1、课时作业(六)直线与平面的夹角一、选择题1如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是()AC1BB1 BC1BDCC1BD1 DC1BO2正方体ABCDA1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为()A. B. C. D.3正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为()A. B. C. D.4如果APBBPCCPA60，则PA与平面PBC所成角的余弦值为()A. B. C. D.二、填空题5若平面的一个法向量n(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a(1
2、,2,3)，则l与所成角的正弦值为_6如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B和平面A1B1CD所成的角是_7在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角为_三、解答题8.如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值9.如图所示，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60.(1)求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AADD所成角的大小尖子生题库10.如图所示，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上(1)求证：
3、AC平面PDB；(2)当PDAB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小课时作业(六)直线与平面的夹角1解析：由线面垂直的判定定理，得C1O平面BB1D1D，所以OB为BC1在平面BB1D1D上的射影，所以C1BO为BC1与平面BB1D1D所成的角，故选D.答案：D2解析：取BC中点M，连接AM，OM，易知OAM即为AO与平面ABCD所成的角，可求得sinOAM.答案：C3解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(1,0,1)，E，F，B1(1,1,1)，(0,1,0)，设平面A1EF的法向量n(x，y，z)，则即令y2，则n(1,2,1)，cosn，即A1B1与平面
4、A1EF所成角的正弦值为.答案：B4解析：如图，设A在平面BPC内的射影为O，APBAPC.点O在BPC的角平分线上，OPC30，APO为PA与平面PBC所成的角cosAPCcosAPOcosOPC，即cos 60cosAPOcos 30，cosAPO.答案：D5解析：cosa，n，所以l与平面所成角的正弦值为.答案：6解析：连接BC1交B1C于O点，连接A1O.设正方体棱长为a.易证BC1平面A1B1CD，A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角在RtA1BO中，A1Ba，BOa，sinBA1O，BA1O30.即A1B与平面A1B1CD所成角为30.
5、答案：307解析：以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P，从而(2a,0,0)，(a，a,0)设平面PAC的一个法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.所以，n60.所以直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案：308解析：取BC中点O，B1C1中点O1，连接AO，OO1，则AOOC，OO1平面ABC，以O为坐标原点，OC，OA，OO1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A，C1，.取AB中点M，连接CM，则CMAB.平面ABB1A1平面ABC，CM平面ABB
6、1A1，为平面ABB1A1的一个法向量B，M.又C，.cos，.AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为.9解析：如图，以D为坐标原点，DA为单位长建立空间直角坐标Dxyz.则(1,0,0)，(0,0,1)连接BD，BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设(m，m,1)(m0)，由已知，60，由|cos，可得m.解得m，所以.(1)因为cos，所以，45，即DP与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是(0,1,0)因为cos，所以，60.可得DP与平面AADD所成的角为30.10解析：(1)证明：四边形ABCD是正方形，ACBD.PD底面ABCD，PDAC.PDBDD，AC平面PDB.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，设AB1，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，.由(1)知(1,1,0)为平面PDB的一个法向量设AE与平面PDB所成的角为，则sin |cos，|.AE与平面PDB所成的角为45.
