1、36第7章圆之证明切线的方法一、单选题1同学小明在用一副三角板画出了许多不同度数的角，但下列哪个度数他画不出来（）A15 B65 C75 D135【答案】B【解析】试题分析：一副三角板中有30，45，60和90，604515，304575，4590135，所以可画出15、75和135等，但65画不出故选B点睛：本题考查了角的和差运算，用一副三角板只能画出三角板上各个角的和差组成的角二、填空题2如图，AB是O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，若CE2，则图中阴影部分的面积为_【答案】【分析】结合题意，利用三角形边长关系，得出OAE、ODE、OBD、CDE都是等边三角形
2、，将阴影部分的面积转化为三角形的面积，然后利用扇形面积，建立等式，计算结果，即可.【详解】连接OE、OD，点D、E是半圆的三等分点，AOEEODDOB60OAOEODOBOAE、ODE、OBD、CDE都是等边三角形，ABDE，SODESBDE；图中阴影部分的面积S扇形OAESOAE+S扇形ODE=故答案为【点睛】考查圆综合问题，考查等边三角形的判定，关键将阴影部分面积转化为苛求的三角形面积，难度中等3如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体的侧面积为_cm2【答案】2【分析】结合题意，得出直径和母线的长度，发现侧面展开的图形是以2为半径的半圆，计算面积，即可【详解】解：由题意
3、得底面直径为2，母线长为2，几何体的侧面积为222，故答案为2【点睛】考查圆面积计算公式，关键得出侧面展开图形是一个半圆，难度中等4如图，AB是O的直径，AB13，AC5，则tanADC_【答案】【分析】结合勾股定理，计算BC的长度，利用圆周角定理，计算结果，即可【详解】解：AB为O直径，ACB90，BC12，tanADCtanB，故答案为:【点睛】考查勾股定理，考查圆周角定理，关键得出，计算结果，即可，难度中等5在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y=x+与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为_【答案】相切【详解】解：令y=x+=0，解得：x=，令x=0，解得：y=，直线y=x+与x轴
4、交于点A（，0），与y轴交于点B（0，），OA=，OB=，AB=设圆心到直线y=x+的距离为r，则r=1，半径为1，d=r，直线y=x+与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为相切，故答案为：相切【点睛】本题考查直线与圆的位置关系；坐标与图形性质三、解答题6如图，在中，C=90，以BC为直径的O交AB于点D，在线段AC上取点E，使A=ADE（1）求证：DE是O的切线；（2）若A=30，O的半径为2，求图中阴影部分的面积（结果保留）【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定
5、即可得证；（2）如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，再利用勾股定理可得，然后利用扇形的面积公式和三角形的面积公式即可得【详解】（1）如图，连接OD，又，即，点D在上，即OD为的半径，DE是的切线；（2）如图，过点O作于点H，为等边三角形，则阴影部分的面积为【点睛】本题考查了圆的切线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式等知识点，较难的是题（2），熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键7如图已知AB是O的直径，点C，D在O上，DC平分ACB，点E在O外，(1)求证：AE是O的切线；(2)求AD的长【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据圆周角定理可知，
6、由直径所对圆周角是90，可知和互余，推出和互余，和互余，从而证明结论（2）DC平分ACB可知，根据圆周角定理可知，是等腰直角三角形，AD的长是圆半径的倍，计算求出答案【详解】（1）和是所对圆周角，；AB是圆的直径，在中，AE是O的切线（2）如图：AB是圆的直径，DC平分ACB，是直角三角形；，【点睛】本题考查圆周角定理、勾股定理，熟练运用圆周角定理是解题关键8如图，在RtABC中，ACB=90，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的O分别交AC，BC于点M，N，过点N作NEAB，垂足为E，（1）若O的半径为，AC=6，求BN的长；（2）求证：NE与O相切【答案】（1）BN=4；（2）见解析【分
7、析】（1）由直角三角形的性质可求AB=10，由勾股定理可求BC=8，由等腰三角形的性质可得BN=4；（2）欲证明NE为O的切线，只要证明ONNE【详解】解：（1）连接DN，ONO的半径为，CD=5ACB=90，CD是斜边AB上的中线，BD=CD=AD=5，AB=10，BC=8CD为直径CND=90，且BD=CDBN=NC=4（2）ACB=90，D为斜边的中点，CD=DA=DB=AB，BCD=B，OC=ON，BCD=ONC，ONC=B，ONAB，NEAB，ONNE，NE为O的切线【点睛】本题考查切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型9如图，抛物线yx
8、2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于E，点D在第一象限，且在抛物线的对称轴上，DEOC，DM（1）求抛物线的对称轴方程；（2）若DADC，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一个动点，若在直线BM上只存在一个点Q，使PQC45，求点P的坐标【答案】（1）x5；（2）yx2x+4；（3）点P的坐标为（5，9）或（5，）【分析】（1）D点坐标（ ，c），M点坐标（， ）， ，化简求出b值；代入计算， 即是对称轴的方程（2）利用韦达定理求出AE，AEAB，AB；在R t 中， DEc，ADDC5，由勾股定理
9、得：AD2DE2+AE2，即可求解（3）作的外接圆，圆心点K 到点C、Q距离相等，构造一个含坐标参数的方程，线段KQ只有一个解，利用根的判别式，计算出P点坐标【详解】（1）OCc，DEOCc，点D在抛物线对称轴上，点D纵坐标为c，点M是抛物线顶点，点M的纵坐标为，则DMc（cb2）， ；解得b（舍去），或b，抛物线的对称轴为直线x=5；（2）由（1）可知抛物线的表达式为yx2x+c，令yx2x+c0，设A、B两点横坐标为xA、xB，则xA+xB10，xAxB4c，则AB，在Rt中，AEAB，DEc，ADDC5，由勾股定理得：AD2DE2+AE2， ，25c2+254c，化简得： ，解得c4，故
10、抛物线的表达式为yx2x+4；（3）如图，连接PQ、PC、QC，作的外接圆K，连接KP、KC，过点K作y轴的垂线，交y轴于点F，交抛物线的对称轴于点N，设点K的坐标为（m，n），点P（5，t），PQC45，故PKC90，且PKCKQK，FKC+NKP90，NKP+NPK90，FKCNPK，RtRt（AAS），CFNK，PNMK，4n5m，tnm，nm1，t2m1，故点K的坐标为（m，m1），点P的坐标为（5，2m1）由抛物线的表达式知，顶点M的坐标为（5，），点B的坐标为（8，0），由点B、M的坐标得，直线MB的表达式为yx6，设点Q的坐标为（r，r6），由KC2KQ2得，m2+（m14）2（
11、mr）2+（m1r+6）2，整理得：r2（m+）r+20m0，关于r的一元二次方程，直线BM上只存在一个点Q，r的解只有一个，（m+）2420m0，解得m5或，点P坐标（5，t），t2m1，当m5时，t9；当m时，t；故点P的坐标为（5，9）或（5，）【点睛】本题考查勾股定理，一元二次方程根的判别式，二次函数图像性质，圆与直线关系；涵盖知识点多，理解题中“直线BM上只存在一个点Q”隐含的条件，即的外接圆与直线BM相切，这是解决第三个问题的关键10如图，已知P是O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦ABOC，AOB=120，连接PB(1)求BC的长；(2)求证：PB是O的切线【答案】（1
12、）2；（2）见解析【分析】（1）由OA=OB，弦ABOC，易证得OBC是等边三角形，则可求得BC的长；（2）由OC=CP=2，OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得P=CBP，又由等边三角形的性质，OBC=60，CBP=30，则可证得OBBP，继而证得PB是O的切线【详解】解：（1）OA=OB，弦ABOC，AOC=BOC=12AOB=60，OB=OC，OBC是等边三角形，BC=OC=2；（2）证明：OC=CP，BC=OC，BC=CP，CBP=CPB，OBC是等边三角形，OBC=OCB=60，CBP=30，OBP=CBP+OBC=90，OBBP，点B在O上，PB是O的切线【点睛】本题考查了
13、切线的判定，等边三角形的判定与性质要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可11如图，AB为O的直径，且AB4，DBAB于B，点C是弧AB上的任一点，过点C作O的切线交BD于点E连接OE交O于F（1）求证：ADOE；（2）填空：连接OC、CF，当DB 时，四边形OCEB是正方形；当DB 时，四边形OACF是菱形【答案】（1）见解析；（2）4，BD4【分析】（1）连接OC、BC，由AB为O的直径，DBAB于B，推出DB是O的切线，进而证明OEBC，ACBC，即可得出结论；（2）若四边形OCEB是正方形，CEBEOBOCAB2，由（1）可证，得到DEBE2，B
14、DBE+DE4即可求出；若四边形OACF是菱形，则OAAC，又OAOC，于是OAC为等边三角形，A60，在RtABD中，由tanA，即可求得BD【详解】（1）证明：连接OC、BC，如图1，AB为O的直径，DBAB于B，DB是O的切线，CE与O相切于点C，BECE，点E在BC的垂直平分线上，OBOC，点O在BC的垂直平分线上，OEBC，ACB90，即ACBC，ADOE；（2）如图2，若四边形OCEB是正方形，AB4，CEBEOBOCAB2，OEAC，DEBE2，BDBE+DE4，故答案为：4；若四边形OACF是菱形，CO平分ACF，CFOA，ACOFCOAOC，OAOC，AACOAOC，AOC是
15、等边三角形，A60，ABD90，RtABD中，tanA，BD4，故答案为：4；【点睛】本题是圆综合题，正方形的性质，菱形的性质，以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握圆的相关性质以及菱形和正方形的性质是解题的关键12如图，在RtABC中，C90，AD是BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作O（1）尺规作图：作出O（不写作法与证明，保留作图痕迹）；（2）求证：BC为O的切线【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析【分析】（1）因为AD是弦，所以圆心O即在AB上，也在AD的垂直平分线上，作AD的垂直平分线，与AB的交点即为所求；（2）因为D在圆上，所以只要能证明ODBC就说明BC为O的
16、切线【详解】解：（1）如图所示，O即为所求；（2）证明：连接ODOAOD，OADODA，AD是BAC的角平分线，CADOAD，ODACAD，ODAC又C90，ODB90，BC是O的切线【点睛】本题主要考查圆的切线，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键13如图，在O 中，点D在直径AB的延长线上，点C、E在O上，CECB，BCDCAE，延长AE、BC交于点F(1) 求证：CD是O的切线；(2) 若BD1，CD，求线段EF的长【答案】（1）详见解析；（2）【分析】（1）连OC，根据切线的判定，证明；（2）设半径为r，在用勾股定理列式求出半径，过O作OHAE于H，证明，利用对应边成比例列式求出AH
17、，由垂径定理得到AE，最后用AF-AE求得EF长【详解】（1）连OC，OAOC，OACOCA，AB为直径，ACB90，CECB，CAEOAC，BCDCAE，BCDOCA，OCDBCDOCBOCAOCB90，OC是O半径，CD是O的切线； （2）设O的半径为r，在RtOCD中，OCCDOD，即：r2()2(r1)2，解得r，由（1）得，CABCAF，ACBF，AFAB1，过O作OHAE于H，则AHEH，CECB，EABCOB，即，AH，AE2AH，EFAFAE1【点睛】本题考查的是圆的综合题，涉及切线的证明和相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握这些性质定理结合题目条件进行证明14如图，在AB
18、C中，ABAC，BAC120，点D在BC边上，D经过点A和点B且与BC边相交于点E（1）求证：AC是D的切线；（2）若CE2，求D的半径【答案】（1）见解析；（2）D的半径AD2【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到B=C=30，BAD=B=30，求得ADC=60，根据三角形的内角和得到DAC=180-60-30=90，于是得到AC是D的切线；（2）连接AE，推出ADE是等边三角形，得到AE=DE，AED=60，求得EAC=AED-C=30，得到AE=CE=2，于是得到结论【详解】（1）证明：连接AD，ABAC，BAC120，BC30，ADBD，BADB30，ADC60，DAC180
19、603090，AC是D的切线；（2）解：连接AE，ADDE，ADE60，ADE是等边三角形，AEDE，AED60，EACAEDC30，EACC，AECE2，D的半径AD2【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键15如图，已知是的直径，与的两直角边分别交于点、，点是弧的中点，连接（1）求证：直线是的切线；（2）若，求的值【答案】（1）见解析；（2）tanCAF=【分析】（1）连结OF，BE，由题意易得BECD，再由点F是中点可求证OFCD，问题得证；（2）由题意易得OFDACD，然后利用相似三角形的性质进行求解AC的长，然后利用勾
20、股定理及线段比例关系进行求解即可【详解】（1）证明：连结OF，BE，AB是O的直径，AEB=90，C=90，AEB=ACD，BECD， 点F是弧BE的中点，OFBE，OFCD， 直线DF是O的切线； （2）解：C=OFD=90，ACOF，OFDACD， ，BD=1，OB=2，OD=3，AD=5，OF=2,， CD=， ，tanCAF=【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系及解直角三角形，关键是根据题意得到切线，然后根据相似三角形的性质及勾股定理进行求解三角函数即可16已知为O直径，、为上两点，连接交于点，点为延长线上一点，且，（1）求证：为O切线（2）若，且，求的值【答案】（1）见解析；（2）
21、【分析】（1）连接、，根据，且，得到为正三角形，得到，设可得，则有，可求出，则有，可证为O切线；（2）连接，作、，根据，可得，得到，设，根据，则有，可得，根据，可解得，则，根据为正三角形得到，根据得到，可有，可得，则，利用可得结果【详解】解：（1）连接、，且为正三角形又设则又，为O切线（2）连接，作、，易知，设，则，由上式，又由（1）可知，解得或又，又，为正三角形，【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定与性质，三角函数等知识，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键17如图1，CD是O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EFBC，交
22、BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FEFG（1）求证：EF是O的切线；（2）如图2，连接BE，求证：BE2BGBF；（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tanF，BC5，求DM的值【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【分析】（1）根据已知得出GCH+CGH=+=90，而FEO=FEG+CEO=+=90，即可求解；（2）CBA=F，故F=CEB，而FBE=GBE，故FEBEGB，即可求解；（3）在RtBCH中，BC=5，tanCBH=tan= 则sin=，cos=，CH=BCsin=， 同理HB=，设圆的半径为r，则OB2=OH2+BH2，求出r的值，解Rt
23、CDE求得FG，继而得出答案【详解】（1）连接OE，则OCEOEC，FEFG，FGEFEG，H是AB的中点，CHAB，GCHCGH90，FEOFEGCEO90，EF是O的切线；（2）CHAB，CBACEB，EFBC，CBAF，故FCEB，FBEGBE，FEBEGB，；（3）如图2，过点F作FRCE于点R，设CBACEBGFE，则tan，EFBC，FECBCG，故BCG为等腰三角形，则BGBC5，在RtBCH中，BC5，tanCBHtan，则sin，cos，CHBCsin53，同理HB4；设圆的半径为r，则OB2OH2BH2，即r2（r3）2（4）2，解得：r；GHBGBH54，tanGCH，则
24、cosGCH，则tanCGH3tan，则cos，连接DE，则CED90，在RtCDE中cosGCH，解得：CE，在FEG中，cos，解得：FG；FHFGGH，HMFHtanF；CMHMCH，MDCMCDCM2r【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质、三角函数值的知识，切线的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键，综合性较强18如图，在RtABC中，ABC90，以AB为直径作O，D为O上一点，且CDCB，连接DO并延长交CB的延长线于点E（1）判断直线CD与O的位置关系，并说明理由；（2）若BE4，OE5，求AC的长【答案】（1）CD与O相切理由见解析；（2）AC6【分析】（1）连
25、接OC，如图，根据SSS可证CODCOB，于是可得CDOCBO90，进而可得结论；（2）根据勾股定理可得BO的长，进而可得DE的长，易证EOBECD，然后根据相似三角形的性质可求出CD的长，即为CB的长，再在RtABC中利用勾股定理求解即可【详解】解：（1）CD与O相切理由如下：连接OC，如图，在COD和COB中，CO=CO，OD=OB，CD=CB，CODCOB（SSS），CDOCBO90，ODCD，CD为O的切线；（2）在RtOBE中，OE5，BE4，OB3，DEOE+OD8，OEBCED，OBECDE，EOBECD，OB：CDEB：ED，即3：CD4：8，CD6，CB6，在RtABC中，A
26、B6，BC6，AC【点睛】本题考查了圆的切线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，涉及的知识点多，但难度不大，熟练掌握上述知识是解题的关键19已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点与交于点，点为的延长线上一点，且（1）求证：是的切线；（2）求证：【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出ODBABC，再证出ABCDBF90，即OBD90，即可得出BD是O的切线；（2）连接AC，由垂径定理得出，得出CAEECB，再由公共角CEAHEC，证明CEHAEC，得出对应边成比例，即可得出结论【详解】（1）证明：，又，即，是的
27、切线；（2）证明：连接，如图所示：，【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识，正确得出CEHAEC是解题关键20如图，已知的直径为，于点，与相交于点，在上取一点，使得（1）求证：是的切线；（2）填空：当，时，则_连接，当的度数为_时，四边形为正方形【答案】（1）详见解析；（2）10；【分析】（1）连接OD，证明，得到，根据切线的判定定理证明；（2）利用等腰三角形的性质证明E是AC中点，再利用中位线定理得到，再用勾股定理求出OE，从而得到BC；添加条件，先通过四个边相等的四边形是菱形，证明四边形AODE是菱形，再加上一个直角就是正方形了【详解】解：（1）证明：如图，连接，在和中，OD是半径，DE是的切线；（2）证明：，,，即E是AC中点，O是AB中点，在中，BC=2OE=10，故答案是：10；当时，四边形AODE为正方形，证明：，是等腰直角三角形，AB=AC，由（2）得AO=AE，AO=DO=AE=DE，四边形AODE是菱形，四边形AODE是正方形，故答案是：【点睛】本题考查切线的证明，三角形中位线定理，正方形的证明，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理并结合题目条件进行证明
