1、多面体中的几何问题本文选取几个立体几何的几何模型题型，重点说明直观想象能力在解题中的作用，强调数形结合能力，重视核心素养在学习过程中的渗透。空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.1.四棱锥模型中的三角函数求值问题如右图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD面ABCD，E，F分别为棱AB，PC的中点（1）求
2、证：平面；（2）求二面角的正切值解:（1）证明：取PD中点G，连结为的中位线，且，又且，且，EFGA是平行四边形，则EFAG，又面，面，面；（2）解：取AD中点O，连结PO，面面，为正三角形，面，且，连交于，可得，则，即连，又，可得平面，则，即是二面角的平面角,在中，即二面角的正切值为.【评注】本题考查三棱锥中二面角的三角函数值问题.2.拼接组合四棱锥中点与平面距离问题在多边形ABPCD中（图1），四边形ABCD为长方形，为正三角形，现以BC为折痕将折起，使点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上（图2）.（1）证明：平面平面PAB；（2）若点E在线段PB上，且，当点Q在线段AD上运动时，求点Q
3、到平面EBC的距离.分析：（1）过点作，垂足为O，由于点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上，可得PO平面ABCD，进一步得到ABAD，由线面垂直的判定可得ABPD，通过计算PA，PD，AD，可得，从而得，则平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结果； （2）利用等积法即可求出点到底面的距离解：(1)证明：过点作，垂足为O.由于点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上，平面ABCD，四边形ABCD为矩形，又，平面PAD，又由，可得，同理，又，且，平面PAB又因为平面PCD所以平面平面PAB(2)设点E到底面QBC的距离为h，所以点Q到平面EBC的距离为d则，由，可知，且，又，.所以点Q到平面EB
4、C的距离为.【评注】本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求点到面的距离，是中档题3.圆与三棱锥拼接几何结果中的函数问题如图，内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，平面ABC，（1）求证：平面ACD；（2）设，表示三棱锥B-ACE的体积，求函数的解析式及最大值解：（1）证明：四边形DCBE为平行四边形，平面ABC，平面ABC，AB是圆O的直径，且，平面ADC，平面ADC，平面ADC（2）解平面ABC，平面ABC在中，在中，当且仅当，即时取等号，当时，体积有最大值【评注】本题考查了线面垂直的证明和三棱锥的体积，考查了学生逻辑推理，空间想象，转化划
5、归，数学运算的能力，属于中档题.4.四棱锥中的向量法求解问题【1】如图,在四棱锥中,侧面底面,底面为梯形，(1)证明:;(2) 若为正三角形,求二面角的余弦值.分析：（1）先证明BD平面PAD,再证明；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.解：（1）证明：因为，又底面为直角梯形面底面因为面底面,平面ABCD,所以BD平面所以.（2）如图所示，建立空间直角坐标系，设平面的法向量为所以，令设平面的法向量为令设二面角的平面角为 .由图观察为钝角【评注】本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.【2】如图，梯形中，过分别作，垂
6、足分别，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图1若，证明：平面；2若，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长分析：1由正方形的性质推导出，结合，可得平面，由此，再由，能证明平面；2过作交于点，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，可得，利用向量垂直数量积为零求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出结果解：1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，由已知得，平面又平面BDE，又，平面2在图2中，即面DEFC，在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE，由题意得，由勾股定理可得，则，过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两
7、垂直，以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，设平面ACD的一个法向量为，由得,取得，设，则m，得设CP与平面ACD所成的角为，所以5.轨迹动点问题正四棱锥底面边长为，高为，是边的中点，动点在四棱锥表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为_答案：分析：取，的中点， 根据三角形中位线、面面平面的判定定理、线面垂直的判定定理，可以证明出平面，这样可以确定动点在四棱锥表面上运动的轨迹为，然后求出周长即可.解：如图所示，取，的中点，则，由线面判定定理可知：平面，平面，而，所以平面平面，设是底面正方形的中心，所以正四棱锥的高为，则，则有，而，所以平面，所以平面，因为，
8、所以有，则动点在四棱锥表面上运动的轨迹为，则动点的轨迹的周长为故答案为：【评注】本题考查了立体几何中轨迹问题，考查了线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理，考查了推理认证能力和空间想象能力.拓展思考-多面体问题：已知多面体中，为中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦.【详解】法一：（1）由得：；如图：取中点，连接，得：，；故：；（2）过点作；连接，则为直线与平面所成角的平面角，即有，不妨设，即有：，所以法二：由得：；如图建系得：，,，（1）,则（2）设面的法向量为，即有：，故【评注】本题考查利用线面垂直证线线垂直，求线面角的正弦值，相对来说，立体图形比较规整，也可采用建系法进行求解，属于中档题
