1、88曲线与方程知识梳理求曲线方程的基本步骤诊断自测1概念思辨(1)f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件()(2)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线()(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2y2.()(4)方程y与xy2表示同一曲线()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(选修A21P36例3)到点F(0,4)的距离比到直线y5的距离小1的动点M的轨迹方程为()Ay16x2 By16x2Cx216y Dx216y答案C解析由题意可知动点M到点F(0,4)的距离与到直线y4的距离相等，则点M的轨迹为抛物线，故选C.(2)(选修A21P
2、35例1)到两坐标轴距离之积等于2的点的轨迹方程为_答案y解析根据题意，设动点为M，其坐标为(x，y)，而动点M到两坐标轴距离之积等于2，即|x|y|2，变形可得y，故到两坐标轴距离之积等于2的点的轨迹方程为y.3小题热身(1)(2018银川模拟)设点A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则P点的轨迹方程为()Ay22x B(x1)2y24Cy22x D(x1)2y22答案D解析如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)，连接MA，则MAPA，且|MA|1.又|PA|1，|PM|，即|PM|22，(x1)2y22.故选D.(2)(2017聊城一模)在平面直角坐标系中，O为
3、坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足t()，其中tR，则点C的轨迹方程是_答案y2x2解析设C(x，y)，则(x，y)，t()(1t,2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y2x2.题型1定义法求轨迹方程(2017大庆模拟)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_用定义法答案x21(x1)解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，则有|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.又|MA|MB|，所以|MC2|MC1|BC2|AC1|312，即动点M到两定点C2，C1的距离的差是常
4、数2，且2|MC1|，故动圆圆心M的轨迹为以定点C2，C1为焦点的双曲线的左支，则2a2，所以a1.又c3，则b2c2a28.设动圆圆心M的坐标为(x，y)，则动圆圆心M的轨迹方程为x21(x1)条件探究将本例条件变为：“圆C1：(x1)2y21，圆C2：(x1)2y29，动圆P与圆C1外切且与圆C2内切”，求圆心P的轨迹方程解因为圆P与圆C1外切且与圆C2内切，所以|PC1|PC2|(R1)(3R)4，由椭圆的定义可知，曲线是以C1，C2为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)方法技巧定义法求轨迹方程的适用条件及关键点1求轨迹方程时，若动点与定点、定线间
5、的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程见典例2理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键3利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制见典例冲关针对训练已知圆C与两圆x2(y4)21，x2(y2)21外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M(x，y)的距离的最小值为m，点F(0,1)与点M(x，y)的距离为n.(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；(2)求满足条件mn的点M的轨迹Q的方程解(1)两圆半径都为1，两圆圆心分别为C1(0，4)，C2(0,2)，由题意得|
6、CC1|CC2|，可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为(0，1)，直线C1C2的斜率不存在，故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，其方程为y1，即圆C的圆心轨迹L的方程为y1.(2)因为mn，所以M(x，y)到直线y1的距离与到点F(0,1)的距离相等，故点M的轨迹Q是以y1为准线，点F(0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，而1，即p2，所以轨迹Q的方程是x24y.题型2直接法求轨迹方程(2014广东高考)已知椭圆C：1(ab0)的一个焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求
7、点P的轨迹方程解(1)由题意知c，所以a3，b2a2c24，故椭圆C的标准方程为1.(2)设两切线为l1，l2，当l1x轴或l1x轴时，对应l2x轴或l2x轴，可知P(3，2)当l1与x轴不垂直且不平行时，x03.设l1的斜率为k，则k0，l2的斜率为，故l1的方程为yy0k(xx0)，联立1，得(9k24)x218(y0kx0)kx9(y0kx0)2360.因为直线l1与椭圆C相切，所以0，得9(y0kx0)2k2(9k24)(y0kx0)240，所以36k24(y0kx0)240，所以(x9)k22x0y0ky40，所以k是方程(x9)x22x0y0xy40(x03)的一个根，同理是方程(
8、x9)x22x0y0xy40(x03)的另一个根，所以k，得xy13，其中x03，所以此时点P的轨迹方程为xy13(x03)因为P(3，2)满足xy13，综上可知，点P的轨迹方程为x2y213.方法技巧直接法求曲线方程的关键点和注意点1关键点：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤，但最后的证明可以省略2注意点：求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性提醒：对方程化简时，只要前后方程解集相同，证明一步可以省略，必要时可说明x，y的取值范围冲关针对训练已知椭圆C的中心为平面直角坐标系
9、xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线解(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知得解得所以b，所以椭圆C的标准方程为1.(2)设M(x，y)，其中x4,4由已知2及点P在椭圆C上，可得2，整理得(1629)x2162y2112，其中x4，4当时，化简得9y2112，所以点M的轨迹方程为y(4x4)，轨迹是两条平行于x轴的线段当时，方程变形为1，其中x4,4当0时，点M的轨迹为中心在原点，实轴在y轴上的双曲线满足4x4的部分；当1时，
10、点M的轨迹为中心在原点，长轴在x轴上的椭圆满足4x4的部分；当1时，点M的轨迹为中心在原点，长轴在x轴上的椭圆.题型3相关点法(代入法)求轨迹方程 已知F1，F2分别为椭圆C：1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则PF1F2的重心G的轨迹方程为()A.1(y0) B.y21(y0)C.3y21(y0) Dx21(y0)答案C解析依题意知F1(1,0)，F2(1,0)，设P(x0，y0)，G(x，y)，则由三角形重心坐标关系可得即代入1，得重心G的轨迹方程为3y21(y0)如图，动圆C1：x2y2t2,1t3，与椭圆C2：y21相交于A，B，C，D四点点A1，A2分别为C2的左、右顶点求直线A
11、A1与直线A2B交点M的轨迹方程解由椭圆C2：y21，知A1(3,0)，A2(3,0)设点A的坐标为(x0，y0)；由曲线的对称性，得B(x0，y0)，设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y(x3)直线A2B的方程为y(x3)由相乘得y2(x29)，又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y1.将代入得y21(x3，y0)因此点M的轨迹方程为y21(x3，y0得，k2，0x2|AF|，所以动点P的轨迹是以A，F为焦点，2为长轴长的椭圆，则2a2，2c2，所以b.故动点P的轨迹方程为1.故选D.7(2018宜城期末)已知过定点C(2，0)的直线l与抛物线y22x相交于A，B两点，作OEAB于E
12、.则点E的轨迹方程是()Ax2y22x0(x0)Bx2y22x0(y0)Cx2y24x0Dx2y24x0(y0)答案A解析直线l过定点C(2,0)，O(0,0)，C(2,0)，OECE，OEC为直角三角形，点E的轨迹是以线段OC为直径的圆除去点O，故点E的轨迹方程为(x1)2y21(x0)，即x2y22x0(x0)故选A.8(2017津南模拟)平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(1,3)，若点C满足12(O为原点)，其中1，2R，且121，则点C的轨迹是()A直线 B椭圆 C圆 D双曲线答案A解析设C(x，y)，因为12，所以(x，y)1(3,1)2(1，3)，即解得又121，所以1，
13、即x2y5，所以点C的轨迹为直线，故选A.9(2017湖北期中)已知方程1表示的曲线为C，给出以下四个判断：当1t4或t1时曲线C表示双曲线；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1t4.其中判断正确的个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析由4tt1，可得t，方程1表示圆，故不正确；由双曲线的定义可知：当(4t)(t1)0时，即t4时，方程1表示双曲线，故正确；由椭圆定义可知：当椭圆在x轴上时，满足4tt10，即1t时，方程1表示焦点在x轴上的椭圆，故正确；若曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，则t，A1(，0)，A2(，0)，则有直线A1P的方程为y(x)，直线A2Q的方程为y(x)，联立，解得
14、x0，且|x|，因为点P(x1，y1)在双曲线y21上，所以y1.将代入上式，整理得所求轨迹的方程为y21(x0且x)14(2018山西太原模拟)已知圆O1：(x2)2y216和圆O2：x2y2r2(0re2)，则e12e2的最小值为_答案解析设动圆M的半径为R.动圆M与圆O1和圆O2都相切有两种情况，一是与圆O1内切、与圆O2外切，二是与圆O1和圆O2都内切相切都可以转化为圆心距问题第一种情况，dMO14R，dMO2rR，dMO1dMO24r，为定值，且O1O22.故由椭圆的定义可知，M的轨迹为一个椭圆，a，c1.同理，第二种情况，M的轨迹为一个椭圆，a，c1.两个椭圆的离心率分别为e1和e
15、2(e1e2)，e1，e2.e12e2，当且仅当12r，即r128时，取“”所以e12e2的最小值为.三、解答题15(2018安徽合肥模拟)如图，抛物线E：y22px(p0)与圆O：x2y28相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.(1)求p的值；(2)求动点M的轨迹方程解(1)由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2,2)，代入y22px，解得p1.(2)设C，D，y10，y20.设切线l1：yy1k，代入y22x得ky22y2y1ky0，由0，解得k，l1的
16、方程为yx，同理，l2的方程为yx.联立解得直线CD的方程为x0xy0y8，其中x0，y0满足xy8，x02,2 ，由得x0y22y0y160，则由可得则代入xy8得y21.考虑到x02,2 ，则x4，2 ，动点M的轨迹方程为y21，x4，2 16(2016全国卷)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程解由题知F.设l1：ya，l2：yb，则ab0，且A，B，P，Q，R，.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0.(1)证明：由于F在线段AB上，故1ab0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1bk2.所以ARFQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，则SABF|ba|FD|ba|，SPQF.由题设可得2|ba|，所以x10(舍去)或x11.设满足条件的AB的中点为E(x，y)当AB与x轴不垂直时，由kABkDE，可得(x1)而y，所以y2x1(x1)当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E(1,0)满足方程y2x1.所以，所求轨迹方程为y2x1.
