1、-1-核心素养测评 二十五 平面向量的线性运算(25 分钟 50 分)一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)1.(多选)下列说法错误的是()A.方向相同或相反的向量是平行向量 B.零向量是 0 C.长度相等的向量叫做相等向量 D.共线向量是在一条直线上的向量【解析】选 ACD.对于选项 A,因为方向相同或相反的非零向量是平行向量,所以该说法错误;对于选项 B,因为零向量就是 0,所以该说法正确;对于选项 C,方向相同且长度相等的向量叫相等向量,所以该说法错误;对于选项 D,共线向量所在直线可能重合,也可能平行,所以该说法错误.2.在ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,AC 的中点,
2、则=()A.+B.+C.+D.+【解析】选 D.如图,因为=,又因为=+,所以=+.【变式备选】如图,向量 a-b 等于()A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2 -2-C.e1-3e2 D.3e1-e2【解析】选 C.由题图可知 a-b=e1-3e2.3.(2019石家庄模拟)在ABC 中,点 D 在边 AB 上,且=,设=a,=b,则=()A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b【解 析】选 B.因 为=,所 以=,所 以=+=+=+(-)=+=a+b.4.(2019唐山模拟)在等腰梯形 ABCD 中,=-2,M 为 BC 的中点,则=()A.+B.+C.+D.+【解 析】选B.
3、因 为=-2,所 以=2.又M是BC的 中 点,所 以=(+)=(+)=+.5.(2020黄山模拟)已知向量 a,b 是两个不共线的向量,若向量 m=4a+b 与 n=a-b 共线,则实数 的值为()A.-4 B.-C.D.4【解析】选 B.由已知得 m=kn,即 4a+b=k(a-b).-3-所以解得 6.矩形 ABCD 的对角线相交于点 O,E 为 AO 的中点,若=+(,为实数),则2+2=()A.B.C.1 D.【解析】选 A.=+=+=+(+)=-,所以=,=-,所以 2+2=.7.(2019济南模拟)已知向量 a,b 不共线,且 c=a+b,d=a+(2-1)b,若 c 与 d 共
4、线反向,则实数 的值为()A.1 B.-C.D.-2【解析】选 B.由于 c 与 d 共线反向,则存在实数 k 使 c=kd(k0),于是 a+b=ka+(2-1)b,整理得 a+b=ka+(2k-k)b.因为 a,b 不共线,所以整理得 22-1=0,解得=1 或=-,又 k0,所以 0,所以=-.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)8.如图,在ABC 中,D 为边 BC 上靠近 B 点的三等分点,连接 AD,E 为线段 AD 的中点,若=m+n,则 m=_,n=_.【解析】=-=(-)-=+,又-4-=m+n,所以 m=,n=-.答案:-9.在平行四边形 ABCD 中,=e1,=e2
5、,=,=,则=_.(用 e1,e2表示)世纪金榜导学号 【解析】如图所示,=-=+2=+=-+(-)=-e2+(e2-e1)=-e1+e2.答案:-e1+e2 10.直线 l 上有不同的三点 A,B,C,O 是直线 l 外一点,对于向量=(1-cos)+sin(是锐角)总成立,则=_.世纪金榜导学号 【解析】因为直线 l 上有不同的三点 A,B,C,所以存在实数,使得=,所以-=(-),即=+,所以所以 sin=cos,因为是锐角,所以=45.答案:45 -5-(15 分钟 35 分)1.(5 分)一直线 l 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB,AD 分别交于点 E,F,且交其对角线 AC
6、 于点M,若=2,=3,=-(,R),则-=()A.-B.1 C.D.-3【解析】选 A.=-=-(+)=(-)-=2(-)-3,因为E,M,F 三点共线,所以 2(-)+(-3)=1,即 2-5=1,所以-=-.2.(5 分)(2020朔州模拟)在ABC 中,+=2,+=0,若=x+y,则()A.y=3x B.x=3y C.y=-3x D.x=-3y【解析】选 D.因为+=2,所以点 D 是 BC 的中点,又因为+=0,所以点 E 是 AD的中点,所以有:=+=-+=-+(+)=-+,因此x=-,y=x=-3y.3.(5 分)(2020合肥模拟)设 D,E,F 分别为ABC 三边 BC,CA
7、,AB 的中点,则+2+3=世纪金榜导学号()A.B.C.D.【解析】选 D.因为 D,E,F 分别为ABC 三边 BC,CA,AB 的中点,所以+2+3=(+)+2(+)+3(+)-6-=+=+=+=.4.(10 分)如图,在ABC 中,D 为 BC 的四等分点,且靠近 B 点,E,F 分别为 AC,AD 的三等分点,且分别靠近 A,D 两点,设=a,=b.(1)试用 a,b 表示,.(2)证明:B,E,F 三点共线.世纪金榜导学号 【解析】(1)在ABC 中,因为=a,=b,所以=-=b-a,=+=+=a+(b-a)=a+b,=+=-+=-a+b.(2)因为=-a+b,=+=-+=-a+=-a+b=(-a+b),所以=,与共线,且有公共点 B,所以 B,E,F 三点共线.5.(10 分)经过OAB 的重心 G 的直线与 OA,OB 分别交于点 P,Q,设=m,=n,m,nR+,求 m+n 的最小值.世纪金榜导学号【解析】设=a,=b,由题意知=(+)=(a+b),=-=nb-ma,=-=a+b,-7-由 P,G,Q 三点共线得,存在实数,使得=,即 nb-ma=a+b,从而消去得+=3.于是 m+n=(m+n)=(2+2)=.当且仅当 m=n=时,m+n 取得最小值.
