，h(x)0，当0xa时，g(x)0，h(x)0，即函数h(x)在(0，a)为减函数，在(a，)为增函数，则h(x)minh(a)a1(3,4)，故整数k的最大值为3.6解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)xa(a1)，若a11，则a2，f(x)0，且只在x1时取等号，f(x)在(0，)上单调递增；若a11，则a1
7、，1a2，当x(a1,1)时，f(x)0，所以f(x)在(a1,1)上单调递减，在(0，a1)及(1，)上单调递增；若a11，则a2，同理可得：f(x)在(1，a1)上单调递减，在(0,1)及(a1，)上单调递增；综上，当1a2时，f(x)在(1，a1)上单调递减，在(0,1)及(a1，)上单调递增(2)g(x)x2x(a2)ln x，假设存在a，对任意x1，x2(0，)，x1x2，有a0恒成立，不妨设0x10恒成立，即必有g(x2)ax2g(x1)ax1，令h(x)g(x)ax，即h(x)x2(a1)x(a2)ln x，h(x)x(a1)，要使h(x)在(0，)上为增函数，只要h(x)0在(0，)上恒成立，须有xa20，a2，故存在a2，)时，对任意x1，x2(0，)，x1x2，有a0恒成立
