1、专题04 具有关于某点对称的函数的最值性质【方法点拨】1.若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)maxf(x)min0.2.关于某一点中心对称的函数在对称区间上的最值的解决方法同上，可以使用图象变换，转化为奇函数在对称区间上的最值问题. 一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且在D上有最值，则f(x)maxf(x)min2n.【典型题示例】例1 设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_.【答案】2【分析】本题解法较多，利用函数的奇偶性应当最为简单.将函数解析式适当作如下变形，设，显然为奇函数，由题意知其最大值、最小值一定存在，根据函数图象的对称性，最大值与最小值互为相反数，
2、其和为0，所以，本题应填2.【解析】显然函数f(x)的定义域为R，f(x)1，设g(x)，则g(x)g(x)，g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2答案：2.点评:1.本题欲求最大值与最小值的和，上述解法没有运用常规的求最值的基本工具，如：求导、基本不等式、单调性、反解等，而是充分利用函数的性质奇偶性，舍弃解析式其外在的“形”转而研究函数的“性”，这种策略和方法在解题中经常涉及.由于考生受定势思维的影响，此类题目多为考生所畏惧.2. 发现函数隐藏的单调性、对称性是解决此类问题之关键，对于单调奇
3、函数有下列性质：若单调奇函数f(x)满足f(a)f(b)0，则ab0.更一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且满足f(a)f(b)2n，则ab2m.例2 已知函数，则_【答案】【解析】因为所以,故答案为：.例3 已知，设函数，的最大值、最小值分别为，则的值为 .【答案】4039【分析】研究函数的对称性，利用函数（其中是奇函数）在对称区间上的最大值、最小值的和为.【解析】设则所以的图象关于点对称所以的图象关于点对称故的值为4039.【巩固训练】1.已知函数f(x)ln(3x)1，则f(lg 2)f()A.1 B.0 C.1 D.22已知定义在上的函数，则在上的最大值与最小值之和等于（
4、 ）ABCD3.已知函数的最大值为，最小值为，则的值为（ ）A0B1C2D34.已知函数在区间的值域为，则的值为_.5. 已知函数,在区间上的最大值为最小值为则_.【答案与提示】1.【答案】D【解析】令g(x)ln(3x)，xR，则g(x)ln(3x)，因为g(x)g(x)ln(3x)ln(3x)ln(19x29x2)ln 10，所以g(x)是定义在R上的奇函数.又lg lg 2，所以g(lg 2)g0，所以f(lg 2)fg(lg 2)1g12.2 【解析】根据题意，设，有，即函数为奇函数，其图象关于原点对称，则，则有，变形可得，所以，当时，函数的最大值与最小值之和等于.故选：C3.【解析】，令，即,而是在R上的奇函数，设其最大值为,最小值为，由奇函数性质可得，所以，故选择C4.【答案】2【分析】本题的难点在于发现函数内隐藏的奇偶性、对称性. 【解析】因为设，则为定义在上的单调递增函数所以在区间单增，且关于点（0,1）对称所以=2.5. 【答案】2【解析】. 令 ,且, 为奇函数,设其最大值为,则其最小值为,函数的最大值为,最小值为 , .故答案为:.
