1、20212022学年高三年级期末试卷(启东、通州)数学(满分：150分考试时间：120分钟)20221一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. ()2 022()A. 1 B. i C. 1 D. i2. 已知集合Ax，Bx，则(RA)B()A. 0，2) B. 1，0 C. (1，0 D. (，1)3. 若二项式()6的展开式中常数为160，则a的值为()A. 2 B. 2 C. 4 D. 44. 甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3.竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分
2、第一名，则下列说法错误的是()A. 第二名、第三名的总分之和为29分或31分B. 第二名的总分可能超过18分C. 第三名的总分共有3种情形D. 第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名5. 梅森素数是指形如2p1的素数，其中p也是素数(质数)，如271127是梅森素数，21112389不是梅森素数长期以来，数学家们在寻找梅森素数的同时，不断提出一些关于梅森素数分布的猜测，1992年中国学者周海中提出一个关于梅森素数分布的猜想，并首次给出其分布的精确表达式，被数学界命名为“周氏猜测”已知在不超过20的素数中随机抽取2个，则至少含有1个梅森素数的概率为()A. B. C. D. 6. 已知alog
3、0.20.02，blog660，cln 6，则()A. cba B. bac C. cab D. acb7. 在正三棱锥PABC中，D是棱PC上的点，且PD2DC.设PB，PC与平面ABD所成的角分别为，则sin sin ()A. B. C. D. 8. 函数yx广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中x为不超过实数x的最大整数，例如：2.13，3.13.已知函数f(x)log2x，则f(1)f(3)f(5)f(2101)()A. 4 097 B. 4 107 C. 5 119 D. 5 129二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，
4、全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 下列命题正确的是()A. 若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B独立B. 已知随机变量X的方差为V(X)，则V(2X3)4V(X)C. 已知随机变量X服从二项分布B(n，)，若E(3X1)6，则n5D. 已知随机变量X服从从正态分布N(1，2)，若P(X3)0.6，则P(1X1)0.210. 已知点A(4，3)在以原点O为圆心的圆上，B，C为该圆上的两点，满足，则()A. 直线BC的斜率为 B. AOC60C. ABC的面积为 D. B，C两点在同一象限11. 已知函数f(x)A sin (x)(A0，0)的图象如图所示，则()A. B.
5、 f(x)是偶函数C. 当x，时，f(x)的最大值为1D. 若f(x1)f(x2)2(x1x2)，则|x1x2|的最小值为12. 已知函数f(x)ekx，g(x)，其中k0，则()A. 若点P(a，b)在f(x)的图象上，则点P(b，a)在g(x)的图象上B. 当ke时，设点A，B分别在f(x)，g(x)的图象上，则AB的最小值为C. 当k1时，函数F(x)f(x)g(x)的最小值小于D. 当k2e时，函数G(x)f(x)g(x)有3个零点三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知单位向量a，b，c满足cab，则bc_14. 若1，则的一个可能角度值为_15. 已知椭圆C：1
6、(ab0)的上顶点与抛物线C：x22py(p0)的焦点F重合，P为C与C的一个公共点若C的离心率为，且PF2，则p_16. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，设三棱锥ABDC的外接球和内切球的半径分别为r1，r2，球心分别为O1，O2.若正方形ABCD的边长为1，则_，O1O2_四、 解答题：本题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分10分)从以下3个条件中选择2个条件进行解答BA3，BC，A60.在ABC中，已知_，D是边AC的中点，且BD，求AC的长及ABC的面积18. (本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，满足a1
7、2，2(SnSn1)6an1.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设Sn的最大值为M，最小值为m，求Mm的值19.(本小题满分12分)如图，C，D分别是以AB为直径的半圆O上的点，且满足BCCDDA，PAB为等边三角形，且与半圆O所成二面角的大小为90，E为PA的中点(1) 求证：DE平面PBC；(2) 求二面角ABED的余弦值20. (本小题满分12分)当今时代，国家之间的综合国力的竞争，在很大程度上表现为科学技术水平与创新能力的竞争特别是进入人工智能时代后，谁掌握了核心科学技术，谁就能对竞争对手进行降维打击我国自主研发的某种产品，其厚度越小，则该种产品越优良，为此，某科技研发团队经过较长
8、时间的实验研发，不断地对该产品的生产技术进行改造提升，最终使该产品的优良厚度达到领先水平并获得了生产技术专利(1) 在研发过程中，对研发时间x(月)和该产品的厚度y(nm)进行统计，其中17月的数据资料如下：x(月)1234567y(nm)99994532302421现用ya作为y关于x的回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并估计该产品的“理想”优良厚度约为多少？(2) 某企业现有3条老旧的该产品的生产线，迫于竞争压力，决定关闭并出售生产线现有以下两种售卖方案可供选择： 直接售卖，则每条生产线可卖5万元； 先花20万元购买技术专利并对老旧生产线进行改造，使其达到生产领先水平后再售卖已
9、知在改造过程中，每条生产线改造成功的概率均为，若改造成功，则每条生产线可卖20万元；若改造失败，则卖价为0万元请判断该企业应选择哪种售卖方案更为科学？并说明理由参考公式和数据：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线vu中的斜率和纵截距的最小二乘法估计的计算公式为设z，zi，z0.37，y50，21. (本小题满分12分)已知双曲线C：1(a0，b0)的两条渐近线方程为yx，直线l交C于A，B两点(1) 若线段AB的中点为(1，3)，求l的方程；(2) 若以线段AB为直径的圆过坐标原点O，且O到l的距离为，求C的方程22. (本小题满分12分)已知函数f(x)si
10、n xtan xax22x.(1) 当a0时，试判断并证明f(x)在(，)上的单调性；(2) 当x(0，)时，f(x)0，求实数a的取值范围20212022学年高三年级期末试卷(启东、通州)数学参考答案及评分标准1. C2. B3. B4. C5. A6. A7. D8. B9. BC10. ABD11. AC12. ACD13. 14. 50(答案不唯一)15. 316. 2217. 解：选：由D是边AC的中点，可得()，所以2(222).(2分)因为BA3，BC，BD，所以7(9723cos ABC)，解得cos ABC.(4分)在ABC中，由余弦定理，得AC2BA2BC22BABCcos
11、 ABC，即AC297234，所以AC2.(7分)又sin ABC，所以ABC的面积S3.(10分)选：在ABD中，由余弦定理，得BD2AB2AD22ABADcos A，设ADCDx，因为BA3，BD，A60，可得79x223x cos 60，(4分)解得x1或x2，所以AC2或AC4.(6分)当AC2时，ABC的面积S32；当AC4时，ABC的面积S343.(10分)选：设ADCDm，ABn，在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos A，在ABD中，由余弦定理，得BD2AB2AD22ABADcos A，(4分)因为BC，BD，A60，所以解得m1，n3，即AC2，AB3.
12、(8分)所以ABC的面积S32.(10分)18. 解：(1) 由2(SnSn1)6an1，得n2时，2(Sn1Sn)6an，两式相减，得2(anan1)an1an(n2)，所以3an1an，即(n2).(3分)因为a12，2(a1a1a2)6a2，解得a2，所以，所以(nN*)，所以an是首项为2，公比为的等比数列所以an2()n1.(6分)(2) 由(1)可得Sn1()n.(8分)当n为偶数时，Sn1()n，Sn；当n为奇数时，Sn1()n，Sn2，当n2时，Sn取最小值，当n1时，Sn取最大值2，所以Mm2.(12分) 19. (1) 证明：取PB的中点F，连接EF，FC，DC，OC，OD
13、.因为，所以AODDOCCOB60.因为OAODOCOB，所以BCDCODOB，所以四边形ODCB是平行四边形，所以DCOB.(2分)因为E为PA的中点，F为PB的中点，所以EFOB，且EFOB，所以EFDC，EFDC，所以四边形EFCD是平行四边形，所以DECF.(4分)因为DE平面PBC，CF平面PBC，所以DE平面PBC.(6分)(2) 解：连接OP，在半圆O内过O作AB的垂线OG.因为PAB为等边三角形，O为AB的中点，所以OPAB.因为平面PAB与半圆O所成二面角的大小为90，平面PAB半圆OAB，所以OP半圆O，所以OPOA，OPOG.所以以，为一组基底建立如图所示的平面直角坐标系
14、Oxyz.设AB2，则B(1，0，0)，E(，0，)，D(，0)，所以(，0，)，(，0).(8分)设平面BDE的法向量n1(x，y，z)，则n1，n1，所以取x1，则yz，即n1(1，).(10分)取平面ABE的一个法向量n2(0，1，0)，则cos n1，n2.因为二面角ABED为锐二面角，所以二面角ABED的余弦值为.(12分)20. 解：(1) 100，(2分)aybz501000.3713，所以y13100z，所以y关于x的回归方程为y13.(4分)所以可以估计该产品的“理想”优良厚度约为13 nm.(5分)(2) 方案，3条生产线的卖价共为X15万元；方案，设3条生产线的卖价共为Y
15、万元，则Y的取值可能为0，20，40，60万元(7分)P(Y0)()3，P(Y20)C()()2，P(Y40)C()2()，P(Y60)()3，所以E(Y)020406045(万元).(10分)因为E(Y)2025X，所以该企业应选择方案售卖更为科学(12分)21. 解：(1) 因为双曲线C的两条渐近线方程为yx，所以，即a2b2，(2分)所以双曲线C的方程为3x2y2b2.显然直线l的斜率存在，设l的方程为ykxm，联立方程组消y得(3k2)x22kmx(m2b2)0.由得(*)(4分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由线段AB的中点为(1，3)，则解得k1，m2，符合(*)式，所以l
16、的方程为yx2.(6分)(2) 当直线l的斜率存在时，由(1)知，由以线段AB为直径的圆过坐标原点O，所以OAOB，即x1x2y1y20，所以x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m20，即0，所以2m2(k21)b2.(8分)因为O到l的距离为，所以b23，所以C的方程为x21.(10分) 当直线l的斜率不存在时，根据对称性知，OAB为等腰直角三角形，不妨设A(，)，代入3x2y2b2，得b23，所以C的方程为x21.综合可知，C的方程为x21.(12分)22. 解： (1) 当a0时，f(x)sin x2x，所以f(x)cos x2.(1分)因为x(，)，所以c
17、os x(0，1，于是f(x)cos x2cos2x20(等号当且仅当x0时成立).所以函数f(x)在(，)上单调递增(4分)(2) 令p(x)sin xx，则p(x)cos x1.当x(0，)时，p(x)0，所以p(x)在(0，)上单调递减又p(0)0，所以p(x)0，故x(0，)时，sin xx. (*)(6分) 当a0时，f(x)sin xtan x2x，由(1)得f(x)在(0，)上单调递增，又f(0)0，所以f(x)0.(8分) (解法1)当a0时，f(x)sin xtan x2xax2tan xxax2.令g(x)tan xxax2，则g(x)tan2x2ax，所以g(x)2ax(
18、x2a cos2x).令h(x)x2a cos2x，得h(x)14a cosx sin x0，所以h(x)在(0，)上单调递增又h(0)0，h()0，所以存在t(0，)使得h(t)0，即x(0，t)时，h(x)0，所以x(0，t)时，g(x)0，g(x)单调递减又g(0)0，所以g(x)0，即x(0，t)时，f(x)0，与f(x)0矛盾综上，满足条件的m的取值范围是(，0.(12分)(解法2)当a0时，f(x)sin x(1)ax22xx(ax1).当a1时，f(1)a1a11a0，不符合题意；当0a1时，cos acos 1，于是f(a)a(a21)(1cos aa2cos a).而1cos aa2cos a2sin2a2cos aa2cos aa2(cos a)0，所以f(a)0，不符合题意综上，满足条件的m的取值范围是(，0.(12分)
