1、2015-2016学年山西省晋中市平遥二中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1如图，四边形ABCD中，ADBC，AD=AB，BCD=45，BAD=90将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是( )A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC2若直线l过点且被圆x2+y2=25截得的弦长为8，则直线l的方程是( )Ax=3BC3x+4y+15=0Dx=3或3x+4y+15=03如图，长方体ABCDA1B1C
2、1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是( )ABCD04在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是( )ABCD5若直线=1与图x2+y2=1有公共点，则( )Aa2+b21Ba2+b21CD6已知圆C：（xa）2+（y2）2=4（a0）及直线l：xy+3=0，当直线l被C截得弦长为2时，则a等于( )AB2C1D+17圆：x2+y24x+6y=0和圆：x2+y26x=0交于A，B两点，则直线AB的方程是( )Ax+3y=0B3x+y=0C3xy=0D3y5x=08平面与平面平行的条件可以是( )
3、A内有无穷多条直线与平行B内的任何直线都与平行C直线a，直线b，且a，bD直线a，直线a9设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn 若，m，则m若m，n，则mn 若，则其中正确命题的序号是( )A和B和C和D和10直线kxy+13k=0，当k变化是，所有直线恒过定点( )A（0，0）B（3，1）C（1，3）D（1，3）11用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为( )A12B24CD12水平放置的ABC的直观图如图，其中BO=CO=1，AO=，那么原ABC是一个( )A等边三角形B直角三角形C三边中只有两边相等的等腰三角形D三
4、边互不相等的三角形二、填空题（每小题5分，共20分）13正方体的内切球与外接球的表面积的比为_14若圆B：x2+y2+b=0与圆C：x2+y26x+8y+16=0没有公共点，则b的取值范围是_15直线y=k（x1）与以A（3，2）、B（2，3）为端点的线段有公共点，则k的取值范围是_16一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积_三、解答题.本大题共6个小题，共70分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17求经过两直线2x3y3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y1=0垂直的直线方程18如图，已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点
5、，并且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=，求AB和CD所成角的大小19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，E是PC的中点（1）证明：PA平面EDB；（2）证明：平面PAC平面PDB20已知点A（1，2），B（0，1），动点P满足（）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；（）若点Q在直线l1：3x4y+12=0上，直线l2经过点Q且与曲线C有且只有一个公共点M，求|QM|的最小值21如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，（1）证明：BC1面A1B1CD；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角22（14分）已知圆C：（x1）2+y2=9内有一点P（
6、2，2），过点P作直线l交圆C于A、B（1）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（2）当直线l的倾斜角为45时，求弦AB的长（3）设圆C与x轴交于M、N两点，有一动点Q使MQN=45试求动点Q的轨迹方程2015-2016学年山西省晋中市平遥二中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1如图，四边形ABCD中，ADBC，AD=AB，BCD=45，BAD=90将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是( )A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面
7、ABC平面BDCD平面ADC平面ABC【考点】平面与平面垂直的判定 【专题】证明题【分析】由题意推出CDAB，ADAB，推出AB平面ADC，可得平面ABC平面ADC【解答】解：在四边形ABCD中，ADBC，AD=AB，BCD=45，BAD=90BDCD又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCD=BD故CD平面ABD，则CDAB，又ADAB故AB平面ADC，所以平面ABC平面ADC故选D【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查逻辑思维能力，是中档题2若直线l过点且被圆x2+y2=25截得的弦长为8，则直线l的方程是( )Ax=3BC3x+4y+15=0Dx=3或3x+4y+15=0【考点】
8、直线与圆的位置关系；直线的一般式方程 【专题】直线与圆【分析】由圆的方程得到圆的圆心坐标和半径，再结合直线被圆截得的弦长等于8求出圆心到直线的距离，然后分直线的斜率存在和不存在求解直线方程，斜率不存在时直接得答案，斜率存在时由点到直线的距离公式求解【解答】解：如图，圆x2+y2=25的半径为5，直线l被圆截得的半弦长为4，圆心到直线的距离为3当直线l过点且斜率不存在时，直线方程为x=3，满足题意；当斜率存在时，设斜率为k，则直线的点斜式方程为，整理得：2kx2y+6k3=0由圆心（0，0）到直线2kx2y+6k3=0的距离等于3得：，解得：k=直线方程为3x+4y+15=0综上，直线l的方程是
9、x=3或3x+4y+15=0故选：D【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了分类讨论的数学思想方法，具体方法是由圆心到直线的距离列式求解，是中档题3如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是( )ABCD0【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角 【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用【分析】以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得cos，可得答案【解答】解：以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空
10、间直角坐标系，则可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0）=（1，0，1），=（1，1，1）设异面直线A1E与GF所成角的为，则cos=|cos，|=0，故选：D【点评】本题考查异面直线所成的角，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题4在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是( )ABCD【考点】确定直线位置的几何要素 【专题】数形结合【分析】本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y
11、轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选C【点评】本题考查确定直线为主的几何要素，考查斜率和截距对于一条直线的影响，是一个基础题，这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定5若直线=1与图x2+y2=1有公共点，则( )Aa2+b21Ba2+b21CD【考点】直线与圆的位置关系 【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：dr故选D【
12、点评】本题考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，是基础题6已知圆C：（xa）2+（y2）2=4（a0）及直线l：xy+3=0，当直线l被C截得弦长为2时，则a等于( )AB2C1D+1【考点】直线与圆相交的性质 【专题】计算题【分析】由弦长公式求得圆心（a，2）到直线l：xy+3=0 的距离 等于1，再根据点到直线的距离公式得圆心到直线l：xy+3=0的距离也是1，解出待定系数a【解答】解：圆心为（a，2），半径等于2，由弦长公式求得圆心（a，2）到直线l：xy+3=0 的距离为=1，再由点到直线的距离公式得圆心到直线l：xy+3=0的距离 1=，a=1故选C【点评】本题考查直线和圆的位
13、置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用7圆：x2+y24x+6y=0和圆：x2+y26x=0交于A，B两点，则直线AB的方程是( )Ax+3y=0B3x+y=0C3xy=0D3y5x=0【考点】两圆的公切线条数及方程的确定 【专题】计算题【分析】当两圆相交时，直接将两个圆方程作差，即得两圆的公共弦所在的直线方程【解答】解：因为两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标坐标既满足第一个圆的方程，又满足第二个圆的方程将两个圆方程：x2+y24x+6y=0和圆：x2+y26x=0作差，得直线AB的方程是：x+3y=0，故选A【点评】本题考查相交弦所在的直线的方程，两圆相交时，将两个圆方程作差，即得
14、公共弦所在的直线方程8平面与平面平行的条件可以是( )A内有无穷多条直线与平行B内的任何直线都与平行C直线a，直线b，且a，bD直线a，直线a【考点】平面与平面平行的判定 【专题】空间位置关系与距离【分析】根据面面平行的判定定理，只要其中一个平面的两条相交直线都平行于另一个平面即可【解答】解：对于选项A，内有无穷多条直线与平行，如果这无穷多条直线是平行的，可能相交；对于选项B，内的任何直线都与平行，一定有两条相交直线与平行，满足面面平行的判定定理，可以得到；对于选项C，直线a，直线b，且a，b，如果a，b都平行，的交线，但是与相交；对于选项D，直线a，直线a，可能相交；故选B【点评】本题考查了
15、面面平行的判定以及学生的空间想象能力9设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn 若，m，则m若m，n，则mn 若，则其中正确命题的序号是( )A和B和C和D和【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系 【专题】证明题；压轴题；空间位置关系与距离【分析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得不正确由此可得本题的
16、答案【解答】解：对于，因为n，所以经过n作平面，使=l，可得nl，又因为m，l，所以ml，结合nl得mn由此可得是真命题；对于，因为且，所以，结合m，可得m，故是真命题；对于，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面是正方体下底面所在的平面，则有m且n成立，但不能推出mn，故不正确；对于，设平面、是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有且，但是，推不出，故不正确综上所述，其中正确命题的序号是和故选：A【点评】本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题10直线kxy+13k=0
17、，当k变化是，所有直线恒过定点( )A（0，0）B（3，1）C（1，3）D（1，3）【考点】恒过定点的直线 【专题】直线与圆【分析】化直线方程为点斜式，由点斜式的特点可得答案【解答】解：直线方程kxy+13k=0可化为y1=k（x3），由直线的点斜式可知直线过定点（3，1）故选：B【点评】本题考查直线过定点问题，化直线方程为点斜式是解决问题的关键，属基础题11用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为( )A12B24CD【考点】简单空间图形的三视图 【专题】规律型【分析】根据斜二测画法的规则，分别求出直观图的边长关系，即可求直观图的面积【解答】解：根据斜二测画法的
18、规则可知，矩形的直观图为平行四边形，其中OC=OC=6，OA=OA=2，AOC=45，平行四边形的面积S=2SOAC=2=，故选：C【点评】本题主要考查斜二测画法的应用，熟练掌握斜二测画法的基本原则12水平放置的ABC的直观图如图，其中BO=CO=1，AO=，那么原ABC是一个( )A等边三角形B直角三角形C三边中只有两边相等的等腰三角形D三边互不相等的三角形【考点】平面图形的直观图 【专题】计算题；转化思想【分析】由图形和AO=通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边BC=BC，AOBC，且AO=，故三角形为正三角形【解答】解：由图形知，在原ABC中，AOBC，AO=AO=BO=CO=1BC
19、=2AB=AC=2ABC为正三角形故选A【点评】本题考查了平面图形的直观图的画法及其先关性质，把握好直观图与原图形的关系，是个基础题二、填空题（每小题5分，共20分）13正方体的内切球与外接球的表面积的比为【考点】球的体积和表面积 【专题】计算题【分析】正方体的内切球的直径为正方体的棱长，外接球的直径为正方体的对角线长，设出正方体的棱长，即可求出两个半径，求出两个球的面积之比【解答】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2a，半径为：a，正方体的内切球与外接球的面积之比：=故答案为：【点评】本题
20、是基础题，考查正方体的外接球与内切球的面积之比，求出外接球的半径，是解决本题的关键14若圆B：x2+y2+b=0与圆C：x2+y26x+8y+16=0没有公共点，则b的取值范围是b|4b0，或b64【考点】圆与圆的位置关系及其判定 【专题】直线与圆【分析】由题意可得，两个圆相离或相内含，若两个圆相离，则由两个圆的圆心距d大于两个圆的半径之和，求得b的范围若两个圆相内含，则由两个圆的圆心距d小于两个圆的半径之差，求得b的范围，再把这2个b的范围取并集，即得所求【解答】解：圆B：x2+y2+b=0表示圆心为O（0，0）、半径等于的圆，（ b0）；圆C：x2+y26x+8y+16=0即 （x3）2+
21、（y+4）2=9 表示圆心为（3，4）、半径等于3的圆由题意可得，两个圆相离或相内含若两个圆相离，则由两个圆的圆心距d大于两个圆的半径之和，即3+，求得4b0若两个圆相内含，则由两个圆的圆心距d小于两个圆的半径之差，即|3|，求得b64，故答案为：b|4b0，或b64【点评】本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题15直线y=k（x1）与以A（3，2）、B（2，3）为端点的线段有公共点，则k的取值范围是1，3【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 【专题】计算题【分析】求出直线恒过的定点，画出图形，求出PA，PB的斜率即可得到k的范围【解答
22、】解：因为直线y=k（x1）恒过P（1，0），画出图形，直线y=k（x1）与以A（3，2）、B（2，3）为端点的线段有公共点，就是直线落在阴影区域内，所以kPA=1；kPB=3；所求k的范围是1，3故答案为：1，3【点评】本题是基础题，考查直线的斜率的应用，斜率的求法，考查数形结合的思想，计算能力16一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积24【考点】由三视图求面积、体积 【专题】空间位置关系与距离【分析】根据三视图可判断几何体是一个一个正三棱柱，底面边长为4，高为2，再根据几何体求解面积【解答】解：三视图如图所示：根据三视图可判断几何体是一个一个正三棱柱，底面边长为2，高为2，表
23、面积：342+2（4）2=24+8；故答案为：24+8；【点评】本题考查了空间几何体的三视图，性质，面积公式，属于中档题三、解答题.本大题共6个小题，共70分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17求经过两直线2x3y3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y1=0垂直的直线方程【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系 【专题】直线与圆【分析】依题意，可求得两直线2x3y3=0和x+y+2=0的交点，利用所求直线与直线3x+y1=0垂直可求得其斜率，从而可得其方程【解答】解：由得交点（，） 又直线3x+y1=0斜率为3， 所求的直线与直线3x+y1=0垂直，所以所求直线的斜率
24、为， 所求直线的方程为y+=（x+），化简得：5x15y18=0【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，考查直线的点斜式方程，求得直线2x3y3=0和x+y+2=0的交点与斜率是关键，属于基础题18如图，已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，并且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=，求AB和CD所成角的大小【考点】异面直线及其所成的角 【专题】计算题；空间角【分析】连结BD，在BD上取点G，使BG：GD=1：2，连结EG、FG，利用线段成比例证出EGCD且FGAB，可得EG和FG所成的锐角（或直角）就是异面直线AB和CD所成的角分别算出EG、FG的
25、长，在EFG中利用余弦定理算出EGF=60，即可得出AB与CD所成的角的大小【解答】解：连结BD，在BD上取点G，使BG：GD=1：2，连结EG、FG，在BCD中，=，EGCD 同理可证：FGABEG和FG所成的锐角（或直角）就是异面直线AB和CD所成的角在BCD中，EGCD，CD=3，BG：GD=1：2，EG=1又在ABD中，FGAB，AB=3，FG：AB=2：3，FG=2在EFG中，EG=1，FG=2，EF=，由余弦定理，得，EGF=60，即EG和FG所成的锐角为60因此，AB与CD所成的角为60【点评】本题在特殊的空间四边形中求异面直线所成角大小着重考查了空间平行线的判定与性质、余弦定理
26、和异面直线所成角的定义与求法等知识，属于中档题19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，E是PC的中点（1）证明：PA平面EDB；（2）证明：平面PAC平面PDB【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】（1）欲证PA平面EDB，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面EDB内一直线平行，连接AC，交BD于O，连接EO，根据中位线定理可知EOPA，PA平面EDB，EO平面EDB，满足定理所需条件；（2）证明AC平面PBD，即可证明平面PAC平面PDB【解答】证明：（1）设AC与BD相
27、交于点O，则O为AC的中点E是P的中点，EOPA又EO平面EDB，PA平面EDB，PA平面EDB；（2）PO平面ABCD，PDAC又四边形ABCD为正方形，ACBD从而AC平面PBD，平面PAC平面PBD【点评】本题考查直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题20已知点A（1，2），B（0，1），动点P满足（）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；（）若点Q在直线l1：3x4y+12=0上，直线l2经过点Q且与曲线C有且只有一个公共点M，求|QM|的最小值【考点】轨迹方程 【专题】直线与圆【分析】1）设P点的坐标为（x，y），利用点A（
28、1，2），B（0，1），动点P满足，建立方程，整理即得点P的轨迹方程；（2）结合题意，|QM|最小时，|CQ|最小，当且仅当圆心C到直线的距离最小，利用勾股定理，求出|QM|就是最小值【解答】解：（）设P（x，y），则点A（1，2），B（0，1），动点P满足，化简（x1）2+y2=4；（）由题意，|QM|最小时，|CQ|最小，当且仅当圆心C到直线的距离最小，此时d=3，由勾股定理可得|QM|的最小值为=【点评】本题考查两点间距离公式及圆的性质，着重考查直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，考查计算能力，转化思想的应用，属于中档题21如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，（1）证明：BC1面A
29、1B1CD；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定 【分析】（1）要证BC1面A1B1CD；应通过证明A1B1BC1BC1B1C两个关系来实现，两关系容易证明（2）因为BC1平面A1B1CD，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，所以BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角在RTA1BO中求解即可【解答】解：（1）连接B1C交BC1于点O，连接A1O在正方体ABCDA1B1C1D1中因为A1B1平面BCC1B1所以A1B1BC1又BC1B1C，又BC1B1C=OBC1平面A1B1CD （2）因为BC1平面A1B1CD，所以A1
30、O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，所以BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角设正方体的棱长为a在RTA1BO中，A1B=a，BO=a，所以BO=A1B，BA1O=30，即直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30【点评】本题考查空间直线与平面垂直关系的判断，线面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力22（14分）已知圆C：（x1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B（1）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（2）当直线l的倾斜角为45时，求弦AB的长（3）设圆C与x轴交于M、N两点，有一动点Q使MQN=45试求动点Q的轨迹方程【考点】直
31、线和圆的方程的应用；直线的一般式方程；轨迹方程 【专题】计算题【分析】（1）由已知中圆C的标准方程，我们易确定圆心C的坐标，进而得到直线PC的斜率，然后根据弦AB被点P平分，我们易得l与直线PC垂直，利用点斜式易求出满足条件的直线l的方程；（2）当直线l的倾斜角为45时，斜率为1，由此我们可得到直线l的方程，代入点到直线距离公式，求出弦心距，然后根据弦心距，半弦长，半径构成直角三角形，满足勾股定理，得到弦AB的长（3）由圆C与x轴交于M、N两点，我们易求出M、N两点的坐标，然后根据动点Q使MQN=45，构造关于动点（x，y）的方程，整理即可得到动点Q的轨迹方程【解答】解（1）已知圆C：（x1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P与PC垂直，所以直线l的斜率为，直线l的方程为y2=（x2），即 x+2y6=0（2）当直线l的倾斜角为45时，斜率为1，直线l的方程为y2=x2，即 xy=0圆心C到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为（3）圆C与x轴交于M（2，0），N（4.0）两点tan45=1=1=x22x8+y2=6y或x22x8=6yQ点的轨迹方程是：（x1）2+（y3）2=18（y0），或（x1）2+（y+3）2=18（y0）【点评】本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，直线的一般式方程，轨迹方程，其中由于直线l过点P（2，2），故使用点斜式方程求解比较简便
