1、数列专题考点题型难点强化精练一、单选题1（2021云南沧源佤族自治县民族中学高二期末）已知数列的前项积为，且满足，若，则为（ ）A-4BCD2（2021浙江高二期末）已知数列的前项和为，且，则（ ）ABCD3（2021辽宁东北育才学校高二期末）若等差数列的公差为，前项和为，记，则（ ）A数列是公差也为的等差数列B数列是公差为的等差数列C数列是公差为的等差数列D数列是公差为的等差数列4（2021广东潮阳高二期末）已知等差数列的前项和为，若，且，则的值为（ ）A7B8C14D165（2021北京海淀教师进修学校附属实验学校高二期末）周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、
2、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（ ）A1.5尺B2.5尺C3.5尺D4.5尺6（2021浙江高二期末）设公差不为的等差数列的前项和为，若，则（ ）ABCD7（2021江苏南京市第一中学高二期末）等比数列an中，每项均为正数，且a3a881，则log3a1log3a2log3a10等于（ ）A5B10C20D408（2021河南许昌高二期末（文）数列的首项，且，令，则（ ）A2020B2021C2022D20239（2021广西来宾高二期末（理）已知正项等比数列的
3、前项和为，且数列的前项和为，若对于一切正整数都有，则数列的公比的取值范围为（ ）ABCD10（2021广东广州高二期末）已知等比数列的前项积为，若，则当取最大值时，的值为（ ）A10B8C6D411（2021广东天河高二期末）已知各项均为正数的等比数列中，其前项和为，若成等差数列，则（ ）ABCD12（2021浙江衢州高二期末）已知等差数列满足：，则的最大值为（ ）A18B16C12D8二、多选题13（2021辽宁东北育才学校高二期末）已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）A若，则是等差数列B若，则是等比数列C若是等差数列，则D若是等比数列，则，成等比数列14（2021辽宁葫芦岛高二期末
4、）已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的为（ ）A数列是等比数列B数列是等比数列C数列的通项公式为D15（2021辽宁大连高二期末）已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则下列选项中正确的是（ ）ABC数列是递增数列D数列是递减数列16（2021江苏第一中学高二期末）设是数列的前项和，则下列说法正确的有（ ）A数列的前项和为B数列为递增数列C数列的通项公式为D数列的最大项为17（2021福建晋江市第一中学高二期末）已知数列满足，其前项和为，则下列结论中正确的有（ ）A是递增数列B是等比数列CD18（2021江苏海门市第一中学高二期末）设数列前项和，且，则（ ）A数列是等
5、差数列BCD三、填空题19（2021湖南长沙高二期末）记为等差数列的前n项和，若，则_20（2021湖北荆州高二期末）已知等差数列的公差为2，且成等比数列，是数列的前项和，则_.21（2021广西河池高二期末（理）已知等差数列和的前项和分别为和，若，则_22（2021河南新乡县一中高二期末（理）已知等比数列的各项均为正数，且_23（2021云南玉溪高二期末（理）如下图至图，作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每一个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，以此类推，如果我们用着色三角形代表挖去的部分，那么剩下的白三角形则称为谢尔宾斯基三角形，该
6、概念由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.下列4个图形中，若着色三角形的个数依次构成数列的前4项，则_.24（2021北京二十中高二期末）已知数列满足，下列说法正确的是_；都是整数；成等差数列；四、解答题25（2021浙江高二期末）已知数列的前n项和满足，且（1）求数列的通项公式；（2）设求数列的前n项和Tn26（2021浙江浙江高二期末）数列是等差数列，为其前n项和，且（）求数列的通项公式；（）设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和27（2021辽宁辽河油田第一高级中学高二期末）等差数列的公差d不为0，其中，成等比数列数列满足（1）求数列与的通项公式；（2）若，求数列的前n
7、项和28（2021浙江高二期末）若数列是公差为2的等差数列，数列满足b11，b22，且anbnbnnbn1.（1）求数列,的通项公式；（2）设数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切nN*恒成立，求实数的取值范围.29（2021河南高二期末（理）数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求.30（2021天津静海一中高二期末）已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，数列满足.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）设，求前项和；（4）设，的前项和，求；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参考答案1C【分析】由题知数列为周期数列，周期
8、为，进而根据周期性求解即可.【详解】解：由，解得，所以，所以.故选:C.2C【分析】不妨设，由题得或注意到或时，大小关系一样.所以只需讨论的情况.求出再比较得到，即得解.【详解】不妨设，则有（2）-（1）得，由（1）得或注意到或时，大小关系一样.所以只需讨论的情况.当时，因为，故.把代入（1）式，可得把代入（3）式，可得关于的方程设根据韦达定理，则上面方程两根可设为，且.由得，同理把代入（3）式，可得关于的方程设则上述方程的两根可以设为，且同理由于，因为，因为，即，所以.故选：C3C【分析】根据已知写出等差数列的通项公式与求和公式，从而可得，的表达式，进而由等差数列的函数特性即可对选项进行逐一
9、判断【详解】根据题意，故是关于的一次函数，数列是公差为的等差数列，故A、B错误；由是关于的一次函数，得数列是公差为的等差数列， C正确；又是关于的一次函数，则数列是公差为的等差数列，故D错误故选：C4B【分析】由等差数列性质求出，由等差数列前项可求得【详解】因为是等差数列，所以，解得：，所以，解得：故选：B5B【分析】利用等差数列通项公式和前项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果【详解】解：设数列为，首项为，公差为，则，解得，芒种日影长为故选：B6A【分析】设的公差为，根据等差数列的求和公式列方程可得，再由等差数列的通项公式可将和用表示，即可求解.【详解】设的公差为，因为，所以，整理
10、可得：，所以，所以，故选：A.7C【分析】由对数运算法则，等比数列的性质求解【详解】是等比数列，则，所以log3a1log3a2log3a10故选：C8C【分析】由题意得，结合已知有是首项、公比均为4的等比数列，进而得到，即可求目标式的值.【详解】，即且，数列是以4为首项，公比为4的等比数列，故，由得：，设数列的前项和为，则，故选：C9B【分析】本题首先可设，通过排除这种情况，再然后设，通过等比数列的求和公式即可得出、，最后根据、即可得出结果.【详解】因为等比数列是正项等比数列，所以，若，则，不满足题意；若，则，因为，所以若，则，故数列的公比的取值范围为，故选：B.10D【分析】设等比数列的公
11、比为，由已知求得，写出通项公式，然后求得积，确定在为偶数时，计算出（），再说明且为偶数时，即得【详解】解：设等比数列的公比为，则，解得，所以，所以，所以当取得最大值时，可得为偶数，而在上单调递减，；，则，且，当且为偶数时，所以，所以时，取得最大值故选：D11B【分析】根据基本量法，将所给条件转化为首项与公比的关系式，再结合等比数列的通项公式求解即可【详解】解：设的公比为成等差数列，即，化简得，解得或由已知，故选：B12C【分析】根据等差数列性质分析题中数列变化规律，计算得出结果.【详解】不为常数列，且数列的项数为偶数，设为则，一定存在正整数k使得或 不妨设，即， 从而得，数列为单调递增数列，且
12、，同理即，根据等差数列的性质，所以n的最大值为12，选项C正确，选项ABD错误故选：C.13BC【分析】根据（）；即可判断选项A、B；根据等差数列的性质易判断选项C；易举反例进行判断选项D【详解】当时，；（），不满足上式，所以数列不是等差数列，选项A错误；当时，,，且满足上式，所以此时数列是等比数列，选项B正确；根据等差数列的性质可知：；故选项C正确；当时，是等比数列，而，不能构成等比数列，选项D错误故选：BC14BD【分析】当时求出，再根据得到，即可判断A、B、C，再根据等比数列求和公式判断D；【详解】解：因为，当时，所以，当时，即，所以，所以，所以数列是等比数列，所以数列是等差数列，所以，
13、所以故正确的有B、D，故选：BD15AB【分析】由题意并结合等差数列前n项和的特征,可设:,其中k0对于A：直接求出 ，即可判断；对于B：直接求出 ，即可判断；对于C：举一个反例，当k0时，计算出 ，即可判断；【详解】由题意并结合等差数列前n项和的特征,可设:,其中k0对于A： ，故A正确；对于B：,故B正确；对于C：当k0时，所以不是递减数列,故D错误.故选：AB16ABD【分析】由已知数列递推式可得，结合，得数列为以1为首项，以1为公差的等差数列，求出其通项公式，可得，结合求数列的通项公式，然后逐一核对四个选项得答案【详解】解：由，得，即，又，数列为以1为首项，以1为公差的等差数列，则，可
14、得，故正确；当时，数列的最大项为，故错误，正确故选：17ACD【分析】将递推公式两边同时取指数，变形得到，构造等比数列可证为等比数列，求解出通项公式则可判断A选项；根据判断B选项；根据的通项公式以及对数的运算法则计算的正负并判断C选项；将的通项公式放缩得到，由此进行求和并判断D选项.【详解】因为，所以，从而，所以，所以，又，是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，即，又因为在时单调递增，在定义域内单调递增，所以是递增数列，故A正确；因为，所以，所以，所以，所以不是等比数列，故B错误.因为，而，从而，于是，故C正确.因为，所以，故D正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：数列单调性的一般判断步骤：
15、（1）先计算的结果，然后与比较大小（也可以计算的值，然后与比较大小，但要注意项的符号）；（2）下结论：若，则为递增数列；若，则为递减数列；若，则为常数列.18BCD【分析】利用与的关系求出数列的通项公式，可判断AB选项的正误；利用等比数列的求和公式可判断C选项的正误；利用裂项求和法可判断D选项的正误.【详解】对任意的，.当时，可得；当时，由可得，上述两式作差得，可得，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，A选项错误，B选项正确；，所以，C选项正确；，所以，D选项正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列
16、，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.1913【分析】由求得，然后由求得公差，再由通项公式得【详解】设数列的公差为，则，所以，所以故答案为：1320108【分析】先利用基本量代换求出首项，代入等差数列前n项和公式即可求解.【详解】设等差数列的公差为d，则d=2.因为成等比数列，所以，即，解得：，所以.故答案为：108.21【分析】根据等差数列的求和公式和性质即可求解.【详解】.故答案为：.22400【分析】根据同底数对数的加法运算，再根据等比数列的性质若则，即可将上式化为，再根据即可得出答案.【详解】解
17、：.故答案为：400.23【分析】依题意可得，且，再依次计算可得；【详解】解：依题意可知，且所以，故答案为：24【分析】根据，直接求得，由递推公式得，令，则有，从而的出数列的通项，从而可判断的对错.【详解】解：，故错误；因为，即则，两式相减得：，所以，令，则有，又，所以，所以，又因均为整数，所以都是整数，故正确；当n为奇数时，则为偶数，为奇数，即，即，所以成等差数列，故正确；因为，所以当为奇数时，所以当为偶数时，故错误.故答案为：.25（1）；（2）【分析】由数列的递推关系可得，整理可知为常数列，进而可得由可得，求出、，运用错位相减法求和【详解】解：（1）因为，所以，两式相减得，整理得，即，所
18、以为常数列，所以，所以（2）由（1）可得，所以，两式相减得：，化简得【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和26（）；（）.【分析】（）利用等差数列通项公式与前n项和公式，建立关于首项与公差的方程组，从而得到数列的通项公式；（）由题意可得，利用分组求和法及错位相减法即可得到结果.【详解】解：（）.设等差数列的公差是d.由得，. 由得， . 由解得.所以数列的通项公式为（II）. 由数列是首项为1，公比为2的等比数列，得，即.所以所以
19、, .-得, ,【点睛】本题考查等差数列通项公式及前n项和，考查数列的求和方法：分组求和与错位相减法，同时考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，属于中档题27（1）；（2）【分析】（1）根据和，成等比数列可列出关于公差的方程，求出公差的值，再结合，即可写出通项.根据前项和与第项的关系，由可求出，进而可求出；（2）利用“错位相减法”，可求出数列的前n项和.【详解】解：（1）由已知，又故解得（舍去），或故当时，可知当时，可知得又也满足，故当时，都有；（2）由（1）知故由得解得.【方法点睛】求数列的前项和常用的方法有：（1）公式法；（2）分组（并项）求和法；（3）倒序相加法；（4）错位相减法；（5
20、）裂项相消法.28（1）；（2）(2，3)【分析】（1）对于anbnbnnbn1.令n=1可求得a11，由等差数列的通项公式可求得an2n1进而anbnbnnbn1可变为2bnbn1，可得数列为等比数列，由等比数列的通项公式可求得bn2n1. （2）根据已知条件应先求得cn，由特点根据错位相减法可求得Tn4.则不等式(1)nTn，化为(1)n4，对n分奇数、偶数讨论，根据不等式恒成立可求实数的取值范围【详解】(1) 数列bn满足b11，b22，且anbnbnnbn1. n1时，a112，解得a11.又数列an是公差为2的等差数列，an12(n1)2n1. 2nbnnbn1，化为2bnbn1，数
21、列bn是首项为1，公比为2的等比数列.bn2n1.(2)由数列cn满足cn，数列cn的前n项和为Tn1， Tn，两式作差，得Tn12，Tn4.不等式(1)nTn，化为(1)n4，当n2k(kN*)时，4，取n2，3.当n2k1(kN*)时，2.综上可得：实数的取值范围是(2，3).【点睛】求等差数列、等比数列的通项公式、前n项和，应先求数列基本量首项和公差d与首项和公比q根据不等式恒成立，求参数的取值范围方法一，分离变量，转化为函数的最值问题；方法二，构造函数，求函数的最值29（1）；（2）【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比
22、错位相减法的应用求出数列的和【详解】解：（1）由题意，.由，得，-，得，所以又因为当时，上式也成立，所以数列的通项公式为.（2）由题意，所以， ， -，得从而.【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和30（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】（1）由题意得可以首项和公比从而得通项公式；由利用递推可得；（2） 时求得，将代入；时，将代入，综上可得答案； （3）利用错位相减先求前n项和为，再用公式求的和可得答案；（4）设利用裂项相消可得答案.【详解】（1）设的公比为，由题意得，解得，所以，由得，所以，整理得，令则，所以，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，通项公式为.（2）当时，将代入得，当时，将代入得，综上所述，.（3）由（1）知，前n项和为，所以，-得，所以，令，记的前2n项和为，.（4）设， 所以.36
