1、第二章 函数第四讲 映射与函数1共 33 页回归课本2共 33 页1.设A,B是非空数集,如果按照某个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,则称f:AB为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),xA.其中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域;函数值y的集合f(x)|xA叫做函数的值域,函数的表示方法主要有列表法解析法图象法.两种类型非空数集上的对应是函数,一种是一对一型;一种是多对一型.f:AB中,B中可有多余元素,即f(x)|xAB;A中没有多余元素.3共 33 页函数的三要素是定义域对应关系值域;其中对应关系是核心;定义域与对应关系
2、确定值域,若定义域和对应关系完全相同,则两个函数是相同的函数.函数是特殊的映射,即非空数集A到非空数集B上的映射.4共 33 页2.设a,b是两个实数,且ab,规定:(1)满足axb的实数x的集合叫做闭区间,记为a,b;(2)满足axb的实数x的集合叫做开区间,记为(a,b);(3)满足axb或aa,xb,x1 B.k1C.k1 D.k1解析:由y=-x2+2x=-(x-1)2+1二次函数图象的对称性及映射概念知:对于kB,在集合A中存在两个不同的原象,则k0,解之得kb时,f(a-b)=1,原式化简为a.当ab时,f(a-b)=-1,原式化简为b.答案:D13共 33 页类型一映射与函数的概
3、念解题准备:准确理解这两个概念是正确解题的关键.【典例1】(2011东城)已知映射f:AB,其中A=B=R,对应法则f:y=x2-2x+3,xA,yB,对于集合B中的元素1,下列说法正确的是()A.在A中有1个原象B.在A中有2个原象C.在A中有3个原象D.在A中无原象14共 33 页解析 令y=1,则x2-2x+2=0无实根,故1在A中无原象.答案 D15共 33 页点评 象与原象是映射中的两个重要概念,象是B中的元素,原象是A中的元素.此题是用方程的思想求解的.16共 33 页探究1:(2011武汉)下列四个命题:从定义域到值域的映射是函数;f(x)=是函数;函数y=2x(xN)的图象是一
4、条直线;函数y的图象是抛物线.其中正确的个数是()A.1 B.2C.3 D.417共 33 页解析:由函数定义知正确;从表面现象看也正确,但是据考察其定义域为,这与函数定义中定义域为非空数集相悖,故不正确;的图象是直线y=2x上的满足定义域为自然数的一些不连续的点集,故不正确;是由两段抛物线组成,故不正确,综上可知正确的有1个.答案:A18共 33 页点评:函数是特殊的映射,特殊在定义域,值域都是非空数集,否则就不是函数.19共 33 页类型二分段函数与复合函数解题准备:1.分段函数若函数在定义域的不同子集上对应关系不同,可用几个式子来表示函数,这种形式的函数叫分段函数,它是一类重要函数.分段
5、函数是一个函数,而不是几个函数,它的连续与间断完全由对应关系来确定.对于分段函数,必须分段处理,时时刻刻注意定义域优先原则.20共 33 页2.复合函数若y是u的函数,u又是x的函数,即y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么y关于x的函数y=fg(x),x(a,b)叫做f和g的复合函数,u叫中间变量,u的取值范围是g(x)的值域.21共 33 页22共 33 页答案 223共 33 页点评 运用“分段函数分段处理”的思想求解.24共 33 页探究2:设则当x0时,fg(x)等于()A.-x B.-x2C.x2D.x25共 33 页解析:x0时,g(x)=-x20恒成立.32共 33 页快解:(1)f(0+0)=f(0)f(0),f(0)=0或f(0)=1.若f(0)=0,则存在x0,使对任意的xR有f(x+0)=f(x)f(0)=0,即f(x)=0,与条件矛盾,f(0)=1.33共 33 页
