1、3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时演练促提升A组1.下列说法中正确的是()A.任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底B.不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底C.单位正交基底中的基向量模为1且互相垂直D.不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底解析:单位正交基底中的三个向量必须是模等于1,且两两垂直,因此只有选项C正确.答案:C2.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且a,b,c是空间的一个基底,给出下列向量组:a,b,x,x,y,z,b,c,z,x,y,a+b+c,其中可以作为空间一个基底的向量组有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:如图,令a=,b=,c=
2、,则x=,y=,z=,a+b+c=.由A,B1,C,D1四点不共面,可知向量x,y,z也不共面,同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面,故选C.答案:C3.已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示向量为()A.a+b+cB.a-b+cC.-a+b+cD.-a+b-c解析:如图,b+c-a=-a+b+c.答案:C4.已知向量p在基底a,b,c下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在基底i,j,k下的坐标是()A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,12,10)D.(4,3,2)解析:=8
3、a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k.答案:A5.设OABC是四面体,G1是ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为()A.B.C.D.解析:如图,由已知=)=)=()+()=,从而x=y=z=.答案:A6.设命题p:a,b,c为空间的一个基底,命题q:a,b,c是三个非零向量,则命题p是q的条件.解析:若a,b,c为空间的一个基底,则a,b,c一定不共面.故a,b,c中一定没有零向量;但当a,b,c是三个非零向量时,却不一定不共面,不一定能作为一个基底.答案:充分不必要7.在正方体ABCD-A1B1C1
4、D1中,设=a,=b,=c,A1C1与B1D1的交点为E,则=.解析:如图,)=)=-a+b+c.答案:-a+b+c8.已知i,j, k是空间直角坐标系Oxyz的坐标向量,并且=-i+j-k,=3i-2j-4k,那么的坐标为.解析:因为=(-i+j-k)-(3i-2j-4k)=-4i+3j+3k,所以=(-4,3,3).答案:(-4,3,3)9.如图,四棱锥P-OABC的底面为一矩形,设=a,=b,=c,E,F分别是PC和PB的中点,用a,b,c表示.解:)=)=-a-b+c.=-=-)=-a-b+c.10.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体,E,F分别是BB1和DC的中点,试找
5、出空间的一个基底,并写出向量在此基底下的坐标.解:易知为空间的一个基底.=-,所以的坐标为.=-,所以的坐标为.,所以的坐标为.B组1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知ABC的边长为1,三棱柱的高为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则下列向量对应坐标正确的是()A.=(0,0,-2)B.C.=(0,1,2)D.解析:设与方向相同的单位向量为i,j,k,则i,j,=2k,故=2k,从而=(0,0, 2),故A不正确.i-j,即,故B不正确.j+2k,即,故C不正确.=-=-i-j+2k,即,故D正确.答案:D2.三棱锥P-ABC中,ABC为直角,PB平面ABC,AB=BC=PB=1,M为P
6、C的中点,N为AC的中点,以为基底,则的坐标为.解析:如图,)-)=,故.答案:3.如图,已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,建立适当的坐标系,并写出的坐标.解:PA=AD=AB,PA平面AC,ADAB,可设=e1,=e2,=e3.以e1,e2,e3为单位正交基底建立空间直角坐标系,如图.=)=-e2+e3+(-e3-e1+e2)=-e1+e3,=(0,1,0).4.已知e1,e2,e3为空间的一个基底,且=2e1-e2+3e3,=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3.(1)判断P,A,B,C四点是否共面;(2)能否以作为空间的一个基底?若不能,说明理由;若能,试以这一基底表示向量.解:(1)假设四点共面,则存在实数x,y,z使=x+y+z,且x+y+z=1,即2e1-e2+3e3=x(e1+2e2-e3)+y(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3),比较对应项的系数,得到关于x,y,z的方程组解得与x+y+z=1矛盾,故四点不共面.(2)若向量共面,则存在实数m,n使=m+n,同(1)可证,这不可能,因此可以作为空间的一个基底.令=a,=b,=c.由e1+2e2-e3=a,-3e1+e2+2e3=b,e1+e2-e3=c,联立得到方程组,从而解得所以=17-5-30.
