1、高中数学青年基本功测试（一）第一部分选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的请将答案代号填在答题卷的相应位置上1已知点A（1，0）、B（1，3），向量，若，则实数k的值为A2 B1 C1 D22设，则下列关系中正确的是A B C D3已知圆被直线所截得的弦长为，则实数a的值为A0或4 B1或3 C2或6 D1或34已知为平面，命题p：若，则；命题q：若上不共线的三点到的距离相等，则对以上两个命题，下列结论中正确的是A命题“p且q”为真B命题“p或”为假C命题“p或q”为假D命题“”且“”为假5设，且，则等于A
2、 B C D6椭圆的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是A B C D Oxy7已知函数的大致图像如图所示，则函数的解 析式应为A BC D8设x，y满足约束条件则的取值范围为A B C D9如图，所在的平面和四边形所在的平面互相垂直，且， ，若，则点在平面内的轨迹是A圆的一部分 B椭圆的一部分C双曲线的一部分 D抛物线的一部分10已知满足方程，则的最大值是A4 B2 C D第二部分非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分 请将答案填在答题卷的相应位置上11等差数列有如下性质：若是等差数列，则数列也是等差数列类比上
3、述性质，相应地，若是正项等比数列，则数列_也是等比数列12已知集合，若，则m所能取的一切值构成的集合为 13在ABC中，若，则_ 14在四面体ABCD中，已知ABCD5，ACBD5，ADBC6则四面体ABCD的体积为 ；四面体ABCD外接球的面积为 区 学校 姓名 考号 答题卷 一、选择题答案（每小题5分，共50分）题号12345678910答案二、填空题答案（每小题5分，共20分）11 12. 13. 14. 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.15（本小题满分12分）已知向量，函数 （）求函数的最小值以及取得最小值时的值； （）求函数的单调递增区间1
4、6（本小题满分12分）箱中装有12张大小、重量一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到12中的一个号码，正面号码为的卡片反面标的数字是（卡片正反面用颜色区分）（）如果任意取出一张卡片，试求正面数字不大于反面数字的概率；（）如果同时取出两张卡片，试求他们反面数字相同的概率17（本小题满分14分）如图，在矩形ABCD中，AB2，BCa，又PA平面ABCD，PA4 （）若在边BC上存在一点Q，使PQQD，求a的取值范围；PABCDQ（）当边BC上存在唯一点Q，使PQQD时，求二面角APDQ的余弦值18（本小题满分14分）已知函数（，）（）求函数的极值；（）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围19（本
5、小题满分14分）已知点（x，y）在椭圆C：（的第一象限上运动（）求点的轨迹的方程；（）若把轨迹的方程表达式记为，且在内有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围20（本小题满分14分）已知正项数列的前项和，（）求数列的通项公式；（）定理：若函数在区间D上是凹函数，且存在，则当 时，总有请根据上述定理，且已知函数是上的凹函数，判断与的大小；（）求证：参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分 1B 2A 3D 4C 5D 6C 7A 8D 9B 10C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分 第14题的第一个空2分，第二个空3分11 12 1314；，三、解答题：1512
6、 2分 4分 6分（）当，即时，函数取最小值，函数的最小值是 9分（）当，即，时，函数单调递增，故函数的单调递增区间为（） 12分16（）由不等式，得或 3分由于，所以1，2，3，7，8，9，10，11，12即共有9张卡片正面数字不大于反面数字，故所求的概率为答：正面数字不大于反面数字的概率为 6分（）设取出的是第号卡片和号卡片（），则有 8分即，由，得 10分故符合条件的取法为1，8；2，7；3，6；4，5故所求的概率为 答：反面数字相同的概率为 12分17解法1：（）如图，连，由于PA平面ABCD，则由PQQD，必有 2分NMPABCDQ设，则，在中，有在中，有 4分在中，有即，即故的取值
7、范围为 6分（）由（）知，当，时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），使PQQD 8分过Q作QMCD交AD于M，则QMADPA平面ABCD，PAQMQM平面PAD过M作MNPD于N，连结NQ，则QNPDMNQ是二面角APDQ的平面角 10分在等腰直角三角形中，可求得，又，进而 12分故二面角APDQ的余弦值为 14分解法2：（）以为x、y、z轴建立如图的空间直角坐标系，则xyzPABCDQB（0，2，0），C（a，2，0），D（a，0，0），P（0，0，4）， 2分设Q（t，2，0）（），则 （t，2，4），（ta，2，0） 4分 PQQD，0即故的取值范围为 6分（）由（）知，当，时，
8、边BC上存在唯一点Q，使PQQD此时Q（2，2，0），D（4，0，0） 8分设是平面的法向量，由，得取，则是平面的一个法向量 10分而是平面的一个法向量， 12分由二面角APDQ的余弦值为 14分18当 2分令，得，或且， 6分（）当时，当变化时，、的变化情况如下表：000 8分 当时，在处，函数有极大值；在处，函数有极小值 10分（）要使函数有三个不同的零点，必须 12分解得当时，函数有三个不同的零点 14分19（）设点（，）是轨迹上的动点， 2分=，点（x，y）在椭圆C: （的第一象限上运动，则0，0 故所求的轨迹方程是（，） 6分（）由轨迹方程是（0，0），得（x0） 所以，当且仅当，即
9、时，有最大值 10分如果在开区间内有最大值，只有 12分此时， 解得椭圆C的离心率的取值范围是 14分20（）时，或由于是正项数列，所以当时， 整理，得由于是正项数列，数列是以1为首项，1为公差的等差数列 从而，当时也满足（） 4分（）由（）知对于上的凹函数，有根据定理，得6分整理，得令，得 8分，即 10分（）， 12分又由（），得（或） 14分高中数学青年基本功测试（二）一、 基础知识（30分）1、在创建解析几何学的过程中，法国数学家 笛卡尔 和费马做出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。2、我国齐梁时代的数学家祖冲之的儿子 祖暅 提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”这句话的大致意思
10、是 两等高的几何体若在所有等高处的水平切面的面积相等，则这两个几何体的体积相等 。3、在物理学中利用了三角函数“任意的正弦函数与余弦函数的 叠加 函数都可以化成或者的形式，而且周期不变”的结论，可以解释声波的共振现象。4、江苏省2010年高考说明对数学基本能力的考查主要包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、 数据处理 这五个能力。5、江苏省2010年高考说明对知识的考查要求依次为了解、理解、 掌握 三个层次（分别对应A、B、C）6、普通高中数学课程标准（试验）简称新课标中提出的三维目标是指：知识与技能、过程与方法、 情感态度与价值观 。二、 解题能力（90分）1、函数的单调增区间为 （
11、-。，1），(2, +。) 。2、设复数为纯虚数,则= 1 3、已知满足条件，则的取值范围是_3, 9_4、1200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在的汽车大约有 360 辆5、已知某算法的流程图如下图所示，则输出的结果是 5 开始输出结束否是0.040.020.01040 50 60 70 80 时速频率组距第4图第5图6、已知P和Q分别是函数和函数上关于直线对称的两点，则线段PQ长度的最小值为 7、(本题满分15分)试证明定理：在空间，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。8、(本题满分15分)ABC中，BC=10，AB=c，AC
12、=b，ABC=， 且（）求角A； （）试用（不含b，c）表示ABC的面积；试用b，c（不含）表示ABC的面积；（）求ABC面积的最大值9、(本题满分15分)某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f(x)=1-ax2 (a0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线切于点P，设OP（）将（O为坐标原点）的面积S表示成的函数；（）若在处，取得最小值，求此时的值及的最小值10、(本题满分15分) 将曲线绕原点逆时针旋转得曲线，分别运用中学选修4-2矩阵变换、选修4-4坐标系与参
13、数方程的知识，求曲线的方程。三、 教学设计 （80分）将曲线绕原点逆时针旋转得曲线，求曲线的方程。1、 评析上题并作拓展（至少阐述三点）（15分）2、 评讲上题时需运用高中数学新课程改革的哪些基本理念？（至少阐述三点）（15分）3、 针对上题设计一节（或片段）习题讲评课的教学设计（不等少于500字）（50分）参考答案一、 基础知识（30分）1、笛卡尔2、祖暅 、两等高的几何体若在所有等高处的水平切面的面积相等，则这两个几何体的体积相等3、叠加 4、数据处理 5、掌握 6、情感、态度和价值观二、 解题能力（90分）1、 2、1 3、3，9 4、360 5、5 6、7、已知：（略） 求证：（略）（
14、5分） 证明：（略）（详见必修2 P25 ）（10分） 8、（）（5分）（），（5分）（）（5分）9、（1），切线的斜率为，切线的方程为令得 ,令,得的面积 （7分）(2) ,由,得当时, 当时, 已知在处, ,故有故当时, （8分）10、 法一、根据矩阵知识，旋转变换，代入可得（8分）法二：根据极坐标知识，（7分）三、 教学设计（80分）1、该题源于4-2矩阵与变换，只要记住旋转矩阵 该题本质：找出变换前后新、旧坐标关系，因而既可以用直角坐标，也可以用极坐标一题多解、提高解题能力反思结论是双曲线标准方程，说明确实是双曲线变式：（i）求双曲线的焦点坐标。（先求的焦点坐标，再顺时针旋转可得）（ii）能否用其他方法证明是双曲线。（双曲线定义）（注：每个结论5分，其它答案酌情给分，但不超过15分）2、（i）提供多样课程、适应个性选择（ii）强调本质，注意适度形式化（iii）注意提高学生的思维能力（iv）倡导积极主动、勇于探索的学习方式（v）与时俱进地认识“双基”（注：每个结论5分，其它答案酌情给分，但不超过15分） 3、教学设计评分见附件二 （50分）
