1、专题五：一元函数的导数及其应用-高二上学期数学考点题型难点期末高效复习高频考点梳理考点一导数与导函数(1)一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作，即f(x0) .(2)如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在开区间内的导函数记作f(x)或y.考点二导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0)考点三：基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0
2、f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)考点四：导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)考点五:复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积考点六：导数的应用1函数的单调性在某个
3、区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤：求f(x)；求方程f(x)0的根；考察f(x)在方程f(x)0的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减
4、，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值考点七：求不等式恒成立问题的方法（1）分离参数法若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.（2）数形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的
5、分布解决问题.（3）主参换位法把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.高频题型归纳题型一：导数的概念和几何意义问题1（2021黑龙江齐齐哈尔高二期末（理）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）Ay=2x+1By=2x+Cy=x+1Dy=x+2（2021吉林吉化第一高级中学校高二期末（理）若f(x0)3，则等于()A3B6C9D123（2021山东莱西高二期末）若曲线在点处的切线方程为，则（ ）A，B，C，D，题型二：导数的运算法则和复合函数求导4（2021内蒙古乌兰浩特
6、一中高二期末（理）已知函数，则的值为（ ）ABCD5（2021广东荔湾高二期末）下列求导运算正确的是（ ）ABCD6（2021江苏泰州高二期末）已知函数满足，则（ ）ABCD题型三：由函数的单调性求参数范围7（2021四川雅安高二期末（理）若在是增函数，则实数的取值范围为（ ）ABCD8（2021河南高二期末（理）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）ABCD9（2021陕西白水高二期末（理）若在上是减函数，则的取值范围是（ ）ABCD题型四：函数和导函数的图像关系10（2021广东天河高二期末）函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）A函数在上为减函数B函
7、数在上为增函数C函数在上有极大值D是函数在区间上的极小值点11（2021江苏鼓楼高二期末）如图是的导函数的图象，则下列四个判断中，正确的是（ ）A在上是增函数B在区间上是增函数C的最大值是D当时，取极小值12（2021重庆高二期末）函数的导函数的图象如图所示，则（ ）A是函数的极大值点B在区间上单调递增C是函数的最小值点D在处切线的斜率小于零题型五：函数的极值（点）问题13（2021西藏拉萨那曲高级中学高二期末（理）已知是的极值点，则在上的最大值是（ ）ABCD14（2021广东顺德高二期末）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD15（2021浙江高二期末）已知函数有两个不同的极
8、值点，若不等式恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD题型六：函数的最值问题16（2021浙江湖州高二期末）若存在正实数x，y使得不等式成立，则（ ）ABCD17（2021北京大兴高二期末）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（ ）ABCD18（2021四川资阳高二期末（理）函数，若，则的最小值为（ ）ABCD题型七：函数的单调性、极值和最值问题19（2021四川眉山高二期末（理）已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且，则（ ）AB在处取得极小值C在取得极大值D20（2021天津高二期末）已知函数在处取得极小值，且在区间上存在最小值，则的取值范围是（ ）ABCD21（20
9、21江西贵溪市实验中学高二期末（理）已知函数是定义在上的奇函数，当时，给出下列命题：当时，；函数有2个零点；的解集为；，都有.其中正确的命题是（ ）ABCD题型八：利用函数研究不等式恒成立问题22（2021河南高二期末（文）已知函数满足，若，则的取值范围为（ ）ABCD23（2021河南高二期末（理）已知函数若，使成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD24（2021山东莱西高二期末）已知是定义在上的单调函数，对于，均有，则“”是“在上恒成立”的（ ）A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件题型九：利用函数研究能成立问题25（2021四川宜宾高二期末（理）已知，若，使得成
10、立，则实数a的取值范围是（ ）ABCD26（2021辽宁阜新高二期末）已知，若对，使得，则a的取值范围是（ ）A2，5BCD27（2021广东阳江高二期末）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）ABCD题型十：利用函数研究零点问题28（2021吉林梅河口市第五中学高二期末（理）若函数有且只有一个零点，实数的取值范围是（ ）ABCD29（2021云南昆明高二期末（理）函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ）A或B或CD30（2021内蒙古赤峰高二期末）已知函数，若函数有唯一极值点，则实数的取值范围为（ ）ABCD题型十一：函数和函数的综合应用问题31（2021黑龙江哈尔滨市第三十
11、二中学校高二期末（理）已知函数f（x）x3ax2bxc在x与x1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对，不等式恒成立，求c的取值范围.32（2021西藏拉萨那曲高级中学高二期末（理）设函数.（1）若在点处的切线为，求a，b的值；（2）求的单调区间. 33（2021河南高二期末（理）已知函数（1）若，求曲线在点处的切线方程（2）若存在实数，使得有两个不同的零点，证明：34（2021河南高二期末（理）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，证明：在上恒成立；证明：对任意正整数，都有成立（其中为自然对数的底数）.11学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参
12、考答案1D【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.2D【分析】由于f(x0)3，而的形态与导数的定义形态不一样，故需要对转化成利用即可求解.【详解】f(x0)3，f(x0)3f(x0)4f(x0)12.答案：D【点睛】本题主要考察导数的定义和极限的运算，本题的难点在于要把极限化成导数定义的形态，需要对分式进行合
13、理变形.属于中等题.3D【分析】根据导数的几何意义，可求得切线斜率k，即可得a值，将切点坐标代入切线方程，可求得b值，即可得答案.【详解】由题意得，所以切线的斜率，所以，又切点在切线上，代入可得解得.故选：D4C【分析】先对函数求导，然后令，求出，从而可求出函数解析式，进而可求出的值【详解】因为，所以，令，得，所以，所以故选：C5C【分析】利用导数运算法则逐项判断【详解】对A,（x2+ln2）2x，A错；对B,（cosx2）sinx2（x2）2xsinx2，B错；对C， C对；对D, ，D错故选：C6B【分析】由题意可先求出，再求出的值，代入得出表达式代入即可.【详解】因为，所以，所以，得，所
14、以，所以.故选:B7B【分析】由题得在恒成立，即在恒成立，即得解.【详解】对求导得，因为若在是增函数，所以在恒成立，即在恒成立，所以.故选：B【点睛】本题主要考查导数的单调性问题和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8B【分析】根据函数的区间单调性，应用导数可得在上恒成立，构造并研究单调性即可求的取值范围.【详解】由，得，由在上单调递减，得在上恒成立，即在上恒成立.令，在上，在上单调递减，即，故的取值范围.故选：.9C【分析】先求，再将在上是减函数，转化为在上恒成立，而后分离参数求在上的最小值，可得实数的取值范围.【详解】由题知，.若在上是减函数，则在上恒成立，由得，当时
15、，所以.故选：C.10C【分析】根据导函数的正负与单调性的关系、极值点的关系判断即可【详解】解：由的图象可知，当时，则单调递增，当时，则单调递减，当时，则单调递增，又，所以当时，取得极大值故选：C11B【分析】根据导函数图象，判断导数值的符号从而可得函数的单调性，进而可得结果【详解】解：根据导函数图象可知，在上，在上是减函数，故错误；在上，单调递增，故B正确, C错误；在时单调递减，在时单调递增，在 时，取极小值，故D错误，故选：B12B【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点、最值点、切线斜率的正负【详解】根据导函数图象可知：当时，在时，函数在上单调递减，在
16、上单调递增，是函数的极小值点，故A错误，B正确；在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确；函数在处的导数大于，切线的斜率大于零，故D不正确.故选：B13A【分析】求得函数的导数，根据是的极值点，求得，进而求得函数单调性，结合的值，即可求得函数的最大值，得到答案.【详解】由题意，函数，可得，因为是的极值点，可得，解得，所以，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，由，又由，所以，所以当时，函数取得最大值，最大值为.故选：A.14D【分析】将问题转化为方程有三个根，令（），分析的单调性，作出的图像，结合函数图像可得答案【详解】解：因为函数有三个零点，所以方程有三个根，即方程
17、有三个根，令（），当时，则，当时，当时，所以在上递增，在上递减，所以当时，取得极大值，当时，当时，则， 所以在上递减，所以的大致图像如图所示，由图像可得当时，直线与的图像有三个交点，所以实数的取值范围是，故选：D15B【分析】求得导函数且，根据极值点可得，关于的表达式及的范围，由此可得关于的函数式，构造，则只需恒成立，利用导数研究的最值，即可求的取值范围.【详解】由题设，且，由有两个极值点，令，则在上有两个不等的实根，且，得.又，且，即，令且，要使题设不等式恒成立，只需恒成立，即递增，故，.故选：B【点睛】关键点点睛：先求导函数，根据极值点、韦达定理求，关于的表达式及的范围，再将题设不等式转化
18、为恒成立，最后利用导数研究最值求参数范围.16D【分析】一个不等式得到一个等式必定是两边取最值借助最值取等求，所以分别构造函数结合导数求最值即可得到答案【详解】解：记，当 时，；当 时，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，记，当 时，；当 时，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以由题意，又因为，所以，故故选：D.17B【分析】先根据单调性画出函数的大致图象，再数形结合建立不等式，解不等式可得答案【详解】解：令，则，令，解得；令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减又，作出函数的大致图象，结合图象，由题意可得，解得，所以实数的取值范围是，故选：18C【分析】由得出，构造函数，利用导数得出
19、其最值，进而得出的最小值.【详解】，即设，即函数在上单调递减，在上单调递增即，故的最小值为故选：C19B【分析】设对其求导可得，因此设可得，由可得的解析式，再利用导数判断单调性得极值可判断A、D，利用单调性比较大小可判断B、C，进而可得正确选项.【详解】设，则，所以，可得，所以，所以，所以，由可得，由可得，所以在单调递减，在单调递增， 对于A和D：因为在单调递减，在单调递增，所以，所以，故选项A、D不正确；对于B和C：因为在单调递减，在单调递增，在处取得极小值，故选项B正确，选项C不正确；故选：B.20D【分析】结合题意由在处取得极小值，求出的值，由在区间上存在最小值，求出的取值范围，即可计算
20、出结果.【详解】由题意函数在处取得极小值，则有，则，解得，又因为在区间上存在最小值，当或时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故函数的极小值为，令，则或，因为区间上存在最小值，则有，则有，则.故选：D21A【分析】对于，利用奇偶性求时的解析式即可判断；对于，直接求出零点即可判断；对于，直接解不等式，得到解集即可判断；对于，用导数判断单调性，结合图象求出的值域即可判断.【详解】解：函数定义在上的奇函数，当时，下面逐一判断：对于，当时，则，所以，整理得，故正确；对于，当时，由可得，即，故，又函数在处有定义，故，故函数有3个零点，故错误；对于，当时，则的解集为；当时，的解集为；
21、当时，成立.故的解集为，故错误；对于，当时，所以时，有，时，有，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以时取得最小值，且时，时，所以，即，可作大致图象如下，再根据对称性作时的大致图象，综上时，值域为，当时，值域为，而所以的值域为.故，都有，即，故，即正确.故选：A.【点睛】思路点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何联系，利用导数求切线斜率，再根据点斜式写切线方程(2)的利用导数求函数的单调区间，利用导函数的正负判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的
22、最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用22A【分析】由题设可得，可将问题转化为在上恒成立，构造，利用导数研究最值，即可求m的范围.【详解】，由、可得，.由，得恒成立，令，则.，即在上单调递增，.故选：A23A【分析】先求得的取值范围为.求得，对进行分类讨论，由的取值范围包含来求得的取值范围.【详解】当时，函数是减函数，所以；当时，若，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增；所以，所以，即，解得；若，则，在上单调递增，此时值域为，符合题意.当时，的值域为，不合题意.综上所述，实数的取值范围为.故选：A.【点睛】求解存在性、恒成立问题，可转化为求值域来进行求解.24A【
23、分析】令，由题可求得，得出，因为“在上恒成立”等价转化为对恒成立，利用导数求出的最大值，得到其充分必要条件，然后即可判断.【详解】令，则由，即，是的单调递增函数，且，“在上恒成立”等价于对于恒成立令，当时，单调递增；当时，单调递减,，故“在上恒成立”等价于是的充分不必要条件，“”是“在上恒成立”充分不必要条件，故选：A25A【分析】由，得，得，构造函数，求出其最小值，即可求出a的取值范围【详解】由，得，即，记，当时，单调递减；当时，单调递增，记，时，单调递减；当时，单调递增，.故选：A.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是合理构造函数，求出其最小值从而求出a的取值范围26A【分析】结合导数求得在
24、区间上的值域.结合二次函数的性质求得在上的值域，结合“任意、存在”列不等式，由此求得的取值范围.【详解】，所以在1，2递减，在（2，3递增，,可得的值域为，对称轴为，在1，3递增，可得的值域为，若对，使得，可得的值域为的值域的子集.则，且，解得，故选：A.27D【分析】把给定不等式转化为在上有解，构造函数，探讨该函数最大值即可得解.【详解】由，得，又关于的不等式在上有解，所以在上有解，即，令，则，设，则，即在上单调递增，则，于是有，从而得在上单调递增，因此，则，所以的取值范围是.故选：D【点睛】思路点睛：涉及不等式在给定区间上有解求参数范围问题，常常采用分离参数，构造函数，再求函数最值的思路来
25、解决问题.28C【分析】分析可知，直线与函数的图象有且只有一个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】，当时，由可得，令，其中，则.当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，又，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有且只有一个交点.故选：C.29A【分析】函数有且仅有一个零点，等价于函数在上只有一个交点，而当时幂函数和指数函数在上只有一个交点，满足题意，时，函数无零点，当时，由得，构造函数，利用导数求得，只要即可【详解】解：当时，函数有且仅有一个零点，等价于函数在上只有一个交点，因为
26、时，幂函数和指数函数在上只有一个交点，所以满足题意；当时，无零点 当时，由，得，令，由，得，令，得，当时，当时，所以在上递增，在上递减，所以，所以要函数有且仅有一个零点，只要，解得，综上，实数的取值范围是或，故选：A30A【分析】由函数有唯一极值点，可分析出在无实根.记，利用导数求出的最小值为，即可得到.【详解】函数的定义域为，.因为函数有唯一极值点，所以有唯一异号根，所以在无实根，即在无实根.记，则，令，得：；令，得：；所以在上单减，在上单增，所以的最小值为.要使在无实根，只需.故选：A【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，
27、再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解31（1），单调递增区间为和 ，单调递减区间为；（2）或【分析】（1）求出函数导数，由题可得即可求出；（2）求出在的最大值即可建立关系求解.【详解】（1），在与时都取得极值，解得，令可解得或；令可解得，的单调递增区间为和 ，单调递减区间为；（2），由（1）可得当时，为极大值，而，所以，要使对恒成立，则，解得或.32（1），；（2）答案见解析.【分析】（1）已知切线求方程参数，第一步求导，切
28、点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率.(2)第一步定义域，第二步求导，第三步令导数大于或小于0，求解析，即可得到答案.（1）的定义域为，因为在点处的切线为，所以，所以；所以把点代入得：.即a，b的值为：，.（2）由（1）知：.当时，在上恒成立，所以在单调递减；当时，令，解得：，列表得：x-0+单调递减极小值单调递增所以，时，的递减区间为，单增区间为.综上所述：当时，在单调递减；当时，的递减区间为，单增区间为.【点睛】导函数中得切线问题第一步求导，第二步列切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率这三个方程，可解切线相关问题.33（1）；（2）证明见解析.【分析】(1)求出函数的
29、导数，计算及，借助导数的几何意义即可求出切线方程；(2)由函数零点列式可得，构造函数证明，然后分析探求证成立即可.【详解】（1）当时，则，而，所以所求切线方程为，即；（2）函数定义域为，因存在实数，使有两个不同的零点，则，于是得，令，则，即在上单调递增，不妨设，因，则，即，因此，即有，于是得，要证，即证，只需证，就证，令，设，则，从而得在上单调递增，有，即，有，则成立，所以34（1）答案见解析；（2）证明见解析；证明见解析.【分析】（1）讨论参数a，利用导数研究的单调性即可.（2）将问题转化为在上恒成立，构造并利用导数求证在上恒成立，结论得证.由有，令，则有，放缩不等式左边， 应用裂项相消法求和，即可证结论.【详解】（1）的定义域为，.若，则，在上单调递减；若，则，在上单调递减；若，则有两个不等的实根：当时，故在上单调递增；当或时，故在，上单调递减.综上所述，时，在上单调递减；时，在上单调递增，在和上单调递减.（2）证明：若，则，不等式等价于.令，则，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减；即，在上恒成立，即在上恒成立.证明：由可知（当且仅当时等号成立），令，则.，即对任意正整数，都有成立.43
