1、第一章过关检测(时间:90分钟满分:100分)知识点分布表知识点利用正、余弦定理解三角形判断三角形的形状与三角形面积有关的问题三角形中的有关计算综合应用实际应用问题相应题号1,7,11,155,162,3,176,8,124,9,1410,13,18一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.在ABC中,若sin Asin B,则A与B的大小关系为()A.ABB.AsinB,2RsinA2RsinB,即ab.AB.2.已知圆的半径为4,a,b,c为该圆的内接三角形的三边,若abc=162,则三角形的面积为()A.22B.82C.2D.22答案:C解析:asinA=bsinB=csi
2、nC=2R=8,sinC=c8,SABC=12absinC=116abc=116162=2.3.在ABC中,A=60,AC=16,面积S=2203,则BC长为()A.206B.75C.51D.49答案:D解析:由S=12ACABsinA=1216ABsin60=43AB=2203,解得AB=55.再用余弦定理求得BC=49.4.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若asinB+bsinA=2c,则A的大小是()A.2B.3C.4D.6答案:C解析:asinB+bsinA=2c,由正弦定理得2sinC=ab+ba2abba=2,当且仅当ab=ba时等号成立,sinC=1,C=2,A=
3、4.5.在ABC中,b=asin C,c=acos B,则ABC一定是()A.等腰三角形但不是直角三角形B.等边三角形C.直角三角形但不是等腰三角形D.等腰直角三角形答案:D解析:由c=acosB得,c=aa2+c2-b22ac,a2=b2+c2,ABC为直角三角形,b=asinC=aca=c,ABC是等腰直角三角形.6.钝角三角形的三边为a,a+1,a+2,其最大角不超过120,则a的取值范围是()A.0a3B.32a3C.2a3D.1aa+2,0a2+(a+1)2-(a+2)22a(a+1)-1232a0C.f(x)0D.f(x)0答案:B解析:由余弦定理可得f(x)=b2x2+2bcco
4、sAx+c2,=(2bccosA)2-4b2c2=4b2c2(cos2A-1)0,f(x)0.10.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于()A.30(3+1) mB.120(3-1) mC.180(2-1) mD.240(3-1) m答案:B解析:如图,DAB=15,tan15=tan(45-30)=tan45-tan301+tan45tan30=2-3.在RtADB中,又AD=60,DB=ADtan15=60(2-3)=120-603.在RtADC中,DAC=60,AD=60,DC=ADtan60=603.BC=DC
5、-DB=603-(120-603)=120(3-1)(m).河流的宽度BC等于120(3-1)m,故选B.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)11.设ABC的外接圆半径为4,且sin Bsin C+sin2B+sin2C=sin2A,则a=.答案:43解析:依题意,得bc+b2+c2=a2,即cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12,cosA=-12,A=120.又asinA=2R,a=2RsinA=24sin120=43.12.在锐角ABC中,BC=1,B=2A,则ACcosA=,AC的取值范围为.答案:2(2,3)解析:由正弦定理得ACsinB=BCsinA.B
6、=2A,BC=1,ACsin2A=1sinA.ACcosA=2.ABC是锐角三角形,02A90,30A45.又AC=2cosA,AC(2,3).13.如图,在山底测得山顶仰角CAB=45,沿倾斜角为30的斜坡走1 000 m至S点,又测得山顶仰角DSB=75,则山高BC为 m.答案:1 000解析:如图,SAB=45-30=15,又SBD=15,ABS=30.又AS=1000m,由正弦定理知BSsin15=1000sin30,BS=2000sin15.BD=BSsin75=2000sin15cos15=1000sin30=500(m),且DC=ST=1000sin30=500(m),从而BC=
7、DC+DB=1000(m).14.已知a,b,c分别为ABC的内角A,B,C的对边,向量m=(3,-1),n=(cos A,sin A).若mn,且acos B+bcos A=csin C,则角B=.答案:6解析:由mn,得3cosA-sinA=0,即A=3.由余弦定理及acosB+bcosA=csinC,有aa2+c2-b22ac+bb2+c2-a22bc=csinC,即2c2=2c2sinC,sinC=1,解得C=2,B=-2-3=6.三、解答题(本大题共4小题,15、16小题每小题10分,17、18小题每小题12分,共44分)15.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bs
8、in A=3acos B.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.解:(1)由bsinA=3acosB及正弦定理asinA=bsinB,得sinB=3cosB,所以tanB=3,所以B=3.(2)由sinC=2sinA及asinA=csinC,得c=2a.由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得9=a2+c2-ac.所以a=3,c=23.16.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.(1)求A的大小;(2)若sin B+sin C=1,试判断ABC的形状.解:(1)由已
9、知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,则a2=b2+c2+bc.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得cosA=-12.又A(0,180),A=120.(2)由(1)中a2=b2+c2+bc,结合正弦定理,可得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC=34.又sinB+sinC=1,sinB=sinC=12.0B60,0C60,B=C.ABC是等腰钝角三角形.17.已知a,b,c分别为ABC三内角A,B,C的对边,B=3,c=8,cos C=-17.(1)求b的值;(2)求ABC的面积.解:(1)cosC=-17,sinC=1-cos2C=437.csi
10、nC=bsinB,B=3,8437=b32,即b=7.(2)sinA=sin(-B-C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=32-17+12437=3314,SABC=12bcsinA=12873314=63.18.如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径,一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min,山路AC长为1 260
11、m,经测量,cos A=1213,cos C=35.(1)求索道AB的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解:(1)在ABC中,因为cosA=1213,cosC=35,所以sinA=513,sinC=45.从而sinB=sin-(A+C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=51335+121345=6365.由正弦定理得ABsinC=ACsinB,得AB=ACsinBsinC=1260636545=1040(m).所以索道AB的长为1040m.(2)假设乙出发t分钟后,甲
12、、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130tm,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t)1213=200(37t2-70t+50),因为0t1040130,即0t8,故当t=3537(min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理BCsinA=ACsinB,得BC=ACsinBsinA=12606365513=500(m).乙从B出发时,甲已走了50(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min,由题意得-3500v-710503,解得125043v62514,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应控制在125043,62514(单位:m/min)内.
