1、第2课时等差数列前n项和的综合应用学 习 目 标核 心 素 养1.掌握等差数列前n项和的性质及应用(重点)2.会求等差数列前n项和的最值(重点、易错点)1.通过等差数列前n项和的性质的学习，体现了学生的逻辑推理的素养2.借助等差数列前n项和的最值研究，考查学生的数学建模的素养.1Sn与an的关系an2等差数列前n项和的性质(1)等差数列an中，其前n项和为Sn，则an中连续的n项和构成的数列Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，构成等差数列(2)数列an是等差数列Snan2bn(a，b为常数)3等差数列前n项和Sn的最值(1)若a10，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相
2、加即得Sn的最小值(2)若a10，d0，d0，则S1是Sn的最小值；若a10，d0，a7a100，a7a10a8a90，a90，bnbn12(n2)又b1(b11)2，b11，bn为等差数列，bn1(n1)22n1.等差数列前n项和性质的应用【例2】已知等差数列an，Sm，S2m，S3m分别是其前m，前2m，前3m项和，若Sm30，S2m100，求S3m.解法一：设an的公差为d，依据题设和前n项和公式有：，得ma1d70，所以S3m3ma1d3370210.法二：Sm、S2mSm、S3mS2m成等差数列，所以30、70、S3m100成等差数列所以27030S3m100.所以S3m210.法三
3、：在等差数列an中，因为Sna1nn(n1)d，所以a1(n1).即数列构成首项为a1，公差为的等差数列依题中条件知、成等差数列，所以2.所以S3m3(S2mSm)3(10030)210.等差数列的前n项和常用性质(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2kSk，S3kS2k，组成公差为k2d的等差数列(2)数列an是等差数列Snan2bn(a，b为常数)数列为等差数列(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，当项数为偶数2n时，S偶S奇nd，；当项数为奇数2n1时，S奇S偶an，.2项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数解设等差数列共
4、2n1项，则奇数项有n1项，偶数项有n项，中间项是第n1项，记为an1，设公差为d，则S奇S偶a1ndan111，即中间项an111.又S2n1S奇S偶77.77，(2n1)1177，2n17，即数列的中间项为11，这个数列共7项等差数列前n项和Sn的函数特征探究问题1将首项为a12，公差d3的等差数列的前n项和看作关于n的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n项和为Sn3n2n，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？提示首项为2，公差为3的等差数列的前n项和为Sn2nn2n，显然Sn是关于n的二次型函数如果一个数列的前n项和为Sn3n2n，那么当n1时，S1a
5、14.当n2时，anSnSn16n2，a1也适合此式，则该数列的通项公式为an6n2，所以该数列为等差数列一般地，等差数列的前n项和公式Snna1dn2n，若令A，Ba1，则上式可写成SnAn2Bn(A，B可以为0)2已知一个数列an的前n项和为Snn25n，试画出Sn关于n的函数图象你能说明数列an的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？提示Snn25n2，它的图象是分布在函数yx25x的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了an前n项为负数由Sn的图象可知，Sn有最小值且当n2或3时，Sn最小，最小值为6，即数列an前2项或前3项和最小【例3】数列an的前n
6、项和Sn33nn2.(1)求an的通项公式；(2)问an的前多少项和最大；(3)设bn|an|，求数列bn的前n项和Sn.思路探究(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解解(1)法一：当n2时，anSnSn1342n，又当n1时，a1S133132满足an342n.故an的通项公式为an342n.法二：由Snn233n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以an是等差数列，由Sn的结构特征知解得
7、a132，d2，所以an342n.(2)法一：令an0，得342n0，所以n17，故数列an的前17项大于或等于零又a170，故数列an的前16项或前17项的和最大法二：由yx233x的对称轴为x.距离最近的整数为16,17.由Snn233n的图象可知：当n17时，an0，当n18时，an0，故数列an的前16项或前17项的和最大(3)由(2)知，当n17时，an0；当n18时，an0.所以当n17时，Snb1b2bn|a1|a2|an|a1a2anSn33nn2.当n18时，Sn|a1|a2|a17|a18|an|a1a2a17(a18a19an)S17(SnS17)2S17Snn233n5
8、44.故Sn1在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法(1)利用通项公式寻找正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)(2)借助二次函数的图象及性质求最值2寻找正、负项分界点的方法(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找(2)利用到yax2bx(a0)的对称轴距离最近的一侧的一个正整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点3求解数列|an|的前n项和，应先判断an的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题3在等差数列中，a1023，a2522.(1)该数列第几项开始为负；(2)求数列|an|的前n项和解设等差数列
9、an中，公差为d，由题意得(1)设第n项开始为负，an503(n1)533n，从第18项开始为负(2)|an|533n|当n17时，Snn2n；当n17时，Sn|a1|a2|a3|an|a1a2a17(a18a19an)，Sn2S17n2n884，Sn1本节课的重点是等差数列前n项和的有关性质、等差数列前n项和的最值以及利用Sn求通项公式an，其中等差数列前n项和的最值问题是本节的难点2本节课的易错点是利用anSnSn1(n2)求通项公式时，忽视条件n2.3本节课要重点掌握以下规律方法(1)an(2)等差数列前n项和的性质(3)等差数列前n项的最值的求法.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(
10、1)若Sn为等差数列an 的前n项和，则数列也是等差数列()(2)在等差数列an中，当项数m为偶数2n时，则S偶S奇an1.()(3)若a10，d0，则等差数列中所有正项之和最大()(4)在等差数列中，Sn是其前n项和，则有S2n1(2n1)an.()解析(1).因为由等差数列前n项和公式知na1d，所以数列为等差数列(2).当项数m为偶数2n时，则S偶S奇nd(3).由实数的运算可知该说法正确(4).因为S2n1an(1n)dan(n1)d(2n1)an.答案(1)(2)(3)(4)2若数列an的前n项和Snn21，则a4()A7B8C9D17Aa4S4S3(421)(321)7.3等差数列an中，S24，S49，则S6_.15由S2，S4S2，S6S4成等差数列，4(S69)25，S615.4已知数列an的前n项和公式为Sn2n230n.(1)求数列 an的通项公式；(2)若bnanan1，求数列bn的前n项和Tn.解(1)Sn2n230n，当n1时，a1S128.当n2时，anSnSn1(2n230n)2(n1)230(n1)4n32.当n1时也满足此式，an4n32，nN.(2)由(1)知bnanan1(4n32)(4n28)8n60，数列bn是以8为公差的等差数列，b152，Tnn4n256n.
