1、1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课后篇巩固提升基础巩固1.下列函数在区间(0,+)上不是增函数的是() A.y=2x+1B.y=x2+1C.y=3-xD.y=x2+2x+1解析函数y=3-x在区间(0,+)上是减函数.答案C2.函数f(x)=-x2+2x+3的单调减区间是()A.(-,1)B.(1,+)C.(-,2)D.(2,+)解析易知函数f(x)=-x2+2x+3是图象开口向下的二次函数,其对称轴为x=1,所以其单调减区间是(1,+).答案B3.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有f(a)-f(b)a-b0成立,则必有()A.f
2、(x)在R上是增函数B.f(x)在R上是减函数C.函数f(x)是先增后减D.函数f(x)是先减后增解析由f(a)-f(b)a-b0知f(a)-f(b)与a-b同号,即当ab时,f(a)b时,f(a)f(b),所以f(x)在R上是增函数.答案A4.函数f(x)=x2-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,则实数a的取值范围是()A.(-,34,+)B.(-,3)(4,+)C.(-,3D.4,+)解析二次函数图象开口向上,对称轴为直线x=a-1,因为函数在区间(2,3)上为单调函数,所以a-12或a-13,相应解得a3或a4,故选A.答案A5.已知函数f(x)在(-,+)上是减函数,若a
3、R,则()A.f(a)f(2a)B.f(a2)f(a)C.f(a2+a)f(a)D.f(a2+1)a,f(x)在(-,+)上是减函数,所以f(a2+1)f(a).而在其他选项中,当a=0时,自变量均是0,应取等号.故选D.答案D6.若函数f(x)=x2+3ax+5在区间(-,5)上为减函数,则实数a的取值范围是()A.-,-103B.-103,+C.-,103D.103,+解析因为函数f(x)=x2+3ax+5的单调递减区间为-,-3a2,所以(-,5)-,-3a2,所以a-103.答案A7.函数f(x)=|x-2|的单调递增区间是.解析由图象可知,f(x)的单调递增区间是2,+).答案2,+
4、)8.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x-2,+)时,f(x)是增函数,当x(-,-2)时,f(x)是减函数,则f(1)=.解析函数f(x)在(-,-2)上是减函数,在-2,+)上是增函数,x=-b2a=m4=-2,m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.f(1)=13.答案139.已知函数f(x)=-2x2+mx+1在区间1,4上是单调函数,则实数m的取值范围是.解析二次函数f(x)的图象的对称轴是直线x=m4.因为二次函数在对称轴的两侧的单调性相反,即m4(1,4),所以m41或m44,即m4或m16.答案(-,416,+)10.证明函数f(x)=-x在定义域上为减函数.证明函数f(
5、x)=-x的定义域为0,+).设x1,x2是0,+)上的任意两个实数,且0x10,f(x2)-f(x1)=(-x2)-(-x1)=x1-x2=(x1-x2)(x1+x2)x1+x2=x1-x2x1+x2.x1-x20,f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1).函数f(x)=-x在定义域0,+)上为减函数.能力提升1.函数f(x)=|x|与g(x)=x(2-x)的单调递增区间分别为()A.(-,0,1,+)B.(-,0,(-,1C.0,+),1,+)D.0,+),(-,1解析由函数图象(图略)可知选D.答案D2.若函数y=ax与y=-bx在区间(0,+)上都是减函数,则函数y=ax2+b
6、x在区间(0,+)上是()A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增解析由于函数y=ax与y=-bx在区间(0,+)上都是减函数,所以a0,即a0,b0.因为抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=-b2af(0),解得a0,0a1.答案D5.给出下列三个结论:若函数y=f(x)的定义域为(0,+),且满足f(1)f(2)f(3),则函数y=f(x)在(0,+)上是增函数;若函数y=f(x)在(-,+)上是减函数,则f(a2+1)a2,又y=f(x)在(-,+)上是减函数,f(a2+1)f(a2),正确;取x1=-1,x2=1,f(-1)=-1,f(1)=1,f(-1)x2-2,则f(x1)f(
7、x2),则实数a的取值范围是.(用区间来表示)解析由“若x1x2-2,则f(x1)f(x2)”可知函数f(x)在(-2,+)上单调递增.而f(x)=ax+1x+2=a+1-2ax+2,故有1-2a12,即a的取值范围为12,+.答案12,+7.若函数f(x)=x2+2ax+3,x1,ax+1,x1是减函数,则实数a的取值范围为.解析由题意可得-a1,a0,12+2a1+3a1+1,解得-3a-1,则实数a的取值范围是-3,-1.答案-3,-18.讨论函数f(x)=ax+1x+2a12在区间(-2,+)上的单调性.解f(x)=ax+1x+2=a+1-2ax+2,设任意的x1,x2(-2,+),且
8、x1x2,则f(x1)-f(x2)=1-2ax1+2-1-2ax2+2=(1-2a)x2-x1(x2+2)(x1+2).-2x10,(x2+2)(x1+2)0.当a0,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在区间(-2,+)上为减函数.当a12时,1-2a0,f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2),故f(x)在区间(-2,+)上为增函数.综上,当a12时,f(x)在区间(-2,+)上为增函数.9.某市一家报刊摊点,从该市报社买进该市的晚报价格是每份0.40元,卖出价格是每份0.60元,卖不掉的报纸以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(按30天计算)里,有18天每天可卖出400份,其余12天每天只能卖出180份.则摊主每天从报社买进多少份晚报,才能使每月获得的利润最大(设摊主每天从报社买进晚报的份数是相同的)?解设摊主每天从报社买进x(180x400,xN)份晚报,每月获利为y元,则有y=(0.60-0.40)(18x+12180)-(0.40-0.05)12(x-180)=-0.6x+1 188,180x400,xN.因为函数y=-0.6x+1 188在x|180x400,xN上是减函数,所以x=180时函数取得最大值,最大值为y=-0.6180+1 188=1 080.故摊主每天从报社买进180份晚报时,每月获得的利润最大,为1 080元.
