1、高考大题专项练二高考中的三角函数与解三角形一、非选择题1.在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解:(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由题设知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.2.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知
2、b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若cos B=23,求cos C的值.答案:(1)证明由正弦定理,得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)解由cosB=23得sinB=53,cos2B=2cos2B-1=-19,故cosA=-19,sinA=459,所以cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=2227.3.在
3、ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD的面积是ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.解:(1)SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.(2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以A
4、C=1.4.在ABC中,a=7,b=8,cos B=-17.(1)求A;(2)求AC边上的高.解:(1)在ABC中,cosB=-17,B2,sinB=1-cos2B=437.由正弦定理得asinA=bsinB,即7sinA=8437,sinA=32.B2,A0,2,A=3.(2)在ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=32-17+12437=3314.如图所示,在ABC中,过点B作BDAC于点D.sinC=hBC,h=BCsinC=73314=332,AC边上的高为332.5.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin A=acosB-6.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解:(1)在ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,可得bsinA=asinB.又由bsinA=acosB-6,得asinB=acosB-6,即sinB=cosB-6,可得tanB=3.又因为B(0,),所以B=3.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=3,有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=7.由bsinA=acosB-6,可得sinA=37.因为a0,cosC=5-12.又B+C=2,sinB=5-12.
