1、单元素养评价(二)(第七章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.设a,bR,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由ab=0,得a=0,b0或a0,b=0或a=0,b=0,则a+=a-bi不一定为纯虚数;若a+=a-bi为纯虚数,则有a=0且b0,这时有ab=0,故选B.2.若(x-i)i=y+2i,x,yR,则复数x+yi=()A.-2+iB.1-2iC.2+i D.1+2i【解析】选C.(x-i)i=y+2i,即xi+1=y+2i,故y=1,x=2,所以复数x+y
2、i=2+i.3.复数z=i(i+1)在复平面内的对应点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.z=-1+i,对应点为(-1,1),在第二象限.4.(2020全国卷)若z=1+2i+i3,则|z|=()A.0B.1C.D.2【解题指南】先根据i2=-1将z化简,再根据向量的模的计算公式即可求出.【解析】选C.因为z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,所以|z|=.5.如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D【解析】选B.设z=a+bi(a,bR),且a0,则z的共轭复数为a-bi,其中a0,-b0,故应为B点.6
3、.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形是 ()A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】选A.1,2i,5+2i对应的向量坐标为(1,0),(0,2),(5,2),设O为坐标原点,即=(1,0),=(0,2),=(5,2),=-=(-1,2).=-=(5,0),=-=(4,2),则|2=|2+|2,所以BAC=90,即由A,B,C所构成的三角形是直角三角形.7.若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()A.1+2iB.-1+2iC.-1-2iD.1-2i【解析】选D.设z=a+bi(a,bR),则=a-bi.故
4、2z+=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,所以解得所以z=1-2i.8.设复数z=cos x+isin x,则函数f(x)=的部分图象可能是()【解析】选A.f(x)=|cos x+isin x+cos x-isin x|=2,因为f(x)=2|cos x|为偶函数,故排除C、D,又f(x)=2|cos x|的最小正周期为,故排除B,所以f(x)的部分图象可能为A.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列命题中,真命题为()A.若复数z满足R,则zRB.若复数z满足z2R,则zRC.若复数z1,z2满足z1z2R,则z1=D
5、.若复数zR,则R【解析】选AD.对于命题A,设复数z=x+yi(x,yR),且x,y不同时为零,则=-i,若R,则y=0,所以z=xR,该命题正确;对于命题B,当z=-i时,z2=-1R,但zR,该命题错误;对于命题C,取z1=1+i,z2=2-2i,则z1z2=(1+i)(2-2i)=2-2i2=4,但z1,该命题错误;对于命题D,当zR时,可设z=x(xR),则=xR,该命题正确.10.已知i为虚数单位,复数z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,则实数a的值为()A.1B.-1C.D.-【解析】选AB.因为复数z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,所以a2+4
6、=4+1,解得a=1.11.设z1,z2是复数,则下列命题中,正确的是()A.若=0,则z1=B.若z1=,则=z2C.若=,则z1=z2D.若=,则=【解析】选BC.设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,dR.若|z1-z2|=0,则z1-z2=(a-c)+(b-d)i=0,所以a=c,b=d,所以z1=z2,所以=,无法保证z1=,所以A错误;若z1=,则a=c,b=-d,所以=z2,故B正确;若|z1|=|z2|,则a2+b2=c2+d2,所以z1=z2,故C正确;=(a2-b2)+2abi,= (c2-d2)+2cdi,在a2+b2=c2+d2的条件下,不能保证a2-b2=c2
7、-d2,2ab=2cd,故D错误.12.(2020枣庄高一检测)已知集合M=m|m=in,nN*,其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是()A.(1-i)(1+i)B.C.D.(1-i)2【解析】选BC.根据题意,M=m|m=in,nN*中,n=4k(kN*)时,in=1;n=4k+1(kN*)时,in=i;n=4k+2(kN*)时,in=-1;n=4k+3(kN*)时,in=-i,所以M=-1,1,i,-i.选项A中,(1-i)(1+i)=2M;选项B中,=-iM;选项C中,=iM;选项D中,(1-i)2=-2iM.三、填空题(每小题5分,共20分)13.当aR时,有(1-i)(a+i)
8、R,则a=.【解析】因为(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)iR,所以1-a=0,即a=1.答案:114.若=2-i(其中i是虚数单位),则实数a=.【解析】因为=2-i,所以1+ai=(1-i)(2-i)=1-3i,所以a=-3.答案:-315.在复平面上正方形的顶点对应的复数中有三个是1+2i,-2+i,-1-2i,那么第四个顶点对应的复数是.【解析】设正方形四个顶点A,B,C,D对应的复数分别为1+2i,-2+i,-1-2i,a+bi,O为复平面的原点,则=(1,2),=(-2,1),=(-1,-2),=(a,b),=-=(-3,-1).又四边形ABCD为正方形,所以=,即(-3
9、,-1)=-=(-1-a,-2-b),所以所以所以=(2,-1).即第四个顶点对应的复数是2-i.答案:2-i16.复数z1=1-2i,|z2|=3,则|z2-z1|的最大值是.【解析】设z2=x+yi(x,yR),且x2+y2=9,故令x=3cos ,y=3sin ,z2-z1=(x-1)+(y+2)i,所以|z2-z1|=,=,其中sin =,cos =,所以最大值为=3+.答案:3+四、解答题(共70分)17.(10分)已知z=1+i,若=1-i,求实数a,b的值.【解析】因为z2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b=a+b+(2+a)i,z2-z+1=(1+i)2-(1+i)+1
10、=i,所以=(2+a)-(a+b)i=1-i,由复数相等,得解得18.(12分)设复数z=(a2+a-2)+(a2-7a+6)i,其中aR,当a取何值时,(1)zR;(2)z是纯虚数;(3)z是零.【解析】(1)因为zR,所以a2-7a+6=0,所以a=1或a=6.(2)因为z是纯虚数,所以所以a=-2.(3)因为z=0,所以所以a=1.19.(12分)已知复数z满足|z|=1+3i-z,求的值.【解析】设z=a+bi(a,bR).因为|z|=1+3i-z,所以-1-3i+a+bi=0,即解得所以z=-4+3i,所以=3+4i.20.(12分)已知复数z1=m+(m2-2m)i,z2=1+(-
11、m2+3m-1)i,其中mR.(1)若复数z1为实数,求m的值;(2)求|z1+z2|的最小值.【解析】(1)由复数z1为实数,则m2-2m=0,解得m=2或m=0.(2)因为z1+z2=(m+1)+(m-1)i,所以|z1+z2|=,故当m=0时,|z1+z2|的最小值为.21.(12分)计算: (1);(2).【解析】(1)=+i.(2)=1-i.22.(12分)已知复数z1=sin 2x+i,z2=m+(m-cos 2x)i(,m,xR),且z1=z2.(1)若=0且0x,求x的值;(2)设=f(x);求f(x)的最小正周期和单调递减区间;已知当x=时,=,求cos的值.【解析】由z1=sin 2x+i,z2=m+(m-cos 2x)i(,m,xR),且z1=z2.得(1)若=0且0x,则sin 2x=cos 2x,即tan 2x=,所以x=或;(2)=f(x)=2sin,则T=,由+2k2x-+2k,kZ得k+x+k,kZ.所以f(x)的单调递减区间为,kZ;由题意,=2sin,所以sin=-,即cos=-.所以cos=2cos2-1=2-1=-.
