1、考点规范练50二项式定理一、基础巩固1.(多选)下列关于(a-b)10的展开式的说法正确的是()A.展开式的二项式系数之和是1 024B.展开式的第6项的二项式系数最大C.展开式的第5项或第7项的二项式系数最大D.展开式的第6项的系数最小答案:ABD解析:由二项式系数的性质知C100+C101+C102+C1010=210=1024,故A正确;依题意,展开式中有11项,故二项式系数最大的项为中间项,即为第6项,故B正确,C错误;由展开式的通项Tr+1=C10ra10-r(-b)r=(-1)rC10ra10-rbr知,第6项的系数最小,为-C105,故D正确.2.设n为正整数,x-1xx2n的展
2、开式中存在常数项,则n的一个可能取值为()A.16B.10C.4D.2答案:B解析:因为x-1xx2n的展开式的通项公式为Tk+1=C2nkx2n-k-1xxk=C2nk(-1)kx4n-5k2,令4n-5k2=0,得k=4n5,所以n可取10.3.若(1+3)4=a+b3(a,b为有理数),则a+b等于()A.36B.46C.34D.44答案:D解析:(1+3)4=1+C413+C42(3)2+C43(3)3+(3)4=28+163,由题设可得a=28,b=16,故a+b=44.4.已知(1+x)10=a1+a2x+a3x2+a11x10,若数列a1,a2,a3,ak(1k11,kN*)是一
3、个单调递增数列,则k的最大值是()A.5B.6C.7D.8答案:B解析:由题意知an=C10n-1(n=1,2,3,11).因为(1+x)10的展开式中二项式系数最大的项是第6项,所以a6=C105最大,所以k的最大值为6.5.若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=()A.1B.32C.81D.243答案:D解析:令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243,即|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=243.6.(2021河北邯郸三模)“杨辉三角”是中国古代数学
4、文化的瑰宝之一,最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的解析九章算法一书中出现,欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律,比杨辉要晚近四百年.如图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,记第2行的第3个数字为a1,第3行的第3个数字为a2第n(n2)行的第3个数字为an-1,则a1+a2+a3+a10=()A.220B.186C.120D.96答案:A解析:a1+a2+a3+a10=C22+C32+C42+C112=C33+C32+C42+C112=C43+C42+C112=C53+C52+C112=C123=220.7.在2x-13x6的展开式中,有理项共有项,系数最小的项为.答案:4-6
5、4x32解析:2x-13x6的展开式的通项为Tr+1=C6r(2x)6-r-13xr=-13r26-rC6rx6-3r2.由6-3r2Z,得r=0,2,4,6,故有理项共4项.若项的系数最小,则r为奇数,即r=1或3或5.当r=1时,系数为-64;当r=3时,系数为-16027;当r=5时,系数为-481.故系数最小的项为T2=-64x32.8.已知Cn03n+Cn13n-1+Cn23n-2+Cnn-13+Cnn=1 024,则n=.答案:5解析:依题意,Cn03n+Cn13n-1+Cn23n-2+Cnn-13+Cnn=(3+1)n=4n=1024,解得n=5.9.(2021浙江,13)已知(
6、x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1=,a2+a3+a4=.答案:510解析:因为a1为展开式中x3的系数,所以a1=C30(-1)0+C41=5.令x=1,则有1+a1+a2+a3+a4=(1-1)3+(1+1)4=16,所以a2+a3+a4=16-5-1=10.10.(2021福建漳州高三二模)已知(x+1)6=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a6(x-1)6,则a4=.答案:60解析:(x+1)6=(x-1)+26,Tr+1=C6r(x-1)6-r2r,令6-r=4,则r=2,T3=C62(x-1)422=60(x-1)4,即a4=60.二、综
7、合应用11.已知1+ax2(1+x)6的展开式中各项系数的和为256,则该展开式中x3的系数为()A.26B.32C.38D.44答案:C解析:令x=1,可得1+ax2(1+x)6的展开式中各项系数的和为(1+a)26=256,解得a=3.故1+3x2(1+x)6的展开式中x3的系数为C63+3C65=38.12.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+a12x12,则a2+a4+a12=()A.256B.364C.296D.513答案:B解析:令x=1,得a0+a1+a2+a12=36,令x=-1,得a0-a1+a2-+a12=1,由+,可得a0+a2+a4+a12=36+12.令x=
8、0,得a0=1,故a2+a4+a12=36+12-1=364.13.在x+1xn的展开式中,各项系数的和为128,把展开式中各项重新排列,则有理项都互不相邻的概率为()A.435B.34C.314D.114答案:D解析:依题意,令x=1,可得各项系数的和为2n=128,解得n=7.故x+1x7的展开式的通项公式为Tr+1=C7rx7-3r2.由7-3r2Z,得r=0,2,4,6,故展开式中有4项为有理项,有4项为无理项.把展开式中各项重新排列,则有理项都互不相邻的排法有A44A54种,而所有的排法有A88种,故有理项都互不相邻的概率为A44A54A88=114.14.(多选)若(2x+1)10
9、=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a10(x+1)10,xR,则()A.a0=1B.ar=C10r210-r(-1)r,r=0,1,2,10C.a1+a2+a10=1D.(a0+a2+a10)2-(a1+a3+a9)2=310答案:AD解析:令x=-1,得a0=(-2+1)10=1,故A正确.由已知得(2x+1)10=-1+2(x+1)10,故ar=C10r(-1)10-r2r,r=0,1,2,10,故B错误.令x=0,得a0+a1+a2+a10=1,又a0=1,则a1+a2+a10=0,故C错误.令x=-2,得a0-a1+a2-+a10=310,则(a0+a2+a10)2-(a1+a
10、3+a9)2=(a0+a2+a10+a1+a3+a9)(a0+a2+a10-a1-a3-a9)=1310=310,故D正确.15.9192除以100的余数是.答案:81解析:因为9192=(90+1)92=C9209092+C9219091+C9290902+C929190+C9292=C9209092+C9219091+C9290902+8200+81,所以9192除以100的余数是81.16.(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7+(1+x)8的展开式中x2的系数为.答案:84解析:依题意,x2的系数为C22+C32+C42+C82=C93=84
11、.三、探究创新17.(多选)(2021广东茂名二模)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现,于是留下遗言:他死后,墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为m,圆柱的表面积与球的表面积之比为n,若f(x)=(mnx3-1x)8,则()A.f(x)的展开式中的常数项是56B.f(x)的展开式中的各项系数之和为0C.f(x)的展开式中的二项式系数的最大值是70D.f(i)=-16,其中i为虚数单位答案:BC解析:设内切球的半径为r,则圆柱的高为2r,所以m=r22r43r3=32,n=2r2+2r2r4r2=32,所以mn=1,所以f(x)=x3-1x8.对于A,f(x)的展开式的通项公式为Tr+1=C8rx24-3r-1xr=(-1)rC8rx24-4r,令24-4r=0,解得r=6,所以f(x)的展开式中的常数项为(-1)6C86=28,故A错误.对于B,f(1)=0,即f(x)的展开式中的各项系数之和为0,故B正确.对于C,f(x)的展开式中的二项式系数的最大值为C84=70,故C正确.对于D,f(i)=i3-1i8=(-i+i)8=0,故D错误.
