1、2017年上海市嘉定区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1函数y=2sin2（2x）1的最小正周期是2设i为虚数单位，复数，则|z|=3设f1（x）为的反函数，则f1（1）=4 =5若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是6设等差数列an的前n项和为Sn，若=，则=7直线（t为参数）与曲线（为参数）的公共点的个数是8已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为9若，则满足f（x）0的x的取值范围是10
2、某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为11设等差数列an的各项都是正数，前n项和为Sn，公差为d若数列也是公差为d的等差数列，则an的通项公式为an=12设xR，用x表示不超过x的最大整数（如2.32=2，4.76=5），对于给定的nN*，定义C=，其中x1，+），则当时，函数f（x）=C的值域是二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13命题“若x=1，则x23x+2=0”的逆否命题
3、是（）A若x1，则x23x+20B若x23x+2=0，则x=1C若x23x+2=0，则x1D若x23x+20，则x114如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、E是AB的三等分点，G、N是CD的三等分点，F、H分别是BC、MN的中点，则四棱锥A1EFGH的左视图是（）ABCD15已知ABC是边长为4的等边三角形，D、P是ABC内部两点，且满足，则ADP的面积为（）ABCD16已知f（x）是偶函数，且f（x）在0，+）上是增函数，若f（ax+1）f（x2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A2，1B2，0C1，1D1，0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相
4、应位置写出必要的步骤17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ab=2，c=4，sinA=2sinB（）求ABC的面积；（）求sin（2AB）18如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=8，BC=5，AA1=4，平面截长方体得到一个矩形EFGH，且A1E=D1F=2，AH=DG=5（1）求截面EFGH把该长方体分成的两部分体积之比；（2）求直线AF与平面所成角的正弦值19如图，已知椭圆C：（ab0）过点，两个焦点为F1（1，0）和F2（1，0）圆O的方程为x2+y2=a2（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1且斜率为k（k0）的动直线l与椭圆C交于A、B两点，与圆O交于
5、P、Q两点（点A、P在x轴上方），当|AF2|，|BF2|，|AB|成等差数列时，求弦PQ的长20如果函数y=f（x）的定义域为R，且存在实常数a，使得对于定义域内任意x，都有f（x+a）=f（x）成立，则称此函数f（x）具有“P（a）性质”（1）判断函数y=cosx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，求出所有a的值的集合；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；（2）已知函数y=f（x）具有“P（0）性质”，且当x0时，f（x）=（x+m）2，求函数y=f（x）在区间0，1上的值域；（3）已知函数y=g（x）既具有“P（0）性质”，又具有“P（2）性质”，且当1x1时，g（x）=
6、|x|，若函数y=g（x）的图象与直线y=px有2017个公共点，求实数p的值21给定数列an，若满足a1=a（a0且a1），对于任意的n，mN*，都有an+m=anam，则称数列an为指数数列（1）已知数列an，bn的通项公式分别为，试判断an，bn是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列an满足：a1=2，a2=4，an+2=3an+12an，证明：an是指数数列；（3）若数列an是指数数列，（tN*），证明：数列an中任意三项都不能构成等差数列2017年上海市嘉定区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在
7、答题纸的相应位置直接填写结果1函数y=2sin2（2x）1的最小正周期是【考点】H1：三角函数的周期性及其求法【分析】利用二倍角公式基本公式将函数化为y=Acos（x+）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，【解答】解：函数y=2sin2（2x）1，化简可得：y=1cos4x1=cos4x；最小正周期T=故答案为2设i为虚数单位，复数，则|z|=1【考点】A8：复数求模【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：复数=i，则|z|=1故答案为：13设f1（x）为的反函数，则f1（1）=1【考点】4R：反函数【分析】根据反函数的性质，原函数的值域是反函数的定义域即可求解【解答
8、】解：的反函数，其反函数f1（x），反函数的性质，反函数的定义域是原函数的值域，即可得：x=1，f1（x）=1故答案为14 =3【考点】8J：数列的极限【分析】通过分子分母同除3n+1，利用数列极限的运算法则求解即可【解答】解： =3故答案为：35若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是30【考点】MI：直线与平面所成的角【分析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l=2R，进而解母线与底面所成角，然后求解母线与轴所成角即可【解答】解：设圆锥的底面半径为R，母线长为l，则：其底面积：S底面积=R2，其侧面积：S侧面积=2Rl=Rl，圆锥的侧面积是其底面积的2倍，l=2
9、R，故该圆锥的母线与底面所成的角有，cos=，=60，母线与轴所成角的大小是：30故答案为：306设等差数列an的前n项和为Sn，若=，则=【考点】85：等差数列的前n项和【分析】=，可得3（a1+4d）=5（a1+2d），化为：a1=d再利用等差数列的求和公式即可得出【解答】解：=，3（a1+4d）=5（a1+2d），化为：a1=d则=故答案为：7直线（t为参数）与曲线（为参数）的公共点的个数是1【考点】QK：圆的参数方程；QJ：直线的参数方程【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，再将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=，求出圆心到直
10、线的俄距离，分析可得直线与圆相切，即可得直线与圆有1个公共点，即可得答案【解答】解：根据题意，直线的参数方程为，则其普通方程为x+y6=0，曲线的参数方程为，则其普通方程为（x3）2+（y5）2=2，该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=，圆心到直线x+y6=0的距离d=r，则圆（x3）2+（y5）2=2与直线x+y6=0相切，有1个公共点；故答案为：18已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的焦点坐标，利用渐近线的倾斜角的关系，列出方程，然后求解即可【
11、解答】解：双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，焦点坐标（2，0）双曲线C1的一条渐近线为：y=，倾斜角为30，C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，可得C2的渐近线y=可得，c=2，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：故答案为：9若，则满足f（x）0的x的取值范围是（1，+）【考点】7E：其他不等式的解法【分析】由已知得到关于x的不等式，化为根式不等式，然后化为整式不等式解之【解答】解：由f（x）0得到即，所以，解得x1；故x的取值范围为（1，+）；故答案为：（1，+）；10某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和现安排甲组研发新产品A，乙组
12、研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式【分析】利用对立事件的概率公式，计算即可，【解答】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和则P（B）=（1）（1）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1P（B）=，故至少有一种新产品研发成功的概率故答案为11设等差数列an的各项都是正数，前n项和为Sn，公差为d若数列也是公差为d的等差数列，则an的通项公式为an=【考点】84：等差数列的通项公式【分析】由题意可得：Sn
13、=na1+dan0. = +（n1）d，化简n1时可得：a1=（n1）d2+2dd分别令n=2，3，解出即可得出【解答】解：由题意可得：Sn=na1+dan0=+（n1）d，可得：Sn=a1+（n1）2d2+2（n1）dna1+d=a1+（n1）2d2+2（n1）dn1时可得：a1=（n1）d2+2dd分别令n=2，3，可得：a1=d2+2dd，a1=2d2+2dd解得a1=，d=an=+（n1）=故答案为：12设xR，用x表示不超过x的最大整数（如2.32=2，4.76=5），对于给定的nN*，定义C=，其中x1，+），则当时，函数f（x）=C的值域是【考点】57：函数与方程的综合运用【分析
14、】分类讨论，根据定义化简Cxn，求出Cx10的表达式，再利用函数的单调性求出Cx10的值域【解答】解：当x，2）时，x=1，f（x）=C=，当x，2）时，f（x）是减函数，f（x）（5，）；当x2，3）时，x=2，f（x）=C=，当x2，3）时，f（x）是减函数，f（x）（15，45；当时，函数f（x）=C的值域是，故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13命题“若x=1，则x23x+2=0”的逆否命题是（）A若x1，则x23x+20B若x23x+2=0，则x=1C若x23x+2=0，则x1D若x
15、23x+20，则x1【考点】25：四种命题间的逆否关系【分析】根据逆否命题的定义，我们易求出命题的逆否命题【解答】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题：若x23x+20，则x1故选：D14如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、E是AB的三等分点，G、N是CD的三等分点，F、H分别是BC、MN的中点，则四棱锥A1EFGH的左视图是（）ABCD【考点】L7：简单空间图形的三视图【分析】确定5个顶点在面DCC1D1上的投影，即可得出结论【解答】解：A1在面DCC1D1上的投影为点D1，E在面DCC1D1的投影为点G，F在面DCC1D1上的投影为点C，H在面DCC1D1上的投影为点
16、N，因此侧视图为选项C的图形故选C15已知ABC是边长为4的等边三角形，D、P是ABC内部两点，且满足，则ADP的面积为（）ABCD【考点】9V：向量在几何中的应用【分析】以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系由于等边三角形的边长为4，可得B，C的坐标，再利用向量的坐标运算和数乘运算可得，利用APD的面积公式即可得出【解答】解：以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系等边三角形的边长为4，B（2，2），C（2，2），由足= （2，2）+（2，2）=（0，），=（0，）+（4，0）=（，），ADP的面积为S=|=，故选：A16已知f（x）是偶函数，且f（x）在0，+）上
17、是增函数，若f（ax+1）f（x2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A2，1B2，0C1，1D1，0【考点】3N：奇偶性与单调性的综合【分析】因为偶函数在对称区间上单调性相反，根据已知中f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+）上是增函数，易得f（x）在（，0）上为减函数，又由若时，不等式f（ax+1）f（x2）恒成立，结合函数恒成立的条件，求出时f（x2）的最小值，从而可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围【解答】解：f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+）上是增函数，f（x）在（，0）上为减函数，当时，x2，1，故f（x2）f（1）=f（1），若时，不等式f（ax+
18、1）f（x2）恒成立，则当时，|ax+1|1恒成立，1ax+11，a0，2a0，故选B三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ab=2，c=4，sinA=2sinB（）求ABC的面积；（）求sin（2AB）【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用【分析】解法一：（I）由已知及正弦定理可求a，b的值，由余弦定理可求cosB，从而可求sinB，即可由三角形面积公式求解（II）由余弦定理可得cosA，从而可求sinA，sin2A，cos2A，由两角差的正弦公式即可求sin（2AB）的值解法二：（I
19、）由已知及正弦定理可求a，b的值，又c=4，可知ABC为等腰三角形，作BDAC于D，可求BD=，即可求三角形面积（II）由余弦定理可得cosB，即可求sinB，由（I）知A=C2AB=2B从而sin（2AB）=sin（2B）=sin2B，代入即可求值【解答】解：解法一：（I）由sinA=2sinBa=2b又ab=2，a=4，b=2 cosB= sinB= SABC=acsinB= （II）cosA=sinA= sin2A=2sinAcosA=2cos2A=cos2Asin2A= sin（2AB）=sin2AcosBcos2AsinB= 解法二：（I）由sinA=2sinBa=2b又ab=2，a
20、=4，b=2 又c=4，可知ABC为等腰三角形 作BDAC于D，则BD= SABC=（II）cosB= sinB= 由（I）知A=C2AB=2B sin（2AB）=sin（2B）=sin2B=2sinBcosB =2=18如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=8，BC=5，AA1=4，平面截长方体得到一个矩形EFGH，且A1E=D1F=2，AH=DG=5（1）求截面EFGH把该长方体分成的两部分体积之比；（2）求直线AF与平面所成角的正弦值【考点】MI：直线与平面所成的角；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）由题意，平面把长方体分成两个高为5的直四棱柱，转化求解体积推出结果即可
21、（2）解法一：作AMEH，垂足为M，证明HGAM，推出AM平面EFGH通过计算求出AM=4AF，设直线AF与平面所成角为，求解即可解法二：以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面一个法向量，利用直线AF与平面所成角为，通过空间向量的数量积求解即可【解答】（本题满分，第1小题满分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，平面把长方体分成两个高为5的直四棱柱，所以，（2）解法一：作AMEH，垂足为M，由题意，HG平面ABB1A1，故HGAM，所以AM平面EFGH 因为，所以SAEH=10，）因为EH=5，所以AM=4 又，设直线AF与平面所成角为，则所以，直线AF
22、与平面所成角的正弦值为 解法二：以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（5，0，0），H（5，5，0），E（5，2，4），F（0，2，4），故，设平面一个法向量为，则即所以可取 设直线AF与平面所成角为，则 所以，直线AF与平面所成角的正弦值为 19如图，已知椭圆C：（ab0）过点，两个焦点为F1（1，0）和F2（1，0）圆O的方程为x2+y2=a2（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1且斜率为k（k0）的动直线l与椭圆C交于A、B两点，与圆O交于P、Q两点（点A、P在x轴上方），当|AF2|，|BF2|，|AB|成等差数列时，求弦PQ的长【考点】KH：直线
23、与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系【分析】（1）求出c=1，设椭圆C的方程为，将点代入，解得a2=4，然后求解椭圆C的方程（2）由椭圆定义，|AF1|+|AF2|=4，|BF1|+|BF2|=4，通过|AF2|，|BF2|，|AB|成等差数列，推出 设B（x0，y0），通过解得B，然后求解直线方程，推出弦PQ的长即可【解答】（本题满分，第1小题满分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，c=1，设椭圆C的方程为，将点代入，解得a2=4（舍去），所以，椭圆C的方程为 （2）由椭圆定义，|AF1|+|AF2|=4，|BF1|+|BF2|=4，两式相加，得|AB|+
24、|AF2|+|BF2|=8，因为|AF2|，|BF2|，|AB|成等差数列，所以|AB|+|AF2|=2|BF2|，于是3|BF2|=8，即 设B（x0，y0），由解得，（或设，则，解得，所以）所以，直线l的方程为，即，圆O的方程为x2+y2=4，圆心O到直线l的距离，此时，弦PQ的长 20如果函数y=f（x）的定义域为R，且存在实常数a，使得对于定义域内任意x，都有f（x+a）=f（x）成立，则称此函数f（x）具有“P（a）性质”（1）判断函数y=cosx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，求出所有a的值的集合；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；（2）已知函数y=f（x）具
25、有“P（0）性质”，且当x0时，f（x）=（x+m）2，求函数y=f（x）在区间0，1上的值域；（3）已知函数y=g（x）既具有“P（0）性质”，又具有“P（2）性质”，且当1x1时，g（x）=|x|，若函数y=g（x）的图象与直线y=px有2017个公共点，求实数p的值【考点】57：函数与方程的综合运用【分析】（1）根据题意可知cos（x+a）=cos（x）=cosx，故而a=2k，kZ；（2）由新定义可推出f（x）为偶函数，从而求出f（x）在0，1上的解析式，讨论m与0，1的关系判断f（x）的单调性得出f（x）的最值；（3）根据新定义可知g（x）为周期为2的偶函数，作出g（x）的函数图象，
26、根据函数图象得出p的值【解答】解：（1）假设y=cosx具有“P（a）性质”，则cos（x+a）=cos（x）=cosx恒成立，cos（x+2k）=cosx，函数y=cosx具有“P（a）性质”，且所有a的值的集合为a|a=2k，kZ （2）因为函数y=f（x）具有“P（0）性质”，所以f（x）=f（x）恒成立，y=f（x）是偶函数 设0x1，则x0，f（x）=f（x）=（x+m）2=（xm）2 当m0时，函数y=f（x）在0，1上递增，值域为m2，（1m）2 当时，函数y=f（x）在0，m上递减，在m，1上递增，ymin=f（m）=0，值域为0，（1m）2 当时，ymin=f（m）=0，值域
27、为0，m2m1时，函数y=f（x）在0，1上递减，值域为（1m）2，m2 （3）y=g（x）既具有“P（0）性质”，即g（x）=g（x），函数y=g（x）偶函数，又y=g（x）既具有“P（2）性质”，即g（x+2）=g（x）=g（x），函数y=g（x）是以2为周期的函数 作出函数y=g（x）的图象如图所示：由图象可知，当p=0时，函数y=g（x）与直线y=px交于点（2k，0）（kZ），即有无数个交点，不合题意 当p0时，在区间0，2016上，函数y=g（x）有1008个周期，要使函数y=g（x）的图象与直线y=px有2017个交点，则直线在每个周期内都有2个交点，且第2017个交点恰好为，所
28、以同理，当p0时，综上，21给定数列an，若满足a1=a（a0且a1），对于任意的n，mN*，都有an+m=anam，则称数列an为指数数列（1）已知数列an，bn的通项公式分别为，试判断an，bn是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列an满足：a1=2，a2=4，an+2=3an+12an，证明：an是指数数列；（3）若数列an是指数数列，（tN*），证明：数列an中任意三项都不能构成等差数列【考点】8B：数列的应用【分析】（1）利用指数数列的定义，判断即可；（2）求出an的通项公式为，即可证明：an是指数数列；（3）利用反证法进行证明即可【解答】（1）解：对于数列an，因为a3=a1+
29、2a1a2，所以an不是指数数列 对于数列bn，对任意n，mN*，因为，所以bn是指数数列 （2）证明：由题意，an+2an+1=2（an+1an），所以数列an+1an是首项为a2a1=2，公比为2的等比数列 所以所以，=，即an的通项公式为（nN*） 所以，故an是指数数列 （3）证明：因为数列an是指数数列，故对于任意的n，mN*，有an+m=anam，令m=1，则，所以an是首项为，公比为的等比数列，所以， 假设数列an中存在三项au，av，aw构成等差数列，不妨设uvw，则由2av=au+aw，得，所以2（t+4）wv（t+3）vu=（t+4）wu+（t+3）wu，当t为偶数时，2（t+4）wv（t+3）vu是偶数，而（t+4）wu是偶数，（t+3）wu是奇数，故2（t+4）wv（t+3）vu=（t+4）wu+（t+3）wu不能成立； 当t为奇数时，2（t+4）wv（t+3）vu是偶数，而（t+4）wu是奇数，（t+3）wu是偶数，故2（t+4）wv（t+3）vu=（t+4）wu+（t+3）wu也不能成立所以，对任意tN*，2（t+4）wv（t+3）vu=（t+4）wu+（t+3）wu不能成立，即数列an的任意三项都不成构成等差数列 2017年5月22日
