1、沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习思想专题之数形结合思想教学目标 认识一些常见的数形结合题目的类型，并能熟练掌握用数形结合思想解决有关函数、方程、不等式、数列及解析几何问题 【解读：数形结合题型往往更多的出现在选择、填空题中，要求学生掌握一些常见的数形结合的题型，并且掌握用数形结合的方法去解决这些有关函数、方程、不等式、数列及解析几何的问题】知识梳理 1、 数形结合思想：所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结
2、合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。2、 数形结合思想常用来解决的一些问题有哪些？答：1构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5构建立体几何模型研究代数问题；6构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7构建方程模型，求根的个数；8研究图形的形状、位置关系、性质等。【解读：在讲解此块内容时，可以让学生自己回忆一些曾经做过的数形结合类的题目，并且询问学生是如何解决的，同时一起
3、回顾在用数形结合思想中所要用到的一些数学公式和定理，巩固学生的数学基础知识；对于这部分内容学生一般是回答不完整的，对于学生没有想到的可以在讲解完本专题之后，再由老师和学生一起把它补充完整】 典例精讲 例1. （） 已知函数是定义在上的奇函数，当时的图像如下图所示，那么不等式的解集是（ ）分析：函数定义在上，并且是奇函数，根据奇函数图像性质可知在上的图像如图所示，若使，只需与异号，即图像应分别分布在轴上下两侧，由图可知，有三个部分符合条件，即 【这个问题充分考察了函数的性质与数形结合思想的完美结合，注意作图的正确性】例2. （）已知函数满足下面关系：当时，则方程解的个数为（ ）个 个 个 个 分
4、析：判断方程的根的个数就是判断函数图像与的交点个数，画出两个函数的图像，由题意知是以为周期，值域为的函数，又，则易知两图像有九个交点，故方程有九个实数根 【求根的个数问题也是高考常考的一种题目类型，在讲解这个问题时，一定要帮助学生回顾常见的函数图像的画法，只有把函数图像画对了才能继续往下做】例3. （）当时，函数的最小值为（ ） 分析：，则为点与点两点连线的斜率，又点的轨迹方程为,即，如图，当过点的直线与椭圆相切时，有最小值 【此题是一个典型的数形结合思想在解析几何问题中的应用，如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常用的有：两
5、点连线的斜率；两点之间的距离；为直角三角形的三边对于这类问题一定要帮助学生回顾这些公式，并掌握如何使用】来源:学。科。网Z。X。X。K例4. （）设方程，试讨论取不同范围的值时其不同解的个数的情况110X11分析：我们可把这个问题转化为确定函数与图像交点个数的情况，因函数表示平行于轴的所有直线，从图像可以直观看出：来源:Zxxk.Com当时， 与没有交点，这时原方程无解;当时， 与有两个交点,原方程有两个不同的解;当时， 与有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；来源:学+科+网Z+X+X+K当时， 与有三个交点，原方程不同解的个数有三个；当时与有两个交点，原方程不同解的个数有三个来源:Z&
6、xx&k.Com【根的个数和参数的范围问题一直是考试喜欢考的问题之一，在讲解这题过程中要让学生体会到因为参数范围不同而产生的变化的过程】例5. （）方程的实根分别为，则 分析：本题直接求解不好求，观察题目，联想原函数和反函数的图像性质进行数形结合，令来源:Z|xx|k.Com互为反函数，其图像关于对称，设即 【本题利用了原函数与反函数的图像和性质，在讲解过程中要帮助学生复习与之相关的一些性质】例6. （）设，求的值。分析：设如图所示，则且所以，即 【本题把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义都表现了出来，讲解本题时一定要先和学生回顾复数的有关性质及几何意义】课堂检测1. （）
7、已知方程有个不相等的实根，则实数的取值范围。 解：作出的图像，画直线，由图像知当时，方程有4个不相等的实数根 2. （）已知设：函数在上单调递减，：不等式的解集为，如果与有且仅有一个正确，试求的取值范围。分析：由的结构，联想绝对值的几何意义，进行数形结合，以数助形可巧妙地确定的范围。避免繁琐的运算。：不等式的几何意义为：在数轴上求一点，使到的距离之和的最小值大于1，而到二点的最短距离为，即而：函数在上单调递减，即由题意可得： 3. （）已知，求的取值范围。分析：此题直接求解较难，数形结合联想直线的截距。结合直线与圆的位置关系即可求。可看作斜率为-2，过半圆上点的直线在轴上的截距，由图可知：即【
8、本题也可以用三角换元的思想去做，注意引导学生积极尝试】4. （）若z=满足约束条件，则Z的最大值和最小值分别为 解：17和11【线性规划文科生是文科生必须要掌握的一种题目类型，理科生不做要求】5. （）若复数，则的最大值为 分析：表示以原点为圆心，以为半径的圆，即满足的复数对应的点在圆上移动，（如下图）而表示复数与对应的两点的距离 由图形，易知，该距离的最大值为6. （）设，求证：分析：本题直接证明较繁！如能由的结构形式，联想到两点间的距离公式，数形结合，以形助数，则抓住了知识间的内在联系，解法新颖，巧妙简洁。不妨设，构造如图的，其中则在中，有【另解：表示平面上点到原点距离，则此外还有构造直线
9、、圆（主要涉及参数方程），比较简单，不加说明。】7. （）方程表示的曲线是 分析：直接化简较繁！如能联想到点到直线的距离公式，数形结合，以形助数，则简洁明了。原方程可化为：即动点到定点的距离与到定直线的距离相等方程表示的曲线是抛物线回顾总结 常见的应用数形结合思想的题目类型有哪些？在运用数形结合思想时我们需要注意的地方是？你知道绝对值和复数的几何意义吗？【答案：函数图像的交点问题、方程的实数根的个数问题、求特定函数的值域的问题、一元二次方程根的分布问题、复数相关的求值问题等。 准确画出满足题目条件的函数的图像是重中之中，同时还要注意特殊位置的取舍问题 绝对值的几何意义指的是数轴上的点和点之间的距离，复数同样在复平面内也是和点一一对应的，其实部、虚部分别对应横、纵坐标】
