1、第四节 指 数 函 数 1.根式(1)根式的概念.若_,则x叫做a的n次方根,其中n1且nN*.式子 叫 做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.a的n次方根的表示：(当n为奇数且nN*时）,(当n为偶数且nN*时).xn=a n axn=a nxanxa(2)根式的性质.n*n(a)a(nN).nn a _=a|a|_,n为奇数 a,a0,-a,a0,n为偶数.2.有理数指数幂(1)分数指数幂的意义.正分数指数幂：(a0,m,nN*,且n1);负分数指数幂：（a0,m,nN*,且n1）.0的正分数指数幂等于_,0的负分数指数幂_.mna_mn amna_mn1amn1a0 没有意义(2)有
2、理数指数幂的运算性质.aras=_(a0,r,sQ)；(ar)s=_(a0,r,sQ）；(ab)r=_(a0,b0,rQ）.上述有理数指数幂的运算性质，对于无理数指数幂也适用.ar+s ars arbr 3.指数函数的概念(1)解析式：y=_.(2)自变量：_.(3)定义域：_.ax(a0且a1)x R 4.指数函数的图象与性质 a1 0a1 0a0时，_;当x0时，_;当x1 0y1 0y1 增函数 减函数 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)()(2)()(3)函数y=a-x是R上的增函数.()(4)函数 (a1)的值域是(0，+).()44(4)4.2142(1)(1)
3、1.2x1ya【解析】(1)错误.没有意义.(2)错误.底数为负数时，指数不能约分.(3)错误.当a1时函数是R上的减函数，当0a1时函数是R 上的增函数.(4)错误.因为x2+11，所以ya，即值域为a，+).答案：(1)(2)(3)(4)441.化简 的结果为()(A)-9 (B)7 (C)-10 (D)9【解析】选B.2.化简 （x0，y0）得()(A)2x2y (B)2xy (C)4x2y (D)-2x2y【解析】选D.=2x2|y|=-2x2y.1602(2)(1)1106622(2)1(2)18 17.844 16x y8442444416x y2(x)y3.当a0且a1时，函数f
4、(x)=ax-2-3的图象必过定点_.【解析】由a0=1知，当x-2=0，即x=2时，函数f（x）的图象恒 过定点.此时，f（2）=-2，即图象必过定点（2，-2）.答案：（2，-2）4.指数函数y=（2-a）x在定义域内是减函数，则a的取值范围 是_.【解析】由题意知，02-a1，即1a2.答案：（1，2）5.函数 的值域是_.【解析】1-xR,y0.答案：（0，+）1 x1y()2考向 1 指数幂的化简与求值【典例1】化简：(1)(a0，b0)(2)【思路点拨】将根式化为分数指数幂，负分数指数幂化为正分 数指数幂，底数为小数的化成分数，然后运用幂的运算性质进 行计算.32 32111143
5、342a bab(a b)ab1111010.253324730.008 13()81(3)10 0.027.88【规范解答】（1）原式（2）原式 121111133233211216333211233(a b a b)abab.ab ab 11231123101()()1030.103331033 11114113 342333()3 13()10()10210【拓展提升】指数幂的一般运算原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算,先乘除后加减.(2)负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,应化
6、为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.【提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【变式训练】(1)计算：(2)计算：(3)已知 求 93337 3132aaaa.112023170.027()(2)(21).79 1122mm4，33221122mm.mm【解析】（1）原式 (2)原式 (3)m+m-1=14,=m+m-1+1=14+1=15.1713931333222a aaa（）（）113232aaaa1.（）（）112322725711 0009（）（）（）10549145.33 11122mm4,mm216,33111222211
7、112222mm(mm)(mm1)mmmm考向 2 指数函数图象的应用【典例2】已知函数(1)作出图象.(2)由图象指出其单调区间.(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值.【思路点拨】将函数写成分段函数的形式，作出函数的图象，由图象可求单调区间及最值.x 11y().3【规范解答】(1)由已知可得,其图象由两部分组成：一部分是：另一部分是：y=3x（x0）y=3x+1（x-1）.图象如图所示：x 1x 1x 11(),x11y()333,x1.，x1y()(x0)3向左平移1个单位 x 11y()(x1)3 ；向左平移1个单位(2)函数在（-，-1上是增函数，在-1，+)上是减 函数.(3)
8、当x=-1时，函数 取最大值1，无最小值.|x 1|1y()3【拓展提升】1.应用指数函数图象研究指数型函数的性质 对指数型函数的性质（单调性、最值、大小比较、零点等）的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.2.利用图象解指数型方程、不等式 一些指数型方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.【变式训练】k为何值时,方程|3x-1|=k无解？有一解？有 两解？【解析】函数y=|3x-1|的图象是由函数 y=3x的图象向下平移一个单位后,再把 位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上 方得到的,函数图象如图所示.当k0时,直线y=
9、k与函数y=|3x-1|的图象无交点,即方程无解；当k=0或k1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解；当0k1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有两个不同的交点,所以方程有两解.考向 3 指数函数性质的应用【典例3】已知 （a0且a1）.(1)讨论f(x)的奇偶性.(2)求a的取值范围，使f(x)0在定义域上恒成立.【思路点拨】先求函数的定义域，再判断奇偶性，对于恒成立问题，可借助函数的奇偶性，只讨论x0的情况.3x11f(x)()xa12【规范解答】(1)由于ax-10,则ax1,得x0,所以函数f（x）的定义域为x|x0,xR.对于定义域内任意x，
10、有 f(x)是偶函数.3xx3x3x3x11f(x)()(x)a12a1()(x)1a211(1)(x)a1211()xf(x).a12 (2)由(1)知f（x）为偶函数，只需讨论x0时的情况.当x0时，要使f（x）0，即 即 即 即ax-10，ax1，axa0.又x0，a1.因此a1时，f（x）0在定义域上恒成立.3x11()x0a12，x110a12，xxa102(a1)，【拓展提升】利用指数函数的性质可求解的问题及方法(1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小.(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法,与前面所讲一般函数的求解方法一致,只需
11、根据条件灵活选择即可.【变式训练】(1)函数 的单调递减区间为 _，值域为_.【解析】令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,由于g(x)在(-,-2)上 单调递增,在（-2,+）上单调递减,而 在R上为单调递 减,所以f(x)在(-,-2)上单调递减.又g(x)=-(x+2)2+77,答案：（-,-2）3-7,+)2x4x 31f(x)()3t1y()3771f(x)()3.3(2)已知函数 （a0且a1），求f(x)的定义域；讨论f(x)的奇偶性；讨论f(x)的单调性.【解析】f（x）的定义域是R.f(x)是奇函数.xxa1f(x)a1xxxxa11 af(x)f(x)a11 a
12、，设x1,x2是R上任意两个实数,且x1x2,则 x1x2,当a1时,从而 f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)为R上的增函数.xxx(a1)22f(x)1,a1a1 122112xx12xxxx222(aa)f xf x.a1a1(a1)(a1)21xxaa0,1212xxxxa1 0,a1 0,aa0,当0a1时,从而 f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)为R上的减函数.12xxaa0,1212xxxxa1 0,a1 0,aa0,【易错误区】指数函数的底数不确定致误【典例】(2012山东高考)若函数f(x)=ax(a0，a1)在-1，2上的最大值
13、为4，最小值为m，且函数g(x)=在0，+)上是增函数，则a=_.(1 4m)x【误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面:(1)误以为a1,未进行分类讨论从而求得错误答案.(2)对条件“g(x)在0，+)上是增函数”不会使用，求得结果后未进行检验得到两个答案.【规范解答】若a1，有a2=4，a-1=m，此时a=2，此时 为减函数，不合题意.若0a1，有a-1=4，a2=m，故 检验知符合题意.答案：1m2，g(x)x 11am416，14【思考点评】1.指数函数的底数不确定时应分类讨论 指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a1和0a1两种情况讨论.2.根据函数的单
14、调性确定其最值 根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础.1.(2013揭阳模拟）设y1=40.9,y2=80.48,则()(A)y3y1y2 (B)y2y1y3(C)y1y3y2 (D)y1y2y3【解析】选C.y1=21.8,y2=21.44,y3=21.5，1.81.51.44，21.821.521.44,y1y3y2.1.531y(),22.（2013东莞模拟）已知f(x)=32x-(k+1)3x+2，当xR 时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()(A)（-,-1)(B)(C)(D)【解析】选B.令t=3x，则t0
15、.由题意知t0时，t2-(k+1)t+20恒成立，即 在t(0,+)上恒成立，因为 所以 即(,2 21)(1,2 21)(2 21,2 21)2k1tt2t2 2,tk 1 2 2，k2 21.3.（2013江门模拟）若函数y=ax+b-1(a0且a1)的图象经过第二、三、四象限，则a,b的取值范围分别为_.【解析】根据题意画出函数y=ax+b-1(a0且a1)的大致图象，如图所示，所以0a1，且1+b-10，即0a 1，b0.答案：0a1,b0 4.(2012上海高考）方程4x-2x+1-3=0的解是_.【解析】方法一：原方程4x-2x+1-3=0可化为(2x)2-22x-3=0，即(2x
16、-3)(2x+1)=0，由于2x0，xR，2x-3=0，即x=log23.方法二：令t=2x，则t0，原方程可化为t2-2t-3=0，解得t=3或t=-1（舍去），即2x=3，x=log23 答案：x=log23 1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=1-2-x，则不等式 的解集是()(A)（-，-1）(B)（-，-1(C)（1，+）(D)1，+）1f(x)2【解析】选A.当x0时，f（x）=1-2-x0，又f（x）是R上的奇函数，所以 的解集和 的解集关于原点对 称，由 得 即x1，则 的解 集是（-，-1）.1f(x)21f(x)x02（）x11 22x11222，1f(x)22.若关于x的方程 （a0且a1）有 解，则m的取值范围是()(A)(B)(C)(D)1，+）【解析】选C.由ax0知 解得 2xx1a(1)a10m 1(3，1 0(0 13，），1 0)3，22m102m(m1)40m，1m0.3
